频域分析的基本原理

频域分析的基本原理数字信号处理傅里叶变换信号一般有两种基本形式：时域形式和频域形式。为了分析上的方便，往往需要信号在频域中的描述。傅立叶变换就是一种描述信号频域特性的方法，它也是众多科学领域里重要的应用工具之一。下面就给出傅立叶变换的定义：f(t)F(u)F(w)=f(t)exp[-jwt]dt,weRsf(t)=—f+^F(w)exp[jwt]dw(4-1)傅里叶变换是一种刻画函数空间，求解微分方程，进行数值运算的有效工具。它可以把许多常见的微分、积分和卷积运算化简成代数运算。在平稳信号分析和处理中有着突出的贡献，因为它可以把复杂的时间信号和空间信号转换到频率域中，用频谱特性去分析和表示时域信号的特性。但是，对常见的不平稳信号，如语音信号、音乐信号、探地信号、核探测的脉冲信号、以及核医学的图像信号等，它们的频域特性是随时间变化的，人们需要了解某些局部时段上所对应的主要频率特性，也需要了解某些频率的信息出现在那些时段上，也就是需要了解时-频部分化要求。对于这种时－频局部化要求，傅立叶变换是无能为力的。可见：从时间(模拟)信号中提取频谱信息F(s),就是取无限的时间量，即使用(一8,8)的时间信息来计算单个频率的频谱；或者说，频域过程F(s)的任一频率组成部分的值，是由时域过程玖七)在(一8,8)上决定的。过程f(t)在任一时刻的状态也是由F(s)在整个频域(一8,8)的量决定。故f(t)和F(s)间的彼此的整个刻画，不能反映各自局部区域上的特征。也就是说,人们虽然从傅立叶变换能清楚地看到一个信息包含的每一个频率的多少但很难看出不同信号何时发射和发射了多长时间，缺少时间信息使得傅立叶分析变得脆弱而容易失误。对于一个特别简单的信号、或信号突然变化和不可预测的情况，傅立叶分析不可用。4.2.2.2短时傅里叶变换短时傅里叶变换式最早和最常用的一种时频分析方法，是傅立叶变换的自然推广。为使变换具有时频局域性，它先将时间信号加窗，然后将时间窗滑动做傅里叶变换，就得到信号的时变谱或短时谱。因此，短时傅里叶变换是用时间窗的一段信号来表示他在某个时刻的特性。显然，窗越宽，时间分辨率越差，但为提高时间分辨率面缩短窗宽时，又会降低频率分辨率。在傅立叶积分中，使用空间窗口函数g(t-T)与信号f(t)相乘，实现在T附近的开窗和平移，然后进行傅立叶变换。在线性空间有一个可测的、平方可积的函数f(t)WL2(R)，对其进行窗式傅立叶变换：G(g,u)=jf(t)g(t-u)e-j&dtf R(4-2)g(t-u)e-j为其中的积分核，f(t)g(t-u)e-j为在点附近度量了频率为u的正弦分量的幅度。时窗函数g(t)：通常选窗口函数为能量集中在低频处的实偶函数；信号在乘以平滑移动的窗函数g(t-u)后，有效地抑止了的邻域以外的信号，所以，再对f(t)g(t-u)进行傅立叶变换所得的结果，反映了t=u时刻附近的局域频谱信息,也就是给出了按窗口f(t)宽度分解信号的频谱F(3),从而达到了时域局域化的目的。时窗函数的傅立叶变换G(3)=g八(3)为频窗函数。图4-1窗的概念从以上定义知，和g(t)和G(3)分别起着时窗和频窗的作用，在时间一频率坐标系中，时窗和频窗共同作用的结果就构成了时-频窗，这样就从几何上直观低描述了时频局部化。由窗式傅立叶变换对函数进行的分析，相当于用一个形状、大小和放大倍数相同的“放大镜”在时－频相平面上移动去观察某固定长度时间内的频率特性，如上图所示。这里的问题是：尽管窗式傅立叶变换能解决变换函数的局域化问题，但是，其窗口的大小和形状是固定的，即窗口没有自适应性。图4-2窗口的概念在实际问题中，对于高频谱的信息，由于波形相对要窄，时间间隔要相对的小以给出比较好的精度，也就是更好地确定峰值和断点，或者说需要用较窄的时域窗来反映信息的高频成分；而对于低频谱的信息，由于波形相对是宽的，时间间隔要相对的宽才能给出完整的信号信息，或者说必须用较宽的时域窗来反映信息的低频成分。而用Gabor变换，如果你选择一扇宽的时频窗，低频成分可以看得清楚，在高频部分确定时间时就很糟糕；若你选一扇窄的时频窗，在高频可以很好确定时间，但在低频的频率就可能装不进去。这样，真正合适的做法是“放大镜”的长宽是可以变化的，在时－频相平面上分布可如下图示。正是为了实现这样的目的，人们引进了小波变换。4.2.2.3小波变换小波变换是80年代后期新发展起来的一种数学分析方法,目前已经受到数学界和工程界的极大重视。现在，小波分析已经被成功地应用于信号处理、图像处理、地震勘测、模式识别、计算机视觉、故障监控等众多学科和相关技术的研究中，而我们对于小波分析的研究也正在一步步地向更深的层次发展。在本文中，小波分析是主要的理论基础。小波，即小区域的波，是一个特殊的长度有限、平均值为0的波形。它有两个特点：一个“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集；二是正负交替的“波

动性”，也即直流分量为零。所有小波是通过对基本小波进行尺度伸缩和位移得到的。基本小波是一具有特殊性质的实值函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足积分为零的条件：Jg屮(t)dt=0。—g设函数且满足条件：屮(t)GLi(R)nL2(R)则称V为一个小波基。设f(t)是平方可积函数(记作f(t)WL2(R))，屮(t)是基本小波。则—gWf(S,t)=f(t)*屮(t)=Jgf(TM(t—T)dT—g(4—3)称为f(t)的小波变换。式中是伸缩尺度因子。式中不但t是连续变量，而且s>0也是连续变量，因此称为连续的小波变换。我们可以看出小波变换具有如下的特点：具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗及细地逐步观察信号。可以看成用基本频率特性为甲(t)的带通滤波器在不同尺度s下对信号做滤波。由傅立叶变换的尺度特性可知这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽(带宽与中心频率之比)恒定的特点。注意，S越大相当于频率越低。适当地选择基本小波，使w(t)在时域上为有限支撑，甲(t)在频域上也比较集中，便可以使WT在时、频两域都具有表征信号局部特性的能力，因此有利于检测信号的瞬态或者奇异点。基于上述特性，所以也有人将小波变换誉为分析信号的数学显微镜。4.2.2向量法的基本原理向量法的基本思想来自于语音的模式识别，语音是一种声波，而脉搏信号则是一种次声波，语音识别技术已经发展多年，所以有一些成熟的特征提取的方法可以借鉴。从语音信号中提取的说话人特征常常时一个多维矢量的时间序列。我们根据这个思想，想从频谱数据中提取类似的特征向量。在测量过程中发现，虽然频谱图千变万化，但是每个人频谱中都有谐波，只是有的人明显，有的人不明显。如果从频谱图找出了各个谐波，然后再映射到向量空间中，就可以组成了一个多维矢量，这个过程如图4-3所示。可以根据这个矢量进行接下来的分析。下面首先对模式识别做一个简介。语音识别系统主要包括两个部分:特征提取和模式匹配［23。图4-3空间变换（1） 特征提取说话人的模型不是由语音信号得到的，而是通过从语音信号中提取特征而得到的，是说话人语音特征的模型。测试音只有在经过特征提取后才与说话人的模型进行比较和匹配,训练语音也只有进行语音特征提取后才能得到其特征的模型，因此特征提取是说话人识别系统中的重要组成部分。与计算机处理相对应，可以将人类的声音特征划分为以下三个层次:声道声学层次，在分析短时信号的基础上，抽取对通道、时间等因素不敏感的特征;韵律特征层次，抽取独立于声学、声道等因素的超音段特征,如方言、韵律、语速等;语言结构层次，通过对语音信号的识别，获取更加全面和结构化的语义信息。说话人识别系统主要针对较低层次的声道声学特征进行建模，主要有基音周期、共振峰、基于线性预测的倒谱、基于付氏变换的FFT倒谱、基于语音信号的滤波器组分析的Mel倒谱和语音谱的过渡信息等。总之，较好的特征提取,应该能够有效地区分不同的说话人，但又能在同一说话人语音发生变化时保持相对的稳定；不易被他人模仿或能够较好地解决被他人模仿问题;具有较好的抗噪性能等等。（2） 模式匹配目前针对各种特征而提出的模式匹配方法的研究越来越深入,大致可归为三类:基于非参数模型的方法、基于参数模的方法、基于神经网络模型的方法。典型的非参数模型有模板匹配、矢量量化模型。模板匹配方法用语音信号某些特征的长时间的均值来辨认说话人，这一均值我们也称为统计平均。使用模板匹配方法,就是对待识语音计算平均值。并与已经储存的每一说话人训练平均值进行比较。在模板模型系统中，补偿说话率偏差的最流行方法是动态时间规整（DTW）方法。矢量量化模型作为一种非参数模型，是目前文本无关的说话人识别方法的评估基准。从语音信号中提取的说话人特征，常是一多维矢量的时间序列。矢量量化模型就是从这些矢量中寻找到少数具有代表性的典型矢量进而构的说话人模型。寻找代表矢量（码本）为一矢量聚类问题,可通过聚类等算法来实现。用矢量量化模型识别说话人的过程如下：对某一说话人，其训练语音的特征矢量序列通过聚类算法可聚为M类,求每类中的所有矢量的均值（或选择类中的一个成员）就得到了每类的码本矢量。M个码本矢量构成了该说话人的矢量量化模型。在识别过程中，将待识语音的每一特征矢量到某一说话