上海民办平和学校2021年高一数学理期末试题含解析

上海民办平和学校2021年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在是减函数，则实数的取值范围是

▲

参考答案：略2.下列函数中，是奇函数且在（0，1]上单调递减的函数是（）A．y=﹣x2+2x B．y=x+ C．y=2x﹣2﹣x D．y=1﹣参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】根据奇函数图象的对称性，奇函数的定义，奇函数定义域的特点，以及增函数的定义，函数导数符号和函数单调性的关系便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=﹣x2+2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B.的定义域为{x|x≠0}，且；∴该函数为奇函数；，x∈（0，1]时，y′≤0；∴该函数在（0，1]上单调递减，∴该选项正确；C．y=2x﹣2﹣x，x增大时，﹣x减小，2﹣x减小，﹣2﹣x增大，且2x增大，∴y增大；∴该函数在（0，1]上单调递增，∴该选项错误；D．y=1﹣的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．【点评】考查奇函数的定义，奇函数定义域的特点，奇函数的图象的对称性，以及函数导数符号和函数单调性的关系，增函数的定义．3.若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为（

）A. B. C. D.参考答案：A分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可.详解：由题意得扇形的半径为：又由扇形面积公式得该扇形的面积为：.故选：A.点睛：本题是基础题，考查扇形的半径的求法、面积的求法，考查计算能力，注意扇形面积公式的应用.4.若A为△ABC内角，则下列函数中一定取正值的是：(

)A.

sinA B.

cosA

C.

tanA

D.

sin2A参考答案：A略5.函数是（

）A.奇函数

B.偶函数

C.既奇又偶

D.非奇非偶参考答案：A6.过点的圆的切线方程是（

）A. B.或C.或 D.或参考答案：D【分析】先由题意得到圆的圆心坐标，与半径，设所求直线方程为，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式，即可求出结果.【详解】因为圆的圆心为，半径为1，由题意，易知所求切线斜率存在，设过点与圆相切的直线方程为，即，所以有，整理得，解得，或；因此，所求直线方程分别为：或，整理得或.故选D【点睛】本题主要考查求过圆外一点的切线方程，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式即可求解，属于常考题型.7.函数，则满足的解集为（▲） A． B． C． D．参考答案：A略8.已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A．3x﹣1 B．3x+1 C．3x+2 D．3x+4参考答案：A【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】通过变换替代进行求解【解答】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1∴f（x）=3x﹣1故答案是：A9.集合M={x|x2﹣x﹣6≥0}，集合N={x|﹣3≤x≤1}，则N∩（?RM）等于（）A．[﹣2，1] B．（﹣2，1] C．[﹣3，3） D．（﹣2，3）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合M，根据补集与交集的定义写出N∩（?RM）即可．【解答】解：集合M={x|x2﹣x﹣6≥0}={x|x≤﹣2或x≥3}，集合N={x|﹣3≤x≤1}，则?RM={x|﹣2＜x＜3}，N∩（?RM）={x|﹣2＜x≤1}=（﹣2，1]．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．10.设锐角q使关于x的方程有重根，则q的弧度数为

[

]A．

B。

C。

D。参考答案：解析：因方程有重根，故

得，于是。

故选B。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集为

参考答案：[－3,2]12.若=，=，则=_________.参考答案：略13.已知一个球的表面积为，则这个球的体积为

.参考答案：

略14.已知函数f（x）=5x3，则f（x）+f（﹣x）=．参考答案：0【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用函数的奇偶性直接求解即可．【解答】解：函数f（x）=5x3，则f（﹣x）=5（﹣x）3=﹣5x3那么：f（x）+f（﹣x）=5x3﹣5x3=0故答案为015.在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E．若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是

．参考答案：

16.（5分）已知函数f（x）=asinx+btanx+3（a，b∈R），且f（1）=1，则f（﹣1）=

．参考答案：5考点： 函数奇偶性的性质．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 计算f（﹣x），运用诱导公式，得到f（﹣x）+f（x）=6．由f（1）=1，即可得到f（﹣1）．解答： 函数f（x）=asinx+btanx+3，则f（﹣x）=asin（﹣x）+btan（﹣x）+3=﹣asinx﹣btanx+3，即有f（﹣x）+f（x）=6．则f（﹣1）=6﹣f（1）=6﹣1=5．故答案为：5．点评： 本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．17.（3分）若集合A={﹣1，0，1}，集合B={x|x=t2，t∈A}，用列举法表示B=

．参考答案：{0，1}考点： 集合的表示法．专题： 集合．分析： 分别令t=﹣1，1，0，求出相对应的x的值，从而求出集合B．解答： 当t=±1时，x=1，当t=0时，x=0，∴B={0，1}，故答案为：{0，1}．点评： 本题考查了集合的表示方法，是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求：A∪B，（?RA）∩B．参考答案：【考点】补集及其运算；并集及其运算；交集及其运算．【分析】根据并集的定义，由集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求出A与B的并集即可；先根据全集R和集合A求出集合A的补集，然后求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，把两集合表示在数轴上如图所示：得到A∪B={x|2＜x＜10}；根据全集为R，得到CRA={x|x＜3或x≥7}；则（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．19.(本小题满分12分)已知是定义在上的奇函数，且当时，．(1)求的表达式；(2)判断并证明函数在区间上的单调性．参考答案：(1)解：∵是奇函数，∴对定义域内任意的，都有--1分令得，，即∴当时，

又当时，，此时

---5分故

(2)解：函数在区间上是减函数，下面给予证明．设，则

∵∴，即故函数在区间上是减函数20.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AD，求证：平面AEC⊥平面PCD．参考答案：【分析】（1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（2）要证平面PDC⊥平面AEC，需要证明CD⊥AE，AE⊥PD，即垂直平面AEC内的两条相交直线．【解答】证明：（1）连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，又EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC．（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥CD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PDC，又AE?平面PAD，∴平面PDC⊥平面AEC．21.（本小题12分）已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0，|φ|<π)的一段图象(如图)所示.（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调增区间。参考答案：（1）由图可知A=3，……………1分T==π，又，故ω=2…………1分所以y=3sin(2x+φ)，把代入得：故，∴，k∈Z……2分∵|φ|<π，故k=1，，……1分∴………………1分（2）由题知，…………2分解得：…………2分故这个函数的单调增区间为，k∈Z。………………2分22.已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明：函数f（