2017年全国中考数学真题福建年中考数学试题(解析版-精品文档)

2017年福建省中考试卷满分：150分版本：第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，合计40分）1．（2017福建，1，4分）3的相反数是（）A．－3B．C．D．3答案：A，解析：只有符号不同的两个数互为相反数，故3的相反数是－3．2．（2017福建，2，4分）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）A．B．C．D．答案：B，解析：左视图即为从左边看几何体得到的平面图形，从左边看该几何体，显然是上下两个小正方形组成的平面图形，即选项B中的图形．3．（2017福建，3，4分）用科学记数法表示136000，其结果是（）A．0.136×106B．1.36×105C．136×103D．1.36×106答案：B，解析：科学记数法的记数形式为a×10n(1≤|a|＜10)；136000=1.36×105．4．（2017福建，4，4分）化简(2x)2的结果是（）A．x4B．2x2C．4x2D．4x答案：C，解析：(2x)2=22·x2=4x2．5．（2017福建，5，4分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形答案：A，解析：圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形，A正确；正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，B错误；线段既是轴对称性图形，又是中心对称图形，对称中心是它的中点，C错误；菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，两条对角线所在的直线就是它的对称轴，D错误．6．（2017福建，6，4分）不等式组：的解集是（）A．－3＜x≤2B．－3≤x＜2C．x≥2D．x＜－3答案：A，解析：解不等式x－2≤0，得x≤2；解不等式x+3＞0，得x＞－3，所以原不等式组的解为－3＜x≤2．7．（2017福建，7，4分）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15B．13，15C．13，20D．15，15答案：D，解析：数据总数为15+10+13+20+15=73，按大小顺序排列后处于第37个数据即为该组数据的中位数，小于15的数有10+13=23个，等于15的数有15+15=30个，所以处于中间的数据为15，即该组数据的中位数是15；这些数据出现次数最多的是15，出现了30次，故该组数据的众数是15．8．（2017福建，8，4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）A．∠ADCB．∠ABDC．∠BACD．∠BAD答案：D，解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°．又∵∠B=∠ACD，∴∠ACD+∠BAD=90°．即∠ACD与∠BAD互余．9．（2017福建，9，4分）若直线y=kx+k+1经过点(m，n+3)和(m+1，2n－1)，且0＜k＜2，则n的值可以是（）A．3B．4C．5D．6答案：C，解析：把点(m，n+3)和(m+1，2n－1)分别代入y=kx+k+1，得n+3=km+k+1①，2n－1=km+2k+1②，②－①，得n=k+4，即k=n－4．∵0＜k＜2，∴0＜n－4＜2，解得4＜n＜6．所给的四个数中5在符合条件的范围内，应选C．10．（2017福建，10，4分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则点P′所在的单位正方形区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区答案：D，解析：方法1：如图1，连接AA′，BB′，分别作它们的垂直平分线交于点O，则点O即为旋转中心．连接AO，A′O，由网格特征可知旋转角∠AOA′=90°．再在网格中作∠POP′=90°，且OP=OP′，即确定点P′的位置．图1图2方法2：如图2，连接PA，根据旋转的性质，可知旋转后∠PAB大小不变，根据图中逆时针的旋转方向，作∠P′A′B′=∠PAB，且P′A′=∠PA，即可确定点P′的位置．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（共6小题，每小题4分，合计24分）11．（2017福建，11，4分）计算|－2|－30=答案：1，解析：|－2|－30=2－1=1．．12．（2017福建，12，4分）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连结DE，若DE=3，则线段BC的长等于．答案：6，解析：∵D，E分别是AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=6．13．（2017福建，13，4分）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是．答案：红色（或红色的），解析：三种颜色的球被抽到的概率相同，则三种颜色的球个数相同，故需再添加一个同种型号的红色的球．14．（2017福建，14，4分）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是．答案：7，解析：由数轴可知AB=3－1=2，则BC=2AB=4，又C在B的右侧，故点C表示的数是7．15．（2017福建，15，4分）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．答案：108，解析：正五边形的内角大小为(5－2)×180°÷5=108°．如图，∠OCD=180°－108°=72°，∠COD=180°－72°×2=36°．∴∠AOB=360°－108°×2－36°=108°．16．（2017福建，16，4分）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．答案：，解析：如图所示，根据矩形与双曲线的轴对称性与中心对称性，可知A(2，)，B(，2)．构建正方形OMFE，则BF=AF=．于是S△AOB=S正方形OMFE－S△EOB－S△AOM－S△ABF=4－－－××=×，所以矩形ABCD的面积为4S△AOB=4×=．三、解答题（本大题共9个小题，满分86分）17．（2017福建，17，8分）（本小题满分8分）先化简，再求值：，其中a=－1．思路分析：分式化简时，可先算括号里的减法，再进行分式乘法运算，也可利用乘法分配律进行计算．最后把a的取值代入化简后的式子即得其值．解：原式=·==．当a=－1时，原式=．18．（2017福建，18，8分）（本小题满分8分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．思路分析：由BE=CF，可得BC=EF，进而利用全等三角形的判定条件“SSS”可证△ABC≌△DEF，即得∠A=∠D．证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF．在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D．19．（2017福建，19，8分）（本小题满分8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)思路分析：先按尺规作角平分线的方法步骤作出∠ABC的平分线，然后通过证∠APQ=∠AQP，得AP=AQ．这可由角的等量代换与直角三角形的两锐角互余的性质得到．解：BQ就是所求作的∠ABC的平分线，P，Q就是所求作的点．证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°．∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°．∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP．∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ．20．（2017福建，20，8分）（本小题满分8分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．思路分析：本题蕴含的等量关系是：鸡的只数+兔的只数=35；鸡的腿数+兔的腿数=94．由此构建列方程（组）求解即可．解：设鸡有x只，兔有y只．依题意，得解得答：鸡有23只，兔有12只．21．（2017福建，21，8分）（本小题满分8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．︵（Ⅰ）若AB=4，求CD的长；︵︵（Ⅱ）若BC=AD，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．︵思路分析：（Ⅰ）连结OC，OD，易知∠COD=90°．又圆的半径为2，利用弧长公式可计算CD的长；（Ⅱ）由于点D在圆上，故要证PD是⊙O的切线，只需证∠ODP=90°．易求∠ADP=22.5°，因此可再求∠ODA=67.5°．再由已知条件计算等腰△OAD的顶角大小，易求∠ODA．解：（Ⅰ）连结OC，OD．∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°．∵AB=4，∴OC=AB=2．︵∴CD的长=×π×2=π．︵︵（Ⅱ）∵BC=AD，∴∠BOC=∠AOD．∵∠COD=90°，∴∠AOD=(180°－∠COD)=45°．∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA=(180°－∠AOD)=67.5°．∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD．∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP=∠CAD=22.5°．∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°．又∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线．22．（2017福建，22，10分）（本小题满分10分）小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈()2+()2=1．据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2(90°－α)=1．（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2(90°－α)=1是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．思路分析：（Ⅰ）利用30°与60°的正弦值通过计算可验证该等式成立与否；（Ⅱ）把锐角α放置于一个直角三角形中，利用锐角三角函数的定义与勾股定理计算得sin2α+sin2(90°－α)=1．解：（Ⅰ）当α=30°时，sin2α+sin2(90°－α)=sin230°+sin260°()2+()2==1．所以sin2α+sin2(90°－α)=1成立．（Ⅱ）小明的猜想成立．证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°－α．sin2α+sin2(90°－α)=()2+()2===1．23．（2017福建，23，10分）（本小题满分10分）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随取随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：使用次数012345(含5次以上)同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：使用次数人数05123451510302515（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利?说明理由．思路分析：（Ⅰ）a即为0.5+0.4+0.3的和，a即为0.5+0.4+0.3+0.2的和；（Ⅱ）先计算出抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费，然后再据此估计该校5000名师生一天使用A品牌共享单车的总车费，与运营成本5800元作比较，即可判断能否获利．解：（Ⅰ）a=1.2，b=1.4．（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为：(0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15)=1.1（元）．所以估计该校5000名师生一天使用A品牌共享单车的总车费为：5000×1.1=5500（元）．因为5500＜5800，故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．24．（2017福建，24，12分）（本小题满分12分）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形，求AP的长；（Ⅱ）若AP=，求CF的长．思路分析：（Ⅰ）△PCD是等腰三角形，有三种情况：①CP=CD，此时AP的长为AC与CD的差；②PD=PC，此时易求PD=PA，进而可知AP的长为AC的一半；③DP=DC，此时可作DQ⊥AC于Q，先在△ADC中利用面积法求得高DQ的值，再利用勾股定理计算CQ的长，从而易求AP的长；（Ⅱ）连结PF，DE交于点O，连结OC，利用矩形性质得OC=OP=OF，故有∠PCF=90°，进而可证∠PAD=∠FCD，则易知△ADP∽△CDF，利用对应边成比例构建方程计算CF的长．解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，∴AC==10．要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况：（1）当CP=CD时，CP=6，∴AP=AC－CP=4．（2）当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=，即AP=5．（3）当DP=DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ．∵S△ADC=AD·DC=AC·DQ，∴DQ==，∴CQ==，∴PC=2CQ=，∴AP=AC－PC=．综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP=4，或AP=5，或AP=（Ⅱ）连结PF，DE，记PF与DE的交点为O，连结OC．．∵四边形ABCD和PEFD都是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，即∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF．∵∠BCD=90°，OE=OD，∴OC=ED．在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=PF．∵OP=OF=PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，又∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，即∠PCD+∠FCD=90°．在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD．∴△ADP∽△CDF，∴．∵AP=，∴CF=．25．（2017福建，25，14分）（本小题满分14分）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1，0)，且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若－1≤a≤－，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．思路分析：（Ⅰ）把点M(1，0)，代入y=ax2+ax+b，用含a的代数式表示b，然后通过配方或公式法求抛物线顶点Q的坐标；（Ⅱ）利用点M的坐标求得m的值，然后由联立两解析式得含字母系数a的关于x的一元二次方程，最后利用判别式判断该方程有两个不相等的实数根，即可证明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）（ⅰ）根据两解析式先求点N的坐标(用含a的代数式表示)，然后利用M、N的坐标通过勾股定理计算MN2的值，根据a的取值范围与反比例函数的性质确定的取值范围，进而通过开方求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）作出抛物线的对称轴，求得它与直线MN的交点E的坐标，利用△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM构建含S的关于a的一元二次方程，再通过判别式构建关于S的不等式，最终获取△QMN面积的最小值．解：（Ⅰ）因为抛物线过点M(1，0)，所以a+a+b=0，即b=－2a．所以y=ax2+ax+b=ax2+ax－2a=a(x+)