2023年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编专题10：代数综合问题

2023年全国中考数学〔续61套〕压轴题分类解析汇编专题10：代数综合问题11.〔2023黑龙江龙东地区10分〕国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。这两种货车的载重量分别为16吨/运往地车型甲地〔元/辆〕乙地〔元/辆〕大货车720800小货车500650〔1〕求这两种货车各用多少辆？〔2〕如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式〔写出自变量的取值范围〕；〔3〕在〔2〕的条件下，假设运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费。【答案】解：〔1〕设大货车用x辆，那么小货车用〔18－x〕辆，根据题意得16x＋10〔18－x〕=228，解得x=8，∴18－x=18－8=10。答：大货车用8辆，小货车用10辆。〔2〕w=720a＋800〔8－a〕+500〔9－a〕+650[10－〔9－a〕]=70a＋11550，∴w=70a＋11550〔0≤a≤8且为整数〕。〔3〕由16a＋10〔9－a〕≥120，解得a≥5。又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数。∵w=70a+11550，k=70＞0，w随a的增大而增大，∴当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900。答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元。【考点】一元一次方程和一次函数的应用【分析】〔1〕设大货车用x辆，那么小货车用18－x辆，根据运输228吨物资，列方程求解。〔2〕设前往甲地的大货车为a辆，那么前往乙地的大货车为〔8－a〕辆，前往甲地的小货车为〔9－a〕辆，前往乙地的小货车为[10－〔9－a〕]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式。〔3〕结合条件，求a的取值范围，由〔2〕的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。12.〔2023黑龙江绥化10分〕在实施“中小学校舍平安工程〞之际，某市方案对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．〔1〕改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？〔2〕该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承当，假设国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？【答案】解：〔1〕设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元，那么，解得。答：改造一所A类学校和一所B类学校的校舍分别需资金90万元，130万元。〔2〕设A类学校应该有a所，那么B类学校有〔8－a〕所．那么，解得。∴1≤a≤3，即a=1，2，3。∴共有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所。【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。【分析】〔1〕方程〔组〕的应用解题关键是找出等量关系，列出方程〔组〕求解。此题等量关系为：改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元。〔2〕不等式〔组〕的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式〔组〕求解。此题不等量关系为：地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210；国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770。13.〔2023黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分〕为了迎接“五·一〞小长假的购物顶峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价l80元，售价320元；乙种服装每件进价l50元，售价280元．(1)假设该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件?(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元，且不超过26800元，那么该专卖店有几种进货方案?(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠【答案】解：〔1〕设购进甲种服装x件，那么乙种服装是〔200－x〕件，根据题意得：180x＋150〔200－x〕=32400，解得：x=80，200－x=200－80=120。∴购进甲、乙两种服装80件、120件。〔2〕设购进甲种服装y件，那么乙种服装是〔200－y〕件，根据题意得：，解得：70≤y≤80。∵y是正整数，∴共有11种方案。〔3〕设总利润为W元，那么W=〔140－a〕y+130〔200－y〕，即w=〔10－a〕y+26000。①当0＜a＜10时，10－a＞0，W随y增大而增大，∴当y=80时，W有最大值，此时购进甲种服装80件，乙种服装120件。②当a=10时，〔2〕中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以。③当10＜a＜20时，10－a＜0，W随y增大而减小，∴当y=70时，W有最大值，此时购进甲种服装70件，乙种服装130件。【考点】一元一次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。【分析】〔1〕设购进甲种服装x件，那么乙种服装是〔200－x〕件，根据两种服装共用去32400元，即可列出方程，从而求解。〔2〕设购进甲种服装y件，那么乙种服装是〔200－y〕件，根据总利润〔利润=售价-进价〕不少于26700元，且不超过26800元，即可得到一个关于y的不等式组，解不等式组即可求得y的范围，再根据y是正整数整数即可求解。〔3〕首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案。14.〔2023湖北黄冈12分〕某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的本钱为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购置该新型产品，公司决定商家一次购置这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；假设一次购置该种产品超过10件时，每多购置一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．(1)商家一次购置这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?(2)设商家一次购置这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购置产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购置的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购置的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)【答案】解：〔1〕设件数为x，依题意，得3000－10〔x－10〕=2600，解得x=50。答：商家一次购置这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。〔2〕当0≤x≤10时，y=〔3000－2400〕x=600x；当10＜x≤50时，y=[3000－10〔x－10〕－2400]x，即y=－10x2+700x；当x＞50时，y=〔2600－2400〕x=200x。∴。〔3〕由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，此时，销售单价为3000－10〔x－10〕=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元。【考点】二次函数的应用。【分析】〔1〕设件数为x，那么销售单价为3000-10〔x-10〕元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。〔2〕由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。〔3〕由〔2〕的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。15.〔2023湖北孝感12分〕关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)假设x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根．【答案】解：〔1〕证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=〔m+3〕2－4〔m+1〕=〔m+1〕2+4，∵无论m取何值，〔m+1〕2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根。〔2〕∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－〔m+3〕，x1•x2=m+1。∵|x1－x2|＝2，∴〔x1－x2〕2=8，即〔x1＋x2〕2－4x1x2=8。∴[－〔m+3〕]2－4〔m+1〕=8，即m2＋2m－3=0。解得：m1=－3，m2=1。当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1=，x2=－。当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+，x2=－2－。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】〔1〕根据关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－4ac的符号来判定该方程的根的情况。〔2〕根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1•x2，由条件|x1－x2|＝2平方后可以得到关于x1＋x2和x1•x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。17.〔2023湖北鄂州10分〕某私营服装厂根据2023年市场分析，决定2023年调整服装制作方案，准备每周〔按120工时计算〕制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。每件服装的收入和所需工时如下表：服装名称西服休闲服衬衣工时/件收入〔百元〕/件321设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y的代数式表示衬衣的件数z。求y与x之间的函数关系式。问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？【答案】解：〔1〕从件数方面：z=360－x－y，从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。〔2〕由〔1〕得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。〔3〕由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2〔360－3x〕＋2x=－x＋720由题意得，解得30≤x≤120。由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。【分析】〔1〕根据题目中的条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。〔2〕由〔1〕整理得：y=360－3x。〔3〕由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得，解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。18.〔2023广东河源9分〕(1)方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)的两根为x1、x2，求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．(2)抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于点A、B，且过点(―1，―1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值并求出该最小值．【答案】〔1〕证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，∴。〔2〕解：把〔﹣1，﹣1〕代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为〔x1，0〕、〔x2，0〕。∵d=|x1﹣x2|，∴d2=〔x1﹣x2〕2=〔x1+x2〕2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=〔p﹣2〕2+4。∴当p=2时，d2的最小值是4。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】〔1〕根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】〔2〕把点〔﹣1，﹣1〕代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。19.〔2023黑龙江牡丹江10分〕某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答以下问题：〔1〕求出足球和篮球的单价；〔2〕假设学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购置方案？〔3〕在〔2〕的条件下，假设足球的进价为50元，篮球的进价为65元，那么在第二次购置方案中，哪种方案商家获利最多？【答案】解：〔1〕设足球的单价为x元，那么篮球的单价为x＋20元，根据题意，得8x＋14〔x＋20〕=1600，解得x=60。x＋20=80。答：足球的单价为60元，那么篮球的单价为80元。〔2〕设购进足球y个，那么购进篮球50－y个。根据题意，得，解得。∵y为整数，∴y=38，39，40。当y=38，50－y=12；当y=39，50－y=11；当y=40，50－y=10。∴有三种方案：方案一：购进足球38个，那么购进篮球12个；方案二：购进足球39个，那么购进篮球11个；方案一：购进足球40个，那么购进篮球10个。〔3〕商家售的利润：38〔60－50〕＋12〔80－65〕=560〔元〕；商家售方案二的利润：39〔60－50〕＋11〔80－65〕=555〔元〕；商家售方案三的利润：40〔60－50〕＋10〔80－65〕=550〔元〕。∴第二次购置方案中，方案一商家获利最多。【考点】一元一次方程和一元一次不等式组的应用，【分析】〔1〕设足球的单价为x元，那么篮球的单价为x＋20元，根据“用1600元购进足球8个和篮球14个〞列方程求解即可。〔2〕设购进足球y个，那么购进篮球50－y个，根据“不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球〞列不等式组求解即可。〔3〕求出三种方案的利润比拟即可。20.〔2023辽宁朝阳12分〕某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元。绿茶每千克本钱50元，在第一个月的试销时间内发现。销量w〔kg〕随销售单价x〔元/kg〕的变化而变化，具体变化规律如下表所示销售单价x〔元/kg〕……7075808590……销售量w〔kg〕……10090807060……设该绿茶的月销售利润为y〔元〕〔销售利润=单价×销售量－本钱－投资〕。〔1〕请根据上表，写出w与x之间的函数关系式〔不必写出自变量x的取值范围〕；〔2〕求y与x之间的函数关系式〔不必写出自变量x的取值范围〕，并求出x为何值时，y的值最大？〔3〕假设在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的根底上使第二个月的利润到达1700，那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元？【答案】解：〔1〕w=－2x＋240。〔2〕y与x的关系式为：∵，∴当x=85时，y的值最大为2450元。〔3〕∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元，∴第1个月还有3000－2450=550元的投资本钱没有收回。那么要想在全部收回投资的根底上使第二个月的利润到达1700元，即y=2250才可以，可得方程，解得x1=75，x2=95。根据题意，x2=95不合题意应舍去。答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的根底上使第二个月的利润到达1700元。【考点】一、二次函数和一元二次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】〔1〕利用表格中数据，设出解析式，用待定系数法求出一次函数关系式：设w=kx+b，将〔70，100〕，〔75，90〕代入上式得，，解得，。∴w=－2x＋240。经验证，〔80，80〕，〔85，70〕，〔90，60〕满足w=－2x＋240。∴w与x之间的函数关系式为w=－2x＋240。〔2〕利用每千克销售利润×销售量=总销售利润列出函数关系式，利用配方法可求最值。〔3〕首先根据第一个月的利润，得出要想在全部收回投资的根底上使第二个月的利润到达1700元，即第二个月必须获得2250元的利润，把函数值2250代入，解一元二次方程即可。21.〔2023广西河池10分〕随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2023年底拥有家庭电动自行车125辆，2023年底家庭电动自行车的拥有量到达180辆.(1)假设该小区2023年底到2023年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，那么该小区到2023年底电动自行车将到达多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建假设干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，方案露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，那么该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.【答案】解：〔1〕设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，那么125〔1+x〕2=180，解得x1=0.2=25%，x2=－2.2〔不合题意，舍去〕。∴180〔1+20%〕=216〔辆〕。答：该小区到2023年底家庭电动自行车将到达216辆。〔2〕设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，那么，由①得b=150－5a，代入②得20≤a≤∵a是正整数，∴a=20或21。当a=20时b=50；当a=21时b=45。∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个。【考点】一元二次方程和一元一次不等式组的应用。【分析】〔1〕设年平均增长率是x，根据某小区2023年底拥有家庭电动自行车125辆，2023年底家庭电动自行车的拥有量到达180辆，可求出增长率，进而可求出到2023年底家庭电动车将到达多少辆。〔2〕设建x个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据方案露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况。22.〔2023新疆区12分〕库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元．〔1〕请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；CD总计Ax吨200吨B300吨总计240吨260吨500吨〔2〕当x为何值时，A村的运费较少？〔3〕请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．【答案】解：〔1〕填表如下：CD总计Ax吨〔200﹣x〕吨200吨B〔240﹣x〕吨〔60+x〕吨300吨总计240吨260吨500吨由题意得：yA=40x+45〔200﹣x〕=﹣5x+9000；yB=25〔240﹣x〕+32〔60+x〕=7x+7920。〔2〕对于yA=﹣5x+9000〔0≤x≤200〕，∵k=﹣5＜0，∴此一次函数为减函数，∴当x=200吨时，yA最小，其最小值为﹣5×200+9000=8000〔元〕。〔3〕设两村的运费之和为W〔0≤x≤200〕，那么W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920，∵k=2＞0，∴此一次函数为增函数，∴当x=0时，W有最小值，W最小值为16920元。∴按如下方案调运，两村的运费之和最小，最小值为16920元。CDA0吨200吨B40吨240吨【考点】一次函数的应用。【分析】〔1〕由A村共有香梨200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为〔200﹣x〕吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运〔240﹣x〕吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣〔240﹣x〕，化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，填表即可。由从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元，由表格中的代数式，即可分别列出yA，yB与x之间的函数关系式。〔2〕由第一问表示出的yA与x之间的函数关系式得到此函数为一次函数，根据x的系数为负数，得到此一次函数为减函数，且0≤x≤200，故x取最大200时，yA有最小值，即为A村的运费较少时x的值。〔3〕设两村的运费之和为W，W=yA+yB，把第一问表示出的两函数解析式代入，合并后得到W为关于x的一次函数，且x的系数大于0，可得出此一次函数为增函数，可得出x=0时，W有最小值，将x=0代入W关于x的函数关系式中，即可