上海昂立中学生教育(平凉路分部)2021年高三数学理月考试卷含解析

上海昂立中学生教育(平凉路分部)2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列为等差数列，且，，则（

）A．45

B．43

C．40

D．42

参考答案：D，2.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D3.已知i为虚数单位，复数，则z的共轭复数虚部是A. B. C. D.参考答案：D【知识点】复数代数形式的乘除运算L4因为，所以共轭复数的虚部是，故选D.【思路点拨】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z，即可求得z的共轭复数，从而求得共轭复数的虚部．4.设集合,集合，则集合中有___个元素A．4

B．5

C．6

D． 7 参考答案：∵，所以，∴中有6个元素，故选．5.已知平面向量，且，则的最小值为（

）

A．1

B．

C．

D．3参考答案：6.已知集合，则A．

B．(－2,2)

C．

D．(－2,3)参考答案：A7.设a=log50.5，b=log20.3，c=log0.32则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＞b＞c参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】化简可得log20.3＜﹣1，log50.5＞﹣1，log0.32＞﹣1；再化简log0.32=，log50.5===，从而比较大小．【解答】解：log50.5＞log50.2=﹣1，log20.3＜log20.5=﹣1，log20.3＞log20.25=﹣2；log0.32＞log0.3=﹣1；log0.32=，log50.5===，∵﹣1＜lg0.2＜lg0.3＜0，∴＜；即c＜a；即b＜c＜a；故选B．8.已知某几何体的三视图如左上(单位m)所示，则这个几何体的外接球的表面积（单位：m2）等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm的概率为.

(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：B略10.直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为(

) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切参考答案：D考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，比较d与r的大小即可得到直线与圆的位置关系．解答： 解：由题设知圆心到直线的距离，而（a+b）2≤2（a2+b2），得，圆的半径，所以直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为相交或相切．故选D点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆位置关系的判别方法，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列命题中：函数的最小值是；②在中，若，则是等腰或直角三角形；③如果正实数满足，则；④如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是_____________.参考答案：略12.直角坐标系中，，分别是与，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，，且，则的值是

．参考答案：313.已知函数，则

．参考答案：514.已知幂函数f(x)＝的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上递减，则整数的值是

．参考答案：2略15.若函数y=tanθ+（0＜θ＜），则函数y的最小值为

．参考答案：2【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用二倍角公式化简函数，结合三角形函数的图象及性质即可求函数的最小值．【解答】解：由题意：函数y=tanθ+（0＜θ＜），化简：y=+==；∵0＜θ＜，∴0＜2θ＜π，所以：0≤sin2θ≤1．当sin2θ=1时，函数y取得最小值，即．故答案为：2．16.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则四面体A—EFB的体积V等于

。参考答案：连结BD交AC与O,则OA为四面体A—EFB的高且,,所以。17.当x∈(1,2)时，不等式(x－1)＜logx恒成立，则实数a的取值范围为________．参考答案：【知识点】对数函数的单调性与特殊点B7【答案解析】{a|1＜a≤2}解析：解：设y＝(x－1)2，y＝logax.在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示．若0＜a＜1，则当x∈(1,2)时，(x－1)2＜logax是不可能的，所以a应满足解得1＜a≤2.所以，a的取值范围为{a|1＜a≤2}．

【思路点拨】根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜logax恒成立，则y=logax必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，四棱锥中，⊥平面，(1)求证：(2)求点到平面的距离

参考答案：解：（1）因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC.由∠BCD=，得BC⊥DC，又PDDC=D，PD平面PCD，DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD因为PC平面PCD，故PC⊥BC（2）连结AC.设点A到平面PBC的距离为h因为AB∥DC，∠BCD=，所以∠ABC=从而由AB=2，BC=1，得的面积.由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积

因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC.略19.

已知函数

‘

（I）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数．是否存在实数a、b、c∈[O，1]，

使得g（a）+g(6）<g(c）?若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：20.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲．如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC;（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．参考答案：21.已知四棱锥S﹣ABCD的底面为平行四边形，且SD⊥平面ABCD，AB=2AD=2SD，∠DCB=60°，M，N分别为SB，SC的中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD，AB相交于点P，Q，且．（1）当时，证明：平面MNPQ∥平面SAD；（2）是否存在实数λ，使得二面角M﹣PQ﹣B为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）推导出MN∥BC，MN∥BC，从而MN∥平面SAD，再求出MQ∥平面SAD，由此能证明平面MNPQ∥平面SAD．（2）连结BD，交PQ于点R，则BC∥平面MNPQ，从而PQ∥BC∥AD，推导出AD⊥平面SBD，PQ⊥平面SBD，则∠MRB为二面角M﹣PQ﹣B的平面角，从而∠MRB=60°，过M作ME⊥DB于E，则ME∥SD，从而ME⊥平面ABCD，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵M，N分别是SB，SC的中点，∴MN∥BC，由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，∴MN∥BC，又MN?平面SAD，∴MN∥平面SAD，∵λ=，∴Q为AB的中点，∴MQ∥SA，又MQ?平面SAD，∴MQ∥平面SAD，∵MN∩MQ=M，∴平面MNPQ∥平面SAD．解：（2）连结BD，交PQ于点R，∵MN∥BC，∴BC∥平面MNPQ，又平面MNPQ∩平面ABCD=PQ，∴PQ∥BC∥AD，在?ABCD中，AB=2AD，∠DCB=60°，∴AD⊥DB，又SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AD，且SD∩DB=D，∴AD⊥平面SBD，∴PQ⊥平面SBD，∴∠MRB为二面角M﹣PQ﹣B的平面角，∴∠MRB=60°，∵