随机信号的谱估计方法及实现孟波20091342083解读

淮北师范大学2013届学士学位论文随机信号的谱预计方法及实现学院、专业物理与电子信息学院电子信息工程研究方向数字信号办理学生姓名孟波学号20091342083指导教师姓名崔少华指导教师职称讲师2013年4月26日淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现随机信号的谱预计方法及实现孟波淮北师范大学物理与电子信息学院235000纲领对一个确立性信号来进行傅里叶变换是频次域分析研究中的理论基础，但是关于一个随机信号来说，它是不存在傅里叶变换的，因此我们转而去研究它的功率谱。功率谱预计是数字信号办理中的一个重要构成部分，其理论研究已经非常成熟，但是因为计算量的弘大传统的仿真切现经常令人不肯采纳那种方法。采用功能兴盛的MATLAB软件对常用的几种线性法功率谱预计进行仿真，经过对于仿真结果进行研究讨论总结出这几种功率谱预计法的各自特色，并对其比较分析，经过对其特色认真研究，进而在实质工作中做出合理的选择。本文简要介绍了MATLAB仿真软件的一些基本的功能、使用的特色和独有的优势等等，以及详尽介绍了周期图法、均匀周期图法、窗函数法等几种经典的功率谱预计方法的原理，并对各样方法进行仿真，经过察看到的结果来分析其优弊端，对这几种方法进行质量讨论，并提出了改良方向。要点词自有关函数;功率谱;MATLAB;随机信号1淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现RandomsignalspectrumestimationmethodanditsimplementationMengBoSchoolofPhysicsandElectronicInformation,HuaiBeiNormalUniversity,AnhuiHuaibei,235000AbstractTheFouriertransformofthedeterministicsignalinthefrequencydomainanalysisisabasical,butforrandomsignals,theFouriertransformdoesnotexist.Soweturntostudyitspowerspectrum.Powerspectrumestimationisanimportantpartofthedigitalsignalprocessing.Itstheoriesisverymaturenow.Becauseofthehardofthetraditionalsimulation,alotofpeoplerefusetouseitwithpowerfulMATLABtoreplace.Theresultsofthesimulationarediscussedtosummarizetheirrespectivecharacteristicsofthesekindsofpowerspectrumestimationmethodsandthecomparativeanalysis.Throughthecarefullystudyofitscharacteristics,Itresultsinthepracticalworktomaketherationalchoice.ThispaperbrieflyintroducestheMATLABsimulationsoftware,theuseofsomeofthebasicfunctionsofthecharacteristics,theuniqueadvantageandsoon,andthedetailsofthepowerofseveralperiodicgraphmethod,averageperiodogrammethod,windowfunctionmethodandtheclassical2淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现spectrumestimationmethod,andthemethodofsimulation,theobservedresultanalysisitsadvantagesanddisadvantages,toevaluatethequalityofthesemethodsandputforwardtheimprovementdirection.Keywordsautocorrelationfunction;powerspectrum;MATLAB;randomsignal3淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现目录1绪论51.1常用的功率谱研究方法及其发展51.2功率谱预计方法的产生61.3功率谱预计应用方向61.4本课题的主要研究内容71.5MATLAB应用方向71.6MATLAB特色及其优势82古典法对随机信号的谱预计92.1周期图法92.2有关法谱预计（BT）.92.3WELCH法113分析比较各样预计方法123.1直接法123.2间接法133.3WELCH法：143.4比较分析各样预计方法16结论17参照文件18附录19致谢214淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现绪论在对信号和系统进行分析研究和办理的时候我们常用的方法主要有两种，一是对信号在时域进行分析办理，二是对信号在频次进行办理研究。这两类方法都是信号办理的重要方法。我们常以为功率谱就是无量多个自有关函数的函数，假如但是纯真的关于数据进行察看，那么其只有有限个，也就只好获得有限个自有关函数。但假如想要依照有限个样本数据，去对随机序列的真切功率谱进行分析和计算，这才是我们经常面对的求取功率谱的最主要的问题，这是一个关于功率谱进行的预计问题。关于功率谱进行预计是随机信号办理的一个特别重要的课题，我们经常使用的功率谱的预计方法主假如经典预计，我们也称之为线性预计。经典谱预计有能够分红两种，一种是BT法，也叫间接法；另一种是周期图法。这类方法是先按照有限个察看数据预计自有关函数，再计算功率谱。在FFT还未出现从前，BT法在很长时间里是最为常用的方法。但向抵达FFT出现此后，周期图法才渐渐受到人们的重视。这类方法是直接对察看数据进行迅速傅里叶变换,再求取模的平方，最后再除以N进而获得功率谱。将这两种方法对比较可知，周期图法较为简单，不用去预计其自有关函数，并且能够用迅速傅里叶变换进行计算。因此，相对而言周期图法获得了更宽泛的应用。频次分辨率低是经典谱预计的一个很致命且难以战胜的弊端，这是因为傅里叶变换域是无量大的，但是察看到数据却但是有限个，默认了所有察看不到的数据为0，但是事实上n之外的信号仍有较强的有关性，因此这样预计出功率谱与真切的功率谱比较就会出现很大的偏差。信号在时域中与一个矩形窗函数相乘实质上相当于在频域与一个sinc函数卷积，sinc函数分为主瓣和旁瓣，这样使卷积后的功率谱与真切的功率谱也不一样样。sinc函数的主瓣会致使谱的分辨率降低；而旁瓣则会惹起间接致使信号失真。经过采纳不一样样的窗函数，进而使得谱预计的分辨率获得很大的提升。旁瓣的压低经常是以增添主瓣宽度为代价的，因此经典谱预计有一个致命且难以防备和战胜的弊端那就是谱分辨率很低[1]。1.1常用的功率谱研究方法及其发展关于功率谱进行谱预计是数字信号办理中的一个特别重要的内容，主要就是研究信号在频域变换过程中的不一样样特色，其目的是依照有限数据提取合用信号。此刻的谱预计是经过漫长的发展过程而来的，最早给出了“谱”的见解的人是英国的有名科学家牛顿。今此后自法国的有名工程师傅立叶初次提出了傅立叶谐波分5淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现析理论。即即是在今日该理论依旧是数字信号办理的重要理论基础。在傅立叶级数被提出此后，曾被宽泛应用于对自然界中周期信号的察看。在世纪末期，Schuster提出利用傅立叶级数的幅值的平方去作为函数中功率的胸怀单位，并命名其为“周期图”。最早的经典谱预计法就是这样被提出来的，即便是此刻，这类方法依旧被使用，不一样样的是此刻是用迅速傅立叶变换（FFT）去对失散傅立叶变换（DFT）进行计算的，信号中功率的胸怀单位是DFT的幅值的平方。周期图因为方差性能较差人们便开始去研究其余的分析方法。Yule在20世纪20年月年提出了去用线性回归方程来模拟一个时间序列。事实上这是参数模型法谱预计的基础。巴特利特在20世纪中叶第一次次提出了利用自回归模型系数来对功率谱进行计算。Toeplitz矩阵构造在线性展望和自回归模型中都被使用了，依照该矩阵的特色Levinson曾在20世纪中叶第一次次提出认识Yule-Walker的迅速计算方法。他做的这些工作为现代谱预计的发展确立了很好的理论基础。Cooley和Tukey在1965年提出的FFT算法，也对谱预计的发展起到了很大的促使作用[2]。1.2功率谱预计方法的产生在通信系统中，我们经常需要研究拥有某种统计特色的随机信号。因为随机信号是一类连续时间无量长，拥有无量大能量的功率信号，因此它不知足在时域绝对可积的条件，也即不知足傅里叶变换条件，又因为其连分析表达式都不存在，因此就不可以够够应用确立信号的频谱计算方法去分析随机信号的频谱。但是，固然随机信号的频谱不存在，但其有关函数的确确立的。关于一个安稳的随机信号，它的功率谱密度函数和它的有关函数的傅里叶变换是相同的，我们称之为功率谱。1.3功率谱预计应用方向我们关于功率谱进行研究的最粗心义就是因为其有着特别宽泛的应用，在分析和认识一个随机信号时，我们平常要从对它的功率谱进行预计开始。信号办理中功率谱预计是一种比较常用的办理手段。在信号办理的很多地方，我们必然要在从前就清楚地认识信号的功率谱密度，这样才能最精准的去对信号进行复原，对信号中夹杂的噪声进行有效滤除。经过对信号的功率谱进行预计能够获守信号的一系列其余参数。因为白色噪声的PSD(用P( )表示)为一常数即P( )2，于是有：6淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现Pyy( )2H( )2(1-1)因此经过对信号噪声的预计，能够预计出系统的频次特色H( )的大体特色。从宽带噪声中检测出窄带信号。在信号办理领域我们平常用功率谱预计办理此类问题。但是这对功率谱预计的分辨率有较高要求，要否则很难能够精准地地检测出来。怎样去提升谱预计的分辨率已成为目前谱预计研究课题中的一项重要内容，功率谱预计就是经过信号的有关性预计出接遇到信号的功率随频次的变化关系，实质用途有滤波，信号鉴识（分析出信号的频次），信号分别，系统鉴识等。谱估计技术是在通信系统中是一项重要内容。维纳滤波、卡尔曼滤波，可用于自适应滤波，信号波形展望等。1.4本课题的主要研究内容本课题的研究要点是对随机信号的功率谱密度系统性能的分析。第一对功率谱预计的方法进行分析理解，此后经过matlab编程，获得仿真结果。比较各样谱预计方法总结出有关结论。1.5MATLAB应用方向MATLAB的应用领域：（1）数值分析。（2）符号和数值计算。（3）科学与工程画图。（4）控制系统的仿真与设计。关于数字图像进行办理。（6）关于数字信号进行办理。（7）关于通信系统进行仿真与设计。（8）关于金融与工程进行仿真。在主流的学术界，MATLAB已经被大家公以为是最为为正确、靠谱的科学计算软件。在很多国际高端的学术期刊上，都有着MATLAB的宽泛应用，目前MATLAB已宽泛应用于：数值与符号的计算、工程画图、科学画图、关于数值进行分析、建模和仿真、控制系统的设计与仿真、数字图像办理、数字信号办理、通信系统设计与仿真、财务与金融工程。详尽表现为：航天工程、自动控制、生物医学工程、汽车工业、图像办理、语音办理、信号分析、雷达工程、计算机技术等诸多7淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现领域中[3]。1.6MATLAB特色及其优势特色：（1）该语言可用于技术计算。（2）该开发环境可管理代码、数据和文件进行。（3）交互式工具能够按迭代的方式去设计及求解问题。（4）数学函数有着极其宽泛的应用。（5）三维和二维图形函数可用于可视化数据。（6）诸多工具可被应用于建立用户的自定义图形界面。（7）不一样样的函数可集成多种语言和应用程序。[4]（8）不可以够支持大写输入，其内核仅支持小写。（1）较好的的编程环境和工作平台。（2）程序语言简单易用。（3）科学计算和数据办理能力较强。（4）较好的图形图像办理功能。（5）高集成度工具箱能够被宽泛的应用于诸多领域。（6）宣告平台和程序接口较为合用。（7）应用软件开发（包含用户界面）很符合操作习惯[5]。8淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现古典法对随机信号的谱预计2.1周期图法周期图法又称直接法。它是从随机信号x(n)中截取一段信号长度为N，我们就以为它是能量有限的信号x(n)真切功率谱Sx(ejw)的预计Sx(ejw)的抽样.周期图法包含了以下二条假定：1．周期图法以为抽拿出来的随机序列是各态遍历的并且也是广义安稳的，可以用此中的某一段抽样序列来预计该随机序列的功率谱。这自然必然带来偏差。2．我们常对xN(n)采纳失散傅里叶变换法，此时能够为xN(n)在时域里是周期的,xN(k)在频域也是是周期的。之因此称其为周期图法是因为我们以为随机序列样本x(n)是所截取序列的一个周期性延拓。而利用有关法求有关函数Rx(m)时将xN(n)之外是其余数据所有都默以为是零，这也正是有关法与周期图法的不一样样之处。现实中我们常将有关法与周期图法联合使用[6]。2.2有关法谱预计（BT）有关法的谱预计平常有叫做间接法，这类方法是以有关函数作为中间媒介来间接对功率谱进行求取和计算的。这类方法的详尽操作可分为一下三个步骤：第一步：从无量长随机序列x(n)中截取长度为N的有限长序列列xN(n)。第二步：由N长序列xN(n)求（2M-1）点的自有关函数Rx(m)序列。即Rx(m)1N1(2-1)NnxN(n)xN(nm)0这里，m=-(M-1),-1,0,1,M-1，MN，Rx(m)是一个双边序列，因为自相关函数的偶对称性式，因此只需求出此中的一半采样点即m=0,,M-1的傅里叶变换，另一半也就知道了。第三步：由有关函数的傅式变换求功率谱。即M1Sx(ejw)RX(m)ejwm(2-2)m(M1)从上边的操作过程能够看出利用了两种不一样样的分段方式进行截断，一次是将x(n)截成N长，称为加数据窗，一次是将想x(n)截成（2M-1）长，称为加延缓窗。所得的功率谱仅是近似值，常称之为谱预计，式中的Sx(ejw)代表预计值。一般取9淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现M<<N，这样能够简化功率谱的计算难度并提升谱预计的质量。因此，在迅速傅里叶变换法出现从前有关法是一种比较常用的谱预计方法。跟着迅速傅里叶变换法的普及，我们不再像从前相同纯真的去利用有关法，因为截断后的xN(n)可视作能量信号，由有关卷积定理可得Rx(m)1[xN(m)xN(m)](2-3)N由式（2-3）能够看出有关被化为线性卷积，并能够用迅速卷积来实现。若对2-3）两边取（2N-1）点DFT，则有Rx(m)1[x2N1(k)x2N1(K)1X2N1(K)2(2-4)NN此时用频域乘积来取代时域卷积，用迅速有关求Rx(m)的方法过程能够分为以下几个步骤：（1）对N长xN(n)的充（N-1）个零，成为（2N-1）长度。（2）求（2N-1）点的FFT，得X2N1(K)2N21(n)W2Nmk1。x2NN0（3）求12。由失散傅里叶变换性质知，x2N1()是非负的，x2N1()2N1nkN知足共轭偶对称性，而1X2N1(K)2必然是实偶的，且以（2N-1）为周期。N（4）求（2N-1）点的IFFT：Rx(m)1N112mk(2-5)2N1k(NX2N1(K)W2N11)N这里1X2N2是实偶的，m=-(N-1)...0...N-1。原来IFFT乞降范围是01(K)N至2N-2，因为1X2N1(K)2的实偶性与周期性，乞降范围改为-（N-1）至（N-1）N不影响计算结果。同理可将m的范围改为-（N-1）至（N-1）[7]。在上例中利用到了迅速有关的某些特色，之因此补零的目的是为了线性卷积用圆周卷积来取代，这样就便于进一步采纳迅速卷积算法。迅速有关的输出是从-N-1）到（N-1）的2N-1点，加WM(m)窗后截取的是从（M-1）到（M-1）的频段，最后对采纳的（2M-1）点进行FFT，得Sx(k)。不难看出：M是数据点数，N10淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现是自有关序列点数，假如M=N，则（2N-1）点的IFFT后紧跟一个（2N-1）点的FFT，利用Rx(m)的对称性，FT运算框的计算式变成N1SX(K)RX(m)W2Nmk1X2N1(2-6)m(N1)假定我们利用的是矩形窗因为N=M，那么第二次WMm的截断就不需要了。Sk）FFT[R(m)]x12正x,R(m)IFFT[X2N1(K)]N反傅氏变换能够抵消，直接得S（k）12(2-7)xNX2N1(K)为了推行基2FFT，也可将采样点加1换成2N点，这样做相同能够获得相同的结果。2.3Welch法Welch法事实上是对Bartlett法的修正。它主要提出二方面的修正：此中之一是选择适合的窗函数(n)，直接加进法在周期图计算前，用这类方法获得的每一段信号的周期图为1N12(i)(i()( )jn(2-8)M)xnneMUn0这里U1N1W2(n)为归一化因子，而Bartlett法每段的周期图为Mn01N1xi(n)ej2IM(i)( )n(2-9)Mn0加这样的窗函数其最大的长处就是无可素来保证使谱预计的结果非负。另一个是在分段时，使每一段互相之间有重迭，在知足N,M的值必然的条件下可使方差减小。Welch建议的重迭率为50％。11淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现分析比较各样预计方法3.1直接法直接法又被称为周期图法，它是把x(n)的N个察看数据都看做是一个能量有限的序列，直接计算该随机序列的失散傅立叶变换，此后对其幅值求取平方，并除以N，获得均值，将此均值作为x(n)真切功率谱的预计。设原始信号为：ycos(80t)3cos(200t)图1周期图法当N=100时的功率谱100-10-20-30-40-50-60050100150200250300350400450500图2周期图法当N=1000时的功率谱12淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现-10-20-30-40-50-60-700500100015002000250030003500400045005000图3周期图法当N=100000时的功率谱由图1.2.3能够看出跟着采样点数的增添，该预计是渐进无偏的。且采纳周期图法预计得出的功率谱很不圆滑，相应的预计方差比较大。周期图法有一个缺点就是纯真的增添采样点数其实不可以够使周期图变得更为圆滑。利用周期图法得出的预计谱有其很难除去的弊端，其方差特色比较差，假如N太小那么其分辨率比较低，但假如N太大，则方差较大。为了战胜此弊端我们能够对其进行改良，对其改良可经过以下方法，即均匀和圆滑，所谓均匀就是指将截取的数据段xN(n)再分红L个小段，再去对求拿出来的功率谱求其功率谱的均匀值，这类方法使固然能够达到使预计的方差减少的目的，但是获得的负面见效就是偏差加大以及分辨率降落。所谓圆滑指的是用一个适合的窗函数W(ejw)与我们计算出的功率谱SX(ejw)进行卷积，进而达到圆滑谱线的目的。利用这类方法计算出的谱预计是无偏的，有较小的方差，但是获得的负面见效那就是分辨率降落。由以上分析可知，谱预计的分辨率和方差是很难兼得的[8]。3.2间接法间接法是先由x(n)预计出R(n)，此后求取R(n)的傅立叶变换，便获得x(n)的功率谱预计。设原始信号为：ycos(80t)3cos(200t)13淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现35302520151050050100150200250300350400450500图4间接法N=1000功率谱图由图4能够看出信号一开始波形有很大的跳变且方差较大，随后进入相对坚固的状态，方差减小。BT法有一个弊端那就是在当M→N时,R(m)的方差比较大,这就使得谱估计的质量降落;由R(m)获得的S(w)有可能是负值或零,进而可能失掉功率谱原本应有的物理意义。3.3Welch法目前比较常用的改良方法就是Welch法，其又叫做加权交叠均匀法，简记为WOSA法。这类方法经过加窗的方式求取圆滑，经过分段重叠的方法求得均匀，因此即可实现均匀又可实现圆滑，拥有显然长处。其主要步骤是：（1）将N长的数据段分红L个小段，每小段有M个点，相邻两小段间交叠M/2点（即2:1分段）。因为L（M/2）+M/2=N,因此段数NM/2L(3-1)M/2（2）对每一个小段加上相同的圆滑窗后其傅氏变换M1Xi(ejw)xi(n)ax(n)ejwn,i1,...L,（3-2）n014淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现（3）用下边的公式求取每一个小段功率谱的均匀值Si(ejw)1L

li1

1Xi(ejw)2（3-3）MU这里，代表窗函数的均匀功率，MU代表M长窗函数的能量。设原始信号为：ycos(80t)3cos(200t)-5-10-15-20-25-30-35050100150200250300350400450500图5加Hamming窗后功率谱图0-5-10-15-20-25-30-35050100150200250300350400450500图6加矩形窗后功率谱图15淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现0-5-10-15-20-25-30-35050100150200250300350400450500图7加blackman窗后功率谱图关于一个安稳随机信号,不改变其采样频次、采样点数、FFT点数、窗长度及重叠数据,分别加上矩形窗、Blackman窗、Hamming窗，其仿真结果如图5.6.7所示。由图比较可见：关于同一个安稳随机信号加不一样样的窗其见效是有显然差其余。加上矩形窗其有较低的主瓣宽度，在防备信号能量泄漏方面不如海明窗和blackman窗好，但分辨率较高，而加海明窗和blackman窗其主瓣宽度较大，能够很好的减少信号的能量泄漏，但是其分辨率较低。三种窗各有其优弊端，具体怎样采纳仍是依照详尽的状况而定。3.4比较分析各样预计方法在以上的方法中，每种方法各有其优弊端：1)周期图法和间接法的长处是分辨率较高，其弊端是方差比较大，曲线不圆滑。(2)Welch法与前两种方法比较较长处是方差比较小，曲线较为圆滑，其缺点是分辨率比较低。(3)Welch法中加不一样样的窗其见效也是不一样样的，矩形窗比Hanning窗和Blackman窗的主瓣包含更多的能量，因此使功率谱的主瓣较窄，分辨率比较高。且方差没有显然变大，因此是一个比较好的谱预计方法关于上边的仿真经认真分析和研究不难发现，Welch法在求功率谱的时候是经过加窗交叠的方法，这样办理关于减小方差以及偏差有很大的利处，平常状况下更能凑近设计的的要求，因此应用比较宽泛。同时还能够够发现，对同一个信号加上不一样样的窗函数，谱预计的质量及其特色是不一样样的。16淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现结论在经典的谱预计中，所有的方法都存在一个共同的问题那就是方差性能不好且频次分辨率比较低，其原由是进行谱预计时需要对数据进行加窗截断，用自相关函数及其有限个数据去预计无量多个数据的功率谱，事实上这就默认了除窗以外的其余数据以及自有关函数都是零，用此方法研究实质上是不谨慎的，这类假定因为不符合事实因此使得经典谱预计分辨率较差。其余，在经典谱预计的功率谱定义中没有对极限和均匀值的求取，这就使得谱预计的方差比较大，假如数据很短，这个问题会变得更为严重。怎样才能采纳最好的窗函数、怎样才能提升频谱的分辨率，怎样才能增添信号谱预计质量，这都是未来我们需要进一步研究。17淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现参照文件[1]胡广书.数字信号办理：理论、算法与实现（第二版）[M].北京：清华大学第一版社，2003美JohnG.ProakisDimitrisG.Manolakis.数字信号办理——算法与应用（第三版）[M].北京：中国电力第一版社，2004苏金明.MATLAB7.0合用指南[M].北京：电子工业第一版社，2004魏巍.MATLAB信息工程工具箱技术手册[M].北京：国防工业第一版社，2004[5]郑阿奇,曹戈,等.Matlab合用教程[M].北京:电子工业第一版社,2007JohnWiley&Sons.IntroductiontoDiscrete-TimeSignalProcessing[M].北京中国电力第一版社，1976.[7]丁玉美.数字信号办理时域失散随机信号办理[M].西安电子科技大学出版社,2002.姚武川,姚天任.经典谱预计方法的Matla分析[J].华中理工大学学报,2000,(4):15~1718淮北师范大学2013届学士毕业论文随机信号的谱分析方法及实现附录1、直接法程序:clear;Fs=1000;n=0:1/Fs:1;xn=cos(2*pi*