上海民办沪北高级中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

上海民办沪北高级中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是(

) A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：D考点：双曲线的标准方程．分析：先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．解答： 解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选D．点评：本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．2.中，，则边AC上的高是

（）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B由余弦定理cosA===，∴sinA=.

∴S△ABC=AB·AC·sinA=×3×4×=3.

设边AC上的高为h，则S△ABC=AC·h=×4×h=3.

∴.3.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 A．①④②③ B．①④③②

C．④①②③

D．③④②①参考答案：A4.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C5.已知直线m,n和平面，那么m∥n的一个必要但非充分条件是A.m∥,n∥

B.m⊥,n⊥

C.m∥且n

D.m,n与成等角参考答案：答案：D解析：若m∥n,则m,n与平面成相等的角，若m,n与平面成等角，不一定有m∥n,故选D.

6.下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，]内，则输入的实数x的取值范围是

()

A．(－∞，0)∪[，]

B．(－∞，－1]∪[，]

C．(－∞，－1]

D．[，]参考答案：B略7.若方程的根在区间上，则的值为（

）

A．

B．1

C．或2

D．或1参考答案：D8.已知，则=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】把已知等式化弦为切，求出tanα，然后展开两角和的正切得答案．【解答】解：∵，∴，解得tanα=﹣5，∴=．故选：D．9.已知数列，若点在经过点的定直线上，则数列的前15项和A.12 B.32 C.60 D.120参考答案：C可设定直线为,知,则是等差数列且，所以，选C.10.在中，AB=1，AC=3，D是BC边的中点，则=（

）

A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果执行下图所示的框图，输入，则输出的数等于（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略12.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为

．参考答案：16π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该“堑堵”是一个以俯视图为底面的直三棱柱，求出棱柱外接球的半径，进而可得该“堑堵”的外接球的表面积．【解答】解：由已知可得该“堑堵”是一个以俯视图为底面的直三棱柱，底面外接球的半径r==，球心到底面的距离d==，故该“堑堵”的外接球的半径R==2，故该“堑堵”的外接球的表面积：S=4πR2=16π，故答案为：16π【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．13.已知

在[-2，2]上有最小值3，那么在[-2，2]上的最大值是

参考答案：4314.设,集合则的值是

参考答案：-115.如右图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为的建筑物，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进到达处，又测得，根据以上数据计算可得参考答案：试题分析：在中，由正弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，即.所以，所以.考点：解三角形.【思路点晴】本题主要考查解三角形应用问题.在中，有正弦定理求出，在中，由正弦定理解出，则.应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．16.已知向量，，若∥，则实数的值为

.参考答案：17.双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为_________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是，且双曲线过点.(1)

求此双曲线的方程；(2)

设直线过点，其方向向量为，令向量满足.双曲线的右支上是否存在唯一一点，使得.若存在，求出对应的值和的坐标；若不存在，说明理由.参考答案：解析：（1）设双曲线的方程为，将点代入可得，

双曲线的方程为.（2）依题意，直线的方程为

.设是双曲线右支上满足

的点，结合，得，即点到直线的距离

①

若，则直线与双曲线的右支相交，此时双曲线的右支上有两个点到直线的距离为1，与题意矛盾；②若，则直线在双曲线右支的上方，故，从而

.又因为，所以

.当时，方程有唯一解，则；当时，由得，此时方程有唯一解，则综上所述，符合条件的值有两个：，此时；，此时.19.已知的三内角、、所对的边分别是，，，向量＝(cosB，cosC)，＝(2a+c，b)，且⊥.（1）求角的大小；（2）若，求的范围参考答案：解：∵m＝(cosB，cosC)，n＝(2a+c，b)，且m⊥n.∴cosB(2a+c)+bcosC=0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分∴cosB(2sinA+sinC)+sinBcosC=0∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC=0即2cosBsinA=－sin（B+C）=－sinA。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分∴cosB=－1／2∵0≤B≤180∴B=120.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分（2）由余弦定理，得

当且仅当时，取等号.。。。。10分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分又

。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

略20.（本小题满分10分）已知函数（I）求的解集；（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．参考答案：21.（本小题满分12分）

已知向量，求：

（1）；

（2）的值.参考答案：22.(本小题满分12分)某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

(1)分别求第3，4，5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；(ⅱ)学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有名学生被考官D面试，求的分布列和数学期望.参考答案：解：(1)

第三组的频率为0.065=0.3；

第四组的频率为0.045=0.2；第五组的频率为0.025=0.1.

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