理论力学-8刚体平面运动

第八章刚体的平面运动第一节

平面运动的概念和运动的分解第二节平面图形上各点的速度第三节平面图形上各点加速度第四节运动学综合问题举例本章重点：1、平面图形上点的速度计算；

2、平面图形上点的加速度计算。1一、平面运动的定义与简化1、平面运动的定义

刚体运动时，若其上各点到某一固定平面的距离始终保持不变，则称刚体的这种运动为平面运动。平面运动刚体上各点的轨迹都是平面曲线（或直线）。第一节

平面运动的概念和运动的分解22、平面运动的简化

刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动。二、平面图形的运动方程三、平面运动分解为平动和转动

任取一点A为基点，在基点上建立平动坐标系=+随基点的平动牵连运动

(与基点的选择有关)

绕基点的转动相对运动(与基点的选择无关)

绕基点转动的角速度、角加速度与基点的选择无关称为平面图形的角速度、角加速度。平面运动绝对运动

3一、速度基点法和速度投影定理1．速度基点法

已知图形上某点O的速度为vo,图形的角速度为,则任意点M的速度：

平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随同图形绕基点转动的速度的矢量和。取M为动点，Oxy为动系:第二节平面图形上各点的速度vMOvoxyxyoOvovMM452.速度投影定理将vM=vo+vMO投影到OM线上，速度投影定理的作用：（1）反映了刚体不变形的特性。（2）判断运动状态是否成立。（3）判断未知速度的指向。定理：同一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。（4）已知两点速度的方向和一点速度的大小，求另一点的速度。vMOvoOvovMM

在图示结构中,已知曲柄O1A的角速度,和j,q角,求滑块C的速度。图中O1A=r，O2B=BC=l

。BO1O2AC6速度投影定理:联立上述两式:解:滑块C平动，杆O1A和O2B作定轴转动，杆AB和BC作平面运动。速度如图。vAvBvCO1O2AC

火车以速度vO沿水平直线轨道行驶，设车轮的半径为r，在轨道上滚动而无滑动。求轮缘上A、B两点的速度。71、轮心O为基点,求C点：2、轮心O为基点，求A点：3、轮心O为基点，求B点：解:车轮在轨道上滚动而无滑动，因此轮缘上与轨道相接触的点C的速度必等于零。

双摇杆机构中，O1A=1.73l,O2B=l。在图示瞬时，杆O1A铅直，杆AC、O2B水平，杆BC与铅垂方向成300角。已知杆O1A的角速度为w1，杆O2B的角速度为w2。试求该瞬时连杆AC和BC的连接点C的速度。8解:摇杆O1A绕轴O1

，杆O2B绕轴O2作定轴转动。点C速度用vCx、vCy表示。杆AC上速度投影：杆BC上速度投影：vC的大小：与水平线的夹角：93、建立矢量式（基点法等），求解。求平面图形上点的速度时解题步骤：1、运动分析（各构件的运动形式）；2、速度分析图（各连接点的速度方向）；1、瞬心：平面图形上（或延伸部分）瞬时速度为零的点。2、瞬心的确定二、速度瞬心法取点A为基点，根据速度基点法，AN上任一点M的速度均可按下式计算:

令：3、平面图形上各点速度的分布瞬心I为基点：104、速度瞬心位置的确定(1)

纯滚动的轮子轮和不动物体的接触点I是该瞬时图形的速度瞬心。

纯滚动：平面图形沿一固定面滚动而无滑动。(2)已知某瞬时平面图形上任意两点的速度方向，且两者不相平行速度瞬心在两点速度垂线的交点C上。COABvAvB11ABvAvBCvBvAABC(3)平面图形上两点的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线瞬心在两点的连线与两速度矢端的连线的交点处(4)某瞬时平面图形上两点的速度相同速度瞬心在无限远处。图形的这种运动状态称为瞬时平动。瞬时平动时，图形角速度为零。OBAvAvB12轮Ⅱ的角速度为:

图示行星轮系中，大齿轮Ⅰ固定不动，半径为R，行星齿轮Ⅱ在轮Ⅰ上作无滑动的滚动，半径为r,系杆OA的角速度为w0。试求轮Ⅱ的角速度以及其上B、C、.D点的速度。解：系杆OA作定轴转动，行星齿轮Ⅱ作平面运动。轮Ⅱ与轮Ⅰ的接触点I是轮Ⅱ的速度瞬心。轮Ⅱ上B、C.D点的速度大小分别为:13速度投影定理：

曲柄滑块机构在其连杆的中点和杆CD铰接，杆CD又和可绕E点转动的DE杆铰接。已知曲柄OA以角速度w0转动，OA=AC=CB=r，DE=R，∠CDE=900，∠BED=300试求图示瞬时杆ED的角速度。解：杆OA、DE作定轴转动，滑块B作平动，杆AB、DC作平面运动。B为杆AB的速度瞬心。OABCDEvAvCvDwDEw014

平面连杆滑块机构中，O2C=100mm；在图所示瞬时，A、B、O2和O1、C分别在两水平线上，此时，滑块A的速度大小为vA=80mm/s，方向水平向左。试求该瞬时杆O1B及杆O2C的角速度。15解：杆O1B和O2C定轴转动，AB和BC平面运动。

平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度三者的矢量和。

已知图形上某点A的加速度为aA

,图形的角速度为,角加速度为a，求任意点B的加速度。取B为动点，O′x′y′为动系。第三节平面图形上各点加速度分析（基点法）16

半径为R的车轮沿直线轨道作无滑动的滚动,如图所示。已知轮心A在图示瞬时的速度为vA及加速度为aA

。求该瞬时车轮边缘上瞬心C的加速度aC

.AvACaA17AvACwAaA解:轮A作平面运动，C为其瞬心.AwAaAaAaAaCatCAanCA

在图示的平面机构中，O1A=AB=2l，O2B=l，摇杆O1A以匀角速度w1绕轴O1转动。图示瞬时，A、B两点的连线水平，两摇杆O1A、O2B方向平行，且q=600

。试求矩形板D的角加速度a1

和摇杆O2B的角加速度a2。。O2O１AＢqqw1D18解：杆O1A、O2B作定轴转动，矩形板AB为瞬时平动。vAvBw2。O2O１AＢqqw119aAatBAaABxy。O2O１AＢθθw1aAatBanBx方向投影:y方向投影得:A为基点，B点的加速度：

图示的曲柄连杆机构中，已知连杆AB长1m，曲柄OA长0.2m，以匀角速度w=10rad/s绕轴O转动。求在图示位置时滑块B的加速度和连杆AB的角加速度。20OAＢ45°w45°解：杆OA定轴转动，滑块B平动，杆AB作平面运动，速度瞬心I。vAvBIABOAＢ45°w45°21xyaABOAＢ45°45°waAaBanBAatBAA为基点，点B的加速度的矢量式：y方向投影:x方向投影:rROBlAvAC

图示瞬时滑块A以匀速度vA=12cm/s

沿水平直槽向左运动，并通过连杆AB带动轮B沿圆弧轨道作无滑动的滚动。已知轮B的半径为r=2cm，圆弧轨道的半径为R=5cm，滑块A离圆弧轨道中心

O的距离为l=4cm。求该瞬时连杆AB,以及轮B的角加速度。22CBOBvBOBAvA解：滑块A作平动，杆AB瞬时平动、轮B作平面运动。轮B的速度瞬心为C。B点的轨迹圆周运动，角速度：23xyCaABaBOBAatBatBAanBy方向投影:x方向投影:A为基点，B点的加速度：轮B的角加速度：求导：一、机构运动分析2.分析机构运动的关键：（1）各构件所作的运动分析；（2）连接点运动分析。第四节运动学综合问题举例1.机构：以适当的方式连接成构件所组成的运动链，各构件间的运动由连接点来传递。24二、分析运动的方法1.直接法：取坐标建立运动方程，再求运动量。运动方程指：点的运动方程（包括刚体平动），定轴转动方程、平面运动方程。

如图所示的平面机构中，杆AB的A端与齿轮中心铰接，齿轮沿齿条向上滚动，其中心速度vA=160mm/s；杆AB套在可绕轴O转动的导套内，并可沿导套滑动，求图示位置杆AB的角速度和角加速度。vAA点的运动方程:解：O为坐标原点，建立直角坐标系。当2.合成法（1）点的合成运动

两运动部件存在相对运动，取动点、动系；用合成运动的方法求运动量。动系可能的运动：平动、绕定轴转动、平面运动。（2）刚体平面运动

在基点上建立平动坐标系，将平面运动分解为随基点的平动加绕基点的转动。

平面运动问题的特点是：两运动构件的连接点具有共同的速度，利用平面运动、平动和绕定轴转动刚体的连接点求运动量。25

图示为一平面连杆机构,等边三角形构件ABC的边长为a，

三个顶点A、B和C分别与套筒A,杆O1B和O2C铰接,套筒又可沿着杆OD滑动。设杆O1B长为a并以角速度转动，求机构处于图示位置时杆OD的角速度OD。OABC60DO2O126解：杆OD、O1B、O2C定轴转动，板ABC平面运动。板的瞬心I。ABCO2O1vBvCvAI1ODOA60DvAvrveA为动点，杆OD为动系。

图示机构中，AB=2l，滑块A以匀速u向下运动。图示瞬时，杆OD水平，AD=DB=OD=l，j=450。试求该瞬时杆AB和杆OD的角速度、角加速度。27vDD为动点，杆AB为动系。解:OD定轴转动；滑块A、B平动；AB平面运动，瞬心I。杆AB上D＇点的速度：28点A为基点，B点的加速度：点A为基点，杆AB上D＇

点的加速度：套筒D为动点，杆AB动系。ξ轴投影：

如图所示的平面机构中，杆