上海新加坡国际学校2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

上海新加坡国际学校2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若，则A.2

B.

C.3

D.参考答案：A略2.设函数g（x）=x2-2（x∈R），f(x)=则f（x）的值域是（

）参考答案：【知识点】分段函数的值域.

B1

B3【答案解析】D

解析：由题可知，画图可得函数的值域为，所以选D.【思路点拨】根据题设条件化简分段函数为然后利用其图像求得函数的值域.3.已知函数y=lgx的定义域为A，B={x|0≤x≤1}，则A∩B=（） A．（0，+∞） B．[0，1] C．[0，1） D．（0，1]参考答案：D【考点】交集及其运算． 【专题】集合． 【分析】求出函数y=lgx的定义域确定出A，找出A与B的交集即可． 【解答】解：函数y=lgx中，x＞0，即A=（0，+∞）， ∵B={x|0≤x≤1}=[0，1]， ∴A∩B=（0，1]． 故选：D 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 4.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于____D____A．

B.1

C.

D.参考答案：D正方体的侧视图面积为选D5.点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（）A．B．C．2D．参考答案：考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：由抛物线的性质，我们可得P点到直线x=﹣1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离，根据平面上两点之间的距离线段最短，即可得到点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值．解答：解：∵P点到直线x=﹣1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离故当P点位于AF上时，点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和最小此时|PA|+|PF|=|AF|=故选D点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中根据抛物线的性质，将点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和，转化为P点到A，F两点的距离和，是解答本题的关键．6.记集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=cosx，x∈R}则A∪B=（）A．[﹣1.1] B．（﹣2，1] C．（﹣2，+∞） D．（﹣1，1]参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，B={y|y=cosx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，∴A∪B={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞）．故选：C．7.设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3i B．2－3iC．3＋2i D．3－2i参考答案：A8.已知函数f（x）=x3+1，g（x）=2（log2x）2﹣2log2x+t﹣4，若函数F（x）=f（g（x））﹣1在区间[1，2]上恰有两个不同的零点，则实数t的取值范围（）A．[，4] B．[，） C．[4，） D．[4，]参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】令m=log2x，则m∈[0，]，问题转化为2m2﹣2m+t﹣4=0在m∈[0，]上有两个不同的实解，即t=﹣2m2+2m+4在m∈[0，]上有两个不同的实解．利用二次函数的图象，可得结论．【解答】解：因为函数F（x）=f（g（x））﹣1的零点为方程f[2（log2x）2﹣2log2x+t﹣4]=1的根，而f（0）=1，所以2（log2x）2﹣2log2x+t﹣4=0．令m=log2x，则m∈[0，]，问题转化为2m2﹣2m+t﹣4=0在m∈[0，]上有两个不同的实解，即t=﹣2m2+2m+4在m∈[0，]上有两个不同的实解．令y=﹣2m2+2m+4（m∈[0，]），则y=﹣（m∈[0，]），∴ymax=，∴函数F（x）=f（g（x））﹣1在区间[1，2]上恰有两个不同的零点，可知实数t的取值范围是[4，）．故选C．9.由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()．A.

B．4

C.

D．6参考答案：A10.执行如图所示的程序框图，则输出的n值为（

）A．9

B．10

C.11

D．12参考答案：C执行程序框图过程如下：第一次循环，是；第二次循环，是；第三次循环，是；…第九次循环,是；第十次循环，否，结束循环.输出，故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若点在直线上，则

．参考答案：312.把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”求=

.参考答案：3/7略13.定义一种新运算“”：，其运算原理如图3的程序框图所示，则=_______.参考答案：-3略14.若，则

．参考答案：略15.某台风中心位于A港口东南方向的B处，且台风中心与A港口的距离为400千米．预计台风中心将以每小时40千米的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续小时．参考答案：15【考点】解三角形的实际应用．【分析】过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米，在BC线上取点D使得AD=500千米进而根据勾股定理求得DC，进而乘以2，再除以速度即是A港口受到台风影响的时间．【解答】解：由题意AB=400千米，过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米台风中心500千米的范围都会受到台风影响所以在BC线上取点D使得AD=500千米因为AC=400千米，AD=500千米∠DCA是直角根据勾股定理DC=300千米因为500千米的范围内都会受到台风影响所以影响距离是300×2=600千米T==15（小时）故答案为：15．16.实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=_______．参考答案：解：令x=rcosθ，y=rsinθ，则S=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．S=．∴+=+=．17.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是

．参考答案：[1,+∞)函数由，复合而成，由于是单调递增函数，因此是增函数，，由于恒成立，当时，有最小值，，故答案为

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知四棱锥，底面是等腰梯形，且∥，是中点，平面，，是中点．（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.参考答案：(1)证明：由题意，∥，= ∴四边形为平行四边形，所以. 又∵，

∴∥又平面，平面∴∥平面

………4分同理，∥平面，又∴平面∥平面.

…………6分（2）设求点到平面的距离为.因为V三棱锥A-PCD=V三棱锥P-ACD即.

………12分

略19.（本小题满分12分）已知平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cos，sin）

（I）若（）2=7（O为坐标原点），求向量与夹角的大小；

（Ⅱ）若，求sin2的值．参考答案：略20.已知点H（﹣1，0），点P在y轴上，动点M满足PH⊥PM，且直线PM与x轴交于点Q，Q是线段PM的中点．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）若点F是曲线E的焦点，过F的两条直线l1，l2关于x轴对称，且l1交曲线E于A、C两点，l2交曲线E于B、D两点，A、D在第一象限，若四边形ABCD的面积等于，求直线l1，l2的方程．参考答案：【考点】J3：轨迹方程．【分析】（1）由题意可知：=（﹣1，﹣y1），=（x1，﹣y1），利用PH⊥PM，求动点M的轨迹E的方程；（2）由抛物线的焦点，设直线方程，代入椭圆方程，结合韦达定理，即可用m表示四边形ABCD的面积，求出m，即可求直线l1，l2的方程．【解答】解：（1）设M（x，y），P（0，y1）（y1≠0），Q（x1，0），=（﹣1，﹣y1），=（x1，﹣y1），∵PH⊥PM，∴﹣x1+y′2=0，即y12=x1，又，则，可得：y2=（x≠0），（2）由（1）抛物线的焦点F（，0），则直线l1：x=my+（m＞0），则，整理得y2﹣y﹣=0，∴yA+yC=，yAyC=﹣，由题意，四边形ABCD是等腰梯形，∴S=丨丨=﹣2（yA﹣yC）2（yA+yC）=，=﹣m[（yA+yC）2﹣4yAyC]=﹣，由﹣=，整理得：m3+m=10，（m+2）（m2﹣2m+5）=0，则m2﹣2m+5＞0，则m=﹣2，∴直线l1，l2的方程y=﹣x+，y=x﹣．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查面积的计算，属于中档题．21.（本小题满分10）选修4-1：几何证明选讲如图，已知⊙O是的外接圆，是边上的高，是⊙O的直径．（1）求证：；（2）过点作⊙O的切线交的延长线于点，若，求的长．参考答案：22.经销商