上海浦东新区祝桥高级中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析

上海浦东新区祝桥高级中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，（m为常数），则的值为（

）A.6

B.4

C.－4

D.－6参考答案：C因为是定义在R上的奇函数，所以，.2.“”是“直线与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C由圆，可得圆心为，半径.∵直线与圆相切∴∴∴“”是直线与圆相切的充要条件故选C.

3.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数表示不大于的最大整数）可以表示为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,－7)的圆截直线所得弦长的最小值等于（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】因为圆心在弦AC的中垂线上，所以设圆心P坐标为（a，-2），再利用，求得，确定圆的方程.又直线过定点Q，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P为（a,-2），则r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．故选B．5.已知函数,其图象与直线相邻两个交点的距离为π，若对恒成立，则的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：D分析：由题意可得函数的周期为求得．再根据当时，恒成立，，由此求得的取值范围．详解：函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，

故函数的周期为

若对恒成立，即当时，恒成立，，

故有，求得结合所给的选项，

故选D．点睛：本题主要考查正弦函数的周期性、值域，函数的恒成立问题，属于中档题．6.“”是“对任意的正数，”的

(

)高考资

Ａ．充分不必要条件

Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条参考答案：A略7.=（

）

A．2

B．

C．

D．参考答案：D8.设函数，若在区间(1,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．[0,1]

B．[－1,0]

C.[0,2]

D．[－1,1]参考答案：A整理得，如图，为了满足不等式恒成立，则，且在处的切线斜率，，所以，，所以得，综上，。故选A。

9.若，则a，b，c的大小关系为（

）A. B. C. D.参考答案：B由题意0＜a＜1，故a＜aa，故aa＞，即b＞c，而c=＞a=π﹣2，故选：B．

10.抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于（）A．10B．8C．6D．4参考答案：答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知θ∈（，π），+=2，则sin（2θ﹣）=

．参考答案：﹣1考点：二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：对+=2进行通分、两边同乘sinθcosθ，然后两边平方，利用同角三角函数基本关系式及倍角公式可求出sin2θ、cos2θ，注意根据角的范围确定三角函数值的符号，代入两角差的正弦公式求sin（2θ﹣）值．解答： 解：∵+==2，∴sinθ+cosθ=2sinθcosθ=两边平方得：1+sin2θ=2sin22θ解得：sin2θ=﹣或sin2θ=1∵θ∈（，π），∴2θ∈（π，2π）∴sin2θ=﹣，∴sinθ+cosθ=∴cos2θ=∴sin（2θ﹣）=sin2θcos﹣cos2θsin==﹣1故答案为﹣1．点评：本题考查了三角函数式的化简及求值问题，在求解过程中注意公式的选择，在利用平方关系式时要特别注意要确定三角函数值的符号．注意：14.15，16为选做题，请从中任选两题作答，若三题都做，则按前两题给分12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2017x+log2017x，则f（x）在R上的零点的个数为

．参考答案：3【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】x＞0时，求f′（x），并容易判断出f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数．然后判断有没有x1，x2使得f（x1）f（x2）＜0：分别取x=2017﹣2017，1，便可判断f＜0，f（1）＞0，从而得到f（x）在（0，+∞）上有一个零点，根据奇函数的对称性便得到f（x）在（﹣∞，0）上有一个零点，而因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，这样便得到在R上f（x）零点个数为3．【解答】解：x＞0时，f′（x）=2017xln2017+＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，取x=2017﹣2017，则f=﹣2017＜0，又f（1）=2017＞0；∴f（x）在（0，+∞）上有一个零点，根据奇函数关于原点对称，f（x）在（﹣∞，0）也有一个零点；又f（0）=0；∴函数f（x）在R上有3个零点．故答案为：3．13.设函数f(x)＝x3－2ex2＋mx－lnx，记g(x)＝，若函数g(x)至少存在一个零点，则实数m的取值范围是_____参考答案：14.设A、B、C是球面上三点,线段若球心到平面ABC的距离的最大值为，则球的表面积等于_______参考答案：略15.曲线在点处的切线方程为____

__；参考答案：16.已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则的最小值为．参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可作出图形，由图形可看出，而根据抛物线的定义，|FQ|等于Q到抛物线C的准线y=﹣2的距离，根据图形便可看出Q到准线的最短距离为2，从而便可得出的最小值为3．【解答】解：如图，；由抛物线的定义知：为点Q到准线的距离，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，；∴；即的最小值为3．故答案为：3．【点评】考查圆心和切点连线垂直于切线，余弦函数的定义，直角三角形边的关系，以及抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，以及数形结合解题的方法．17.将一批数据分成5组列出频率分布表，其中第1组的频率是0、1，第4组与第5组的频率之和是0、3，那么第2组与第3组的频率之和是

。参考答案：0、6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长．

参考答案：解：（1）因为平面，所以，又，所以平面，所以．由三视图可得，在中，，为中点，所以，所以平面

ks5u（2）由三视图可得，由⑴知，平面，又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，所以，所求三棱锥的体积．（3）取的中点，连接并延长至，使得，点即为所求．因为为中点，所以，因为平面，平面，所以平面，连接，，四边形的对角线互相平分，所以为平行四边形，所以，又平面，所以在直角中，．

19.已知函数f（x）=x﹣+alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知g（x）=x2+（m﹣1）x+，m≤﹣，h（x）=f（x）+g（x），当时a=1，h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）求出函数h（x）的表达式，求出函数h（x）的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解．【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣+alnx，∴f′（x）=1++，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f′（x）=1++≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≥﹣（x+）在[1，+∞）上恒成立，∵y=﹣x﹣在[1，+∞）上单调递减，∴y≤﹣2，∴a≥﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2+mx，其定义域为（0，+∞），求导得，h′（x）=，若h′（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1?x2=1，x1+x2=﹣m，∴x2=，从而有m=﹣x1﹣，∵m≤﹣，x1＜x2，∴x1∈（﹣∞，）∪（，+∞）则h（x1）﹣h（x2）=h（x1）﹣h（）=2lnx1+（﹣）+（﹣x1﹣）（x1﹣），令φ（x）=2lnx﹣（x2﹣），x∈[，1]．则[h（x1）﹣h（x2）]min=φ（x）min，φ′（x）=﹣，当x∈（，1]时，φ′（x）＜0，∴φ（x）在[，1]上单调递减，φ（x）min=φ（1）=0，∴h（x1）﹣h（x2）的最小值为0．20.函数.判断的单调性；记，若函数有两个零点，求证:.参考答案：略21.（本小题满分分）已知动圆的圆心为点,圆过点且与直线相切.(Ⅰ)求点的轨迹的方程；(Ⅱ)若圆与圆相交于两点，求的取值范围.参考答案：(Ⅰ)解法1:依题意,点到点的距离等于点到直线的距离,………1分

∴点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.

…………2分

∴曲线的方程为.

………3分

解法2:设点的坐标为，依题意,得，………1分

∴.

………2分

化简得.

∴曲线的方程为.

………3分(Ⅱ)(Ⅱ)解法1：设点，则圆的半径为.………4分

∴圆的方程为.①

………5分

∵圆,②

①②得直线的方程为.…………6分∵点在曲线上,∴,且.

∴点到直线的距离为.……7分

∵圆的半径为,∴.

…8分.

…9分∵,∴.∴.

………10分∴.………11分∴.∴的取值范围为.

……12分解法2：设点，点到直线的距离为,则点到直线的距离为.

……4分∵圆的半径为,圆的半径为,∴.

……………5分∴,化简得.

…6分∴.

……7分∵点在曲线上,∴,且.∴

…………………8分.

………9分∴.

………10分∴.

………11分∴.∴的取值范围为.

…………12分22.有时可用函数

述学习某学科知识的掌握程