第五节奈魁斯特稳定判据 裕度 分析 闭环(19-2,20,21讲)1

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering1自动控制原理

（第19讲）§5.线性系统的频域分析与校正§5.1频率特性的基本概念§5.2幅相频率特性（Nyquist图）§5.3对数频率特性（Bode图）§5.4频域稳定判据§5.5稳定裕度§5.6利用开环频率特性分析系统的性能§5.7闭环频率特性

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering2自动控制原理§5.4频域稳定判据16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering3

主要内容幅角定理奈魁斯特稳定判据奈氏稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用在波德图上判别系统稳定性§5.4频域稳定判据16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering4稳定性（Stability）Forstability,allrootsofthecharacteristicequationmustlieintheleft-halfsplane.

判别系统稳定性的方法除了直接求解特征方程的根外，前面已经介绍了代数判据和根轨迹法。

在系统含有时滞环节时，代数判据法无能为力，根轨迹法虽然有效，但很麻烦。不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题.

奈氏判据可由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性;可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题.而且，他所使用的开环频率特性可以通过实验测取，这对于不易建模的实际系统很有意义。同时，他不仅仅用于单变量系统，也推广到多变量系统，不仅用于线性系统，也可推广用来分析某些非线性系统的稳定性。

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering5映射复变函数函数S平面F平面映射周线：复平面上的一条封闭曲线。假设定义域为一周线，其映射会如何？幅角定理16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering6含有零点的映射（观察幅角）s周线观察：s包围零点沿abcd顺时针变化一周，F(s)在F平面中包围原点沿F(a)F(b)F(c)F(d)顺时针变化一周。F周线问题：s沿周线变化一周，其函数F(s)有怎样的变化？1、周线包围零点观察：s顺时针变化一周，F(s)也顺时针变化一周，但不包围原点。2、周线不包围零点问题：周线包围Z个零点，又如何呢？幅角定理16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering7含有极点的映射（观察幅角）s周线观察：s包围极点沿abcd顺时针变化一周，F(s)在F平面中包围原点沿F(a)F(b)F(c)F(d)逆时针变化一周。F周线问题：s沿某周线变化一周，其函数F(s)怎样变化？1、周线包围极点观察：s顺时针变化一周，F(s)也顺时针变化一周，但不包围原点。2、周线不包围零点问题：周线包围P个极点呢？幅角定理16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering8MappingTheorem幅角定理幅角定理

点s在S平面内某周线上顺时针绕行一周即周线内零（极点）点与s所成向量顺时针变化360°时，F(s)在F平面内对应的映射周线上绕原点顺（逆）时针绕行一周（或对应向量顺时针变化360°）。

注意：S平面上周线外的零/极点不会影响其映射周线对F平面原点的绕行周数。推论：

若F(s)在s周线内有Z个零点和P个极点，且s绕s周线顺时针变化一周，则对应的点F(s)沿映射的周线顺时针包围原点N=Z–P

周。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering9设F(s)被包围有N:s绕奈氏路径一周时，F(jw)包围[F]平面(0,j0)点的圈数P个极点(开环极点)Z个零点(闭环极点)Z=2P=1s绕路径转过一周，F(jw)绕[F]平面原点转过的角度jF(w)为幅角定理16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering10幅角定理

设负反馈系统的开环传递函数为：，其中： 为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。闭环传递函数为：，如下图所示：令：则开环传递函数为：……………(a)闭环传递函数为：……………(b)16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering11

显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：。式中，为F(s)的零、极点。由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点；将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：……………..(c)16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering12F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点都可以在F(s)平面上找到一个相应的点，称为在F(s)平面上的映射。

同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线（为的映射）。

若N为正，表示顺时针运动，包围原点；

若N为0，表示顺时针运动，不包围原点；

若N为负，表示逆时针运动，包围原点。[幅角定理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering13二、奈魁斯特稳定判据：

对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。

应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，如果开环频率特性是已知的，设想：

如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：

当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering14这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性相联系？它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；

；Ⅲ部分是负虚轴，。第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：ⅠⅡⅢ16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering15F(s)平面上的映射是这样得到的：以代入F(s)并令从 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由

，得第二部分的映射；令从，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算，式中： 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 。当时，系统稳定；否则不稳定。第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering16②F(s)对原点的包围，相当于对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与对(-1,j0)点的包围的次数一样。奈魁斯特路径的第Ⅰ部分的映射是曲线向右移1；第Ⅱ部分的映射对应，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的关于实轴的对称。③F(s)的极点就是的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是在右半平面的极点数。①由可求得，而是开环频率特性。一般在中，分母阶数比分子阶数高，所以当时，，即F(s)=1。（对应于映射曲线第Ⅱ部分）16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering17F(s)与的关系图。ⅠⅡⅢ16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering18

根据上面的讨论，如果将幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。[奈魁斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：。若，则闭环系统稳定，否则不稳定。[奈魁斯特稳定判据的另一种描述]：设开环系统传递函数在右半s平面上的极点数为，则闭环系统稳定的充要条件为：在 平面上的开环频率特性曲线极其映射当从变化到时，将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点圈。对于开环系统稳定的情况，，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线极其映射不包围(-1,j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering19[例5-1]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数N=0，则闭环系统在s右半平面的个数： 。故闭环系统是稳定的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering20[例5-2]设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环极点为-1，-1j2，都在s左半平面所以。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(-1,j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为： ，闭环系统是不稳定的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering21自动控制原理

（第20讲）§5.线性系统的频域分析与校正§5.1频率特性的基本概念§5.2幅相频率特性（Nyquist图）§5.3对数频率特性（Bode图）§5.4频域稳定判据§5.5稳定裕度

§5.6利用开环频率特性分析系统的性能§5.7闭环频率特性

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering22回顾奈氏周线与奈氏曲线NyquistContour上面的极坐标图对称于实轴因为模相同，相位相反坐标原点(n-m)(-90°)实轴上的点16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering23回顾

奈魁斯特稳定判据[奈魁斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：。若，则闭环系统稳定，否则不稳定。[奈魁斯特稳定判据的另一种描述]：设开环系统传递函数在右半s平面上的极点数为，则闭环系统稳定的充要条件为：在 平面上的开环频率特性曲线极其映射当从变化到时，将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点圈。对于开环系统稳定的情况，，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线极其映射不包围(-1,j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering24[例5-3]系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系。-[解]：开环系统奈氏图是一个半径为，圆心在的圆。显然，k>=1时，包围(-1,j0)点，k<1时不包围(-1,j0)点。由图中看出：当k>1时，奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈，N=-1，而，则闭环系统是稳定的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering25临界稳定的概念

最小相位系统当G(jω)过(-1,j0)点时，闭环系统临界稳定。G(jω)曲线过(-1,j0)点时，说明有这么一个点

G(jω)=1同时成立！特点：∠

G(jω)

=-180o0j1-1G(jω)N=zP16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering26编程题编写程序求临界频率和临界增益。闭环被控对象如下它的临界震荡频率（弧度）满足方程：

它的临界增益k满足方程：symsw;solve('-0.15*w-atan(0.5*w)-atan(0.4*w)=-pi')w=ans;k=sqrt((0.5*w)^2+1)*sqrt((0.4*w)^2+1)16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering27特殊情况对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统

上面讨论的奈魁斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈魁斯特路径。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering28三、奈魁斯特稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用：具有开环0极点系统，其开环传递函数为：

可见，在原点有重0极点。也就是在s=0点，不解析，若取奈氏路径同上时（通过虚轴的整个s右半平面），不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径如下：16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering29SpecialCaseG(s)involvespolesonthejωaxis为保证Nyquist周线不穿越G(s)的极点，把原点附近的周线设置为用无穷小半径逆时针半周绕行。NyquistContour无穷大半径顺时针半周无穷大半径顺时针一周16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering30(b)对于Ⅱ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：所以这一段的映射为半径为，角度从变到的整个圆（顺时针）。所以这一段的映射为半径为，角度从变到的右半圆。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering31[结论]用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于Ⅰ、Ⅱ型系统。[例5-4]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：显然这是1型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。从图上看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，闭环系统是稳定的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering32Type1system令虚部为0，求得与实轴交点的频率及实部坐标值为欲使闭环系统稳定，则Nyquist曲线不包围(-1,j0)，所以[例5-5]已知开环特性，试分析系统闭环后的稳定性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering33[例5-6]某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因，所以，闭环系统是不稳定的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering34通常，只画出的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：。式中，为变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的圈数。不包围(-1,j0)点，0型系统包围(-1,j0)点，Ⅰ型系统和Ⅱ型系统对应的奈魁斯特路径分别为：16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering35这时奈魁斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当从 时，频率特性曲线在实轴段的正负穿越次数差为。

频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示。当增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴的段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的段的正穿越（这时随着的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为负穿越。正穿越负穿越16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering36四、在对数坐标图上判断系统的稳定性：

开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：1、奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； 。2、奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180度相位线。

奈氏图频率特性曲线在上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上的范围内，当增加时，相频特性曲线从下向上穿过-180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering37对照图如下：正穿越负穿越正穿越负穿越相角方向为正

增加时，相角增大对数坐标图上奈氏稳定判据如下：

设开环频率特性在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对-180度线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半s极点数为：，式中为正负穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z>0，闭环系统不稳定。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering38五、最小相位系统的奈氏判据：开环频率特性在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图（开环频率特性曲线）不包围(-1,j0)点。因为若N=0，且P=0，所以Z=0。奈氏图幅值和相角关系为：当时当时，式中，分别称为相角、幅值穿越频率上述关系在对数坐标图上的对应关系:当时当时，16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering39小结

幅角定理。满足该定理的条件。N=z-p

辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。奈奎斯特稳定判据。几种描述形式；Ⅰ、Ⅱ型系统的奈氏路径极其映射；最小相位系统的奈氏判据；对数坐标图上奈氏判据的描述。

对数频率特性图和奈奎斯特频率特性图的关系。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering40第五节稳定裕度16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering41自动控制原理

（第20讲）§5.线性系统的频域分析与校正§5.1频率特性的基本概念§5.2幅相频率特性（Nyquist图）§5.3对数频率特性（Bode图）

§5.4频域稳定判据§5.5稳定裕度

§5.6利用开环频率特性分析系统的性能§5.7闭环频率特性

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering42j01ωcωgG(jω)G(jωx)∠G(jωc)=–180oG(jωg)h=1稳定裕度的定义-116一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering43求稳定裕度步骤(补充)16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering44判稳例题(补充)已知单位反馈系统开环传递函数要求:1.

绘制奈氏曲线2.

用奈氏判据判稳

3.

解:1起点:终点:求交点:2.ImRe0可见系统不稳定!不能由γ和h判稳吧!3.16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering45

当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时： 。对于最小相位系统，可以用 和来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。[定义]：和为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。在对数坐标图上，用表示的分贝值。即16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering46显然，当时，即和时，闭环系统是稳定的否则是不稳定的。对于最小相位系统，和是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。[幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加倍（奈氏图）或增加分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于倍（或分贝），则系统变为不稳定。比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。[相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率处将相角减小度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering47自动控制原理

（第21讲）§5.线性系统的频域分析与校正§5.1频率特性的基本概念§5.2幅相频率特性（Nyquist图）§5.3对数频率特性（Bode图）

§5.4频域稳定判据§5.5稳定裕度

§5.6利用开环频率特性分析系统的性能

§5.7闭环频率特性

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering48对于没有正实部零极点（最小相位）系统，可以用 和来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。[定义]：和为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。在对数坐标图上，用表示的分贝值。即课程回顾16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering49课程回顾稳定裕度的概念(开环频率指标)稳定裕度的定义稳定裕度计算方法的几何意义截止频率相角裕度相角交界频率幅值裕度的物理意义稳定裕度的意义16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering50Phase&GainMargininBodeDiagrams16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering51稳定裕度计算解法I：由幅相曲线求例，求(1)令试根得16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering52(2.1)令可得16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering53(2.2)将G(jw)分解为实部、虚部形式令得代入实部16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering54由L(w):得解法II：由Bode图求16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering55解.作L(w)求法I:例，求法II:16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering56ExampleObtainthephaseandgainmarginofthesystemshownbelowforthecasewhereK=10andK=100.G=zpk([],[0-1-5],10);[Gm,Pm,wc,wg]=margin(G)G=zpk([],[0-1-5],100);[Gm,Pm,wc,wg]=margin(G)16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering57当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering58带有延迟环节系统的相位裕度的求法：设系统的开环传递函数为：，我们知道增加了延迟环节后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了。表现在奈氏图和波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。左图中，红色曲线为Gk(s)频率特性，兰色曲线为增加了延迟环节后的频率特性。其幅值和相角穿越频率分别为和，相角裕度分别为。显然增加了延迟环节后，系统的稳定性下降了。若要确保稳定性，其相位裕度必须大于零。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering59[稳定裕度概念使用时的局限性]：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义；2、除纯延迟外的非最小相位系统不能使用该定义；3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图：16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering60自动控制原理§5.6利用开环频率特性

分析系统的性能§5.6.1L(w)低频渐近线与系统稳态误差的关系§5.6.2L(w)中频段特性与系统动态性能的关系§5.6.2L(w)高频段对系统性能的影响

（第21讲）16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering61§5.6利用开环频率特性分析系统的性能例1

最小相角系统j(w)~L(w)

之间的对应关系(K=1)16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering62§5.6利用开环频率特性分析系统的性能三频段理论1.L(w)低频段⇔系统稳态误差ess2.L(w)中频段⇔系统动态性能(s,ts)3.L(w)高频段⇔系统抗高频噪声能力最小相角系统L(w)曲线斜率与j(w)的对应关系希望L(w)以-20dB/dec斜率穿越0dB线，并保持较宽的频段16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering63Bode’sTheorem

第一，线性最小相位系统的幅频特性与相频特性之间的关系是一一对应的。第二，对数幅频特性渐进线的斜率与相角有对应的关系。如果在整个频率范围内斜率是固定的，则他们的关系为-20γdB←→-90°γ。如果在整个频率范围内幅频特性斜率是变化的，则在某一频率ω0处的相角φ(ω0)，主要地取决于ω0处的那一段对数幅频特性的斜率，其他段的斜率，随着离ω0越远，影响越小。

由Bode定理知，若要求系统相角裕量在30⁰-60⁰，则系统开环对数幅频曲线在幅穿频率及其附近的斜率通常最好为-20dB/dec，且维持该斜率的频率范围越宽，相角裕量就越大，系统的相对稳定性就越好。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering64§5.6利用开环频率特性分析系统的性能中频段三频段理论高频段低频段对应性能希望形状L(w)系统抗高频干扰的能力开环增益K系统型别v稳态误差

ess截止频率wc相角裕度g动态性能陡，高缓，宽低，陡频段三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤，但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering65§5.6利用开环频率特性分析系统的性能关于三频段理论的说明：①各频段分界线没有明确的划分标准；②与无线电学科中的“低”、“中”、“高”频概念不同；③不能用是否以-20dB/dec过0dB线作为判定

闭环系统是否稳定的标准；④只适用于单位反馈的最小相角系统。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering66§5.6利用开环频率特性分析系统的性能(1)二阶系统

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering67§5.6利用开环频率特性分析系统的性能16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering68§5.6利用开环频率特性分析系统的性能例2

已知系统结构图，求wc，并确定s,ts。解.绘制L(w)曲线按时域方法：16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering69§5.6利用开环频率特性分析系统的性能(2)高阶系统

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering70例3

已知最小相角系统L(w)如图所示，试确定(1)开环传递函数G(s);(2)由g确定系统的稳定性；(3)将L(w)右移10倍频，讨论对系统的影响。解.(1)(3)将L(w)右移10倍频后有(2)L(w)右移后wc

增大不变→s不变→ts减小稳定§5.6利用开环频率特性分析系统的性能16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering71自动控制原理

（第21讲）§5.线性系统的频域分析与校正§5.1频率特性的基本概念§5.2幅相频率特性（Nyquist图）§5.3对数频率特性（Bode图）§5.4频域稳定判据§5.5稳定裕度§5.6利用开环频率特性分析系统的性能§5.7闭环频率特性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering72§5.7闭环频率特性研究闭环频率特性的必要性闭环频率特性的一些特征量在实际工程中应用

十分广泛；

(2)通过实验方法很容易得到系统的闭环频率特性；(3)通过闭环频率特性可以估算系统的性能指标。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering73§5.7.1闭环频率特性的几个特征量

例2一阶系统闭环频率特性(1)零频值(2)rrMw谐振频率谐振峰值对二阶欠阻尼系统(3)带宽频率下降到0.707对应的频率值

§5.7闭环频率特性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering74带宽的物理意义：因为，当时，表示 ，随着时，表示 ，输出衰减了0.707倍或-3分贝。再增加，输出衰减得更厉害，这时对实际系统来说，已不能正常使用了。

在实际应用中，一般用（或略大一些）来估计。显然这种估计是偏于保守的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering75§5.7.2闭环频域指标与时域指标的关系(1)二阶系统

§5.7闭环频率特性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering76解.

依图，可以确定是欠阻尼二阶系统由例3

实验测得某闭环系统的对数幅频特性如图所示，试确定

系统的动态性能。解出可确定§5.7闭环频率特性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering77(2)高阶系统

§5.7闭环频率特性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering78解.依题意，当时

要求即例4

一台笔录仪的传递函数为，要求在5Hz以内时，

记录仪的振幅误差不大于被测信号的10%，试确定记录仪应

有的带宽§5.7闭环频率特性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering79课程小结用频域分析方法估算系统的动态性能实验测试稳定性稳定裕度闭环频率

特征量奈氏判据对数判据16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering80本次课程作业5—1,2,45（1，2），13自动控制原理16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering81频域分析法小结（1）

自动控制原理4～5章测验题

一.单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一

个正确的答案，将其题号写入题干的○内)1．已知系统开环传递函数

○若要绘制系统根轨迹，则其等效开环传递函数应该是

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering82频域分析法小结（2）

○2．给出单位负反馈系统的开环传递函数，当K=0→∞

变化时，应绘制0º根轨迹的是

3．闭环系统幅频特性如图所示，则系统带宽频率是

○16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering83频域分析法小结（3）

○4．开环对数幅频特性的中频段决定A．系统的型别；B．系统的抗干扰能力；C．系统的稳态误差；D．系统的动态性能。○5．最小相角系统闭环稳定的充要条件是A．奈奎斯特曲线不包围(-1,j0)点；B．奈奎斯特曲线包围(-1,j0)点；C．奈奎斯特曲线顺时针包围(-1,j0)点；D．奈奎斯特曲线逆时针包围(-1,j0)点。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering84频域分析法小结（4）

○6．开环对数频率特性沿w轴向左平移时

A.

wc

减小，g增加；

B.

wc减小，g不变；C.

wc增加，g不变；

D.

wc不变，g也不变。○7．两典型二阶系统的超调量s﹪相等，则此两

系统具有相同的A.自然频率wn；B.相角裕度g;

C.阻尼振荡频率wd；D.开环增益K。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering85频域分析法小结（5）

○8．单位反馈系统的开环传递函数其幅值裕度h等于

○9．已知串联校正装置的传递函数为

则它是A．相位迟后校正；

B．迟后超前校正；

C．相位超前校正；

D．Ａ、Ｂ、Ｃ都不是。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering86频域分析法小结（6）

○10．开环系统Bode图如图所示，对应的开环传递

函数G(s)应该是16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering87频域分析法小结（7）

○11.单位反馈最小相角系统的开环对数频率特性如图

所示，要用串联校正方式使校正后系统满足条件

，则应采用

Ａ．超前校正；Ｂ．迟后校正；Ｃ．迟后-超前校正；

D．用串联校正方式

不可能满足要求。

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering88频域分析法小结（8）

○12．典型二阶系统的超调量越大，反映出系统

Ａ．频率特性的谐振峰值越小；Ｂ．阻尼比越大；Ｃ．闭环增益越大；Ｄ．相角裕度越小。

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering89频域分析法小结（9）

二.多项选择题(在每小题的五个备选答案中，选出

二至五个正确的答案，将其号码写入题干的

○○○○○内，正确答案没有选全、多选或有

选错的，该题无分，每小题2分，共分)1．系统的频率特性

A．是频率的函数；B．与输入幅值有关；

C．与输出有关；D．与时间t有关；

E．由系统的结构、参数确定。

○○○○○16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering90频域分析法小结（10）

○○○○○2．根据下列开环传递函数作K=0→∞变化的根轨迹,

应画常规根轨迹的有16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering91频域分析法小结（11）

3．最小相角系统的稳定性,可由下列条件判定

A．开环零、极点分布；

B．闭环特征方程；

C．根轨迹及开环增益；

D．开环幅相频率特性；

E．开环对数频率特性。

○○○○○16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering92频域分析法小结（12）

○○○○○4．指出下列由闭环频率特性引出的指标

A．带宽频率wb

；

B．相角裕度g；C．零频值M(0)

；

D

．谐振峰值wr

；

E．截止频率wc

。16一