上海昂立中学生教育(八佰伴分校)2022年高三数学理期末试题含解析

上海昂立中学生教育(八佰伴分校)2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.的内角的对边分别是,若,,,则

（）A．2 B． C． D．1参考答案：A2.执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）A．335 B．336 C．337 D．338参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出i的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个数i，由于：2017=336×6+1，故程序框图输出的i的值为337．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，正确得出程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．3.函数的大致图像是

A

B

C Ｄ参考答案：B4.设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则等于（

）A.

B.2

C.

D.4参考答案：D5.某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合出现红灯”为事件B，则由题意可得P（A）=，P（AB）=，由此利用条件概率计算公式求得P（B/A）的值．【解答】解：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合出现红灯”为事件B，则由题意可得P（A）=，P（AB）=，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是：P（B/A）===．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的灵活运用．6.若函数为偶函数，则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：C7.已知，则等于（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：C略8.若向量＝（1，2），＝（－2，1），＝（3，－4），则＝A．(－5,0)

B．(－3,4)

C．(3,－4)

D．(－5,－4)参考答案：C9.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为值域为{9}的“孪生函数”三个：（1）；（2）；（3）那么函数解析式为值域为的“孪生函数”共有 （

） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个参考答案：【知识点】函数的值域

B1Ｂ由题意，函数解析式为，值域为，当函数值为1时，，当函数值为5时，，故符合条件的定义域有{0，}，{0，}，{0，，-}，所以函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有3个，故选择B.【思路点拨】由所给的定义知，一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，函数解析式为，值域为对自变量的可能取值进行探究，即可得出它的孪生函数的个数.10.按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（）A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程计算k=1时输出x值与k=2时输出x的值，利用k=1时不满足条件x＞115，k=2时满足条件x＞11，求得x的范围．【解答】解：由程序框图知：第一次循环x=2x+1，k=1；第二次循环x=2（2x+1）+1，k=2，当输出k=2时，应满足，得28＜x≤57．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a，b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题中（1）若,则;

（2）若,则;（3）若,则;

（4）若,则.其中所有真命题的序号是.参考答案：（1）（4）解：选项（1）中，由面面垂直的判定定理知（1）正确；选项（2）中，由线面垂直的判定定理知，（2）错；选项（3）中，依条件还可得，故（3）错；选项（4）中，由线面垂直的性质知，故（4）正确.12.已知函数f(x)是一次函数，且满足，则f(x)＝____ ___.参考答案：由，得，所以。13.已知函数的值域为，则实数的取值范围是__________参考答案：略14.若为第二象限角，且，则的值为

．参考答案：15.已知⊙的方程为（为参数），则⊙上的点到直线（为参数）的距离的最大值为

．参考答案：16.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组1～20号，第二组21～40号，…，第五组81～100号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为

．参考答案：64设在第一组中抽取的号码为，则在各组中抽取的号码满足首项为，公差为的等差数列，即，又第二组抽取的号码为，即，所以，所以第四组抽取的号码为．

17.在平面直角坐标系xOy中，点M（0，1），N（0，4）．在直线x+y﹣m=0上存在点Q，使得QN=2QM，则实数m的取值范围是

．参考答案：﹣≤m≤【考点】两点间距离公式的应用．【分析】根据题意，设出点Q（x，﹣x+m），代入QN=2QM，化简得2x2﹣mx+m2﹣4=0，由△≥0，求出实数m的取值范围．【解答】解：设Q（x，﹣x+m），∵QN=2QM，∴4|QM|2=|QN|2，∴4x2+4（﹣x+m﹣1）2=x2+（﹣x+m﹣4）2，化简得2x2﹣mx+m2﹣4=0，则△=m2﹣4×2（m2﹣4）≥0，解得﹣≤m≤，即实数m的取值范围是﹣≤m≤．故答案为﹣≤m≤．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣ax2，且函数f（x）在点（2，f（2））处的切线的一个方向向量是（2，﹣3）．（1）若关于x的方程f（x）+x2=3x﹣b在区间[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（2）证明：（）2＞（n∈N*，且n≥2）参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值，由题意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，即为g（x）=lnx+x2﹣3x和直线y=﹣b在[，2]上有两个交点，求得g（x）的导数，可得单调区间，即可得到所求b的范围；（2）可得当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有lnx﹣x2＜﹣，即为lnx＜（x2﹣1），即有＞=﹣，可令x=2，3，…，n，累加即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣ax2的导数为f′（x）=﹣2ax，由题意可得在点（2，f（2））处的切线斜率为﹣4a=﹣，解得a=，即有f（x）=lnx﹣x2，由题意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，即为g（x）=lnx+x2﹣3x和直线y=﹣b在[，2]上有两个交点，由g（x）的导数为g′（x）=+2x﹣3=，当＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增．则有g（1）＜﹣b≤g（），即为﹣2＜﹣b≤﹣ln2﹣，解得ln2+≤b＜2；（2）证明：由f（x）=lnx﹣x2的导数为f′（x）=﹣x=，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有lnx﹣x2＜﹣，即为lnx＜（x2﹣1），即有＞=﹣，则有++…+＞1﹣+﹣+…+﹣+﹣=1+﹣﹣===（3+）?＞．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数方程的转化思想和不等式的证明，注意运用函数的单调性和累加法，考查运算能力，属于中档题．19.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）证明：f（x）为单调增函数；（3）若，求f（x）在上的最值．参考答案：【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）利用赋值法进行求f（1）的值；

（2）根据函数的单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．【解答】解：（1）∵函数f（x）满足f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2?）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．解：（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．若，则f（）+f（）=f（）=﹣2，即f（?5）=f（1）=f（）+f（5）=0，即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3．20.（本小题满分15分）已知二次函数，其导函数的图象如图，（1）求函数处的切线斜率；（2）若函数上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若的图像总在函数图象的上方，求的取值范围．参考答案：

的单调递增区间为（0，1）和的单调递减区间为（1，3）

…………6分要使函数在区间上是单调函数，则，解得……………8分

（3）由题意，恒成立，得恒成立，即恒成立，设…………10分因为当的最小值为的较小者．…………12分

…………14分又已知,．

…………15分21.为调查了解某高等院校毕业生参加T作后，从事的T作与大学所学专业是否专业对口，该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生，得到具体数据如表：

专业对口专业不对口合计男301040女35540合计651580（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”？参考公式：k2=（n=a+b+c+d）．附表：P（K）0.500.400.250.150.100.050.0250.010

0.4550.7081.3232.0722.3063.8415.0216.635（2）求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率，并估计该校近3年毕业的2000名大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数；（3）若从工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙，女生丙、丁，让他们两两进行一次10分钟的职业交流，该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录，然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站，试求选取的视频恰为异性交流视频的概率．参考答案：【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用公式，求出k2，与临界值比较，即可得出结论；（2）这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率==，即可得出结论；（3）利用列举法确定基本事件，再求出概率．【解答】解：（1）由题意，k2=≈2.051＜3.841，∴不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”；（2）这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率==，由此估计该校近3年毕业的2000名大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数为×2000=1625；（3）两两进行一次10分钟的职业交流的所有结果为（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），6个基本事件，其中异性交流有4个基本事件，故概率为=．【点评】本题考查独立性检验知识的运用，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（Ⅰ）试解释C（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；（Ⅱ）当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）C（0）的实际意义是不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，依题意，C（0）