上海市闵行第五中学2022年高二数学理联考试题含解析

上海市闵行第五中学2022年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若圆上的点到直线的最近距离等于1,则半径值是A.4

B.5

C.6

D.9参考答案：C2.下列函数中，在上为增函数的是（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：B3.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＝-(≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边的项是()A．1

B．1＋

C．1＋＋

D．1＋＋+参考答案：C4.用反证法证明“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设正确的是（

）A.有两个数是正数

B.这三个数都是负数C.至少有两个数是负数

D.至少有两个数是正数参考答案：D5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*），可归纳猜想出Sn的表达式为（）A．B．C． D．参考答案：A【考点】数列的求和；归纳推理．【分析】数列{an}中，前n项和为Sn，由a1=1，Sn=n2an（n∈N*），可得s1；由s2可得a2的值，从而得s2；同理可得s3，s4；可以猜想：sn=，本题不需要证明．．【解答】解：在数列{an}中，前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*），∴s1=a1=1=；s2=1+a2=4a2，∴a2=，s2==；s3=1++a3=9a3，∴a3=，s3==；s4=1+++a4=16a4，∴a4=，s4==；…于是猜想：sn=．故选A．6.如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠3＝180°.所用的推理规则为()A．假言推理 B．关系推理C．完全归纳推理D．三段论推理参考答案：D略7.不等式的解集是（）A.

B.C.

D.参考答案：D略8.曲线f(x)=x3+x-2在P0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为(

)A.(1,0)或(-1,-4)

B.(0,1)

C.(-1,0)

D.(1,4)

参考答案：A略9.若复数是纯虚数，则实数m为A.1

B.－1

C.0

D.±1、参考答案：D10.等差数列中，S2=10，S6=90，则S4=

（

）A.20 B.30 C.40 D.50参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如图的程序框图，若p=4，则输出的S=．参考答案：【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=+++…+的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算S=+++…+∵S=+++…+=1﹣p=4∴S=故答案为：．12.函数的单调递减区间为____________.参考答案：(0,1]13.已知，，，则向量与的夹角等于。参考答案：。∵，∴∴。14.已知函数既存在极大值又存在极小值，则的取值

范围是________________．参考答案：略15.式子（+）n的展开式中第4项为常数项，且常数项为T，则：sinxdx=_________．参考答案：1略16.顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是

．参考答案：x2=±24y【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用已知条件，求出抛物线的距离p，然后写出抛物线方程即可．【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，所求抛物线方程为：x2=±24y．故答案为：x2=±24y．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．17.将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①面是等边三角形；

②；

③三棱锥的体积是.其中正确命题的序号是

.（写出所有正确命题的序号）参考答案：①②三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C异于O的两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线OA，OB的斜率之积为﹣，求证：直线AB过x轴上一定点．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），可得抛物线C的方程；（2）分类讨论，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，可求直线方程，即可得出结论．【解答】（1）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），所以=1，所以p=2．所以抛物线C的方程为y2=4x．（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A（，t），B（，﹣t），因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，所以=﹣，化简得t2=48．所以（12，t），B（12，﹣t），此时直线AB的方程为x=12．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB）联立方程，化简得ky2﹣4y+4b=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根据韦达定理得到yAyB=，因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，所以得到xAxB+3yAyB=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得到+2yAyB=0，化简得到yAyB=0（舍）或yAyB=﹣48．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为yAyB==﹣48，b=﹣12k，所以y=kx﹣12k，即y=k（x﹣12）．综上所述，直线AB过定点（12，0）．19.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.（1）求证：AG∥平面PEC；（2）求AE的长；（3）求直线AG与平面PCA所成角的正弦值.参考答案：解（1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA

∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AG，又PD⊥AG

∴AG⊥平面PCD

作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD

∴EF⊥平面PCD

∴EF∥AG又AG面PEC，EF面PEC，∴AG∥平面PEC

（2）由（1）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD

∴AE∥平面PCD∴AE∥GF

∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE＝GF

∵PA＝3，AB＝4

∴PD＝5，AG＝，又PA2＝PG?PD

∴PG

又

∴

∴

（3）∵EF∥AG,所以AG与平面PAC所成角等于EF与平面PAC所成的角，过E作EO⊥AC于O点，易知EO⊥平面PAC，又EF⊥PC，∴OF是EF在平面PAC内的射影∴∠EFO即为EF与平面PAC所成的角

，

又EF＝AG∴

所以AG与平面PAC所成角的正弦值等于

略20.

设是函数的一个极值点.（I）求与的关系式（用表示）；（II）求的单调区间；(Ⅲ)设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）∵

∴

………2分

由题意得：，即，

…3分

∴且

…4分

令得，∵是函数的一个极值点.

∴，即

故与的关系式

…5分（Ⅱ）①当时，，由得单调递增区间为：；

由得单调递减区间为：，；②当时，，由得单调递增区间为：；

由得单调递减区间为：，；

……8分(Ⅲ)由（Ⅱ）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，，在上的值域为

……………10分易知在上是增函数在上的值域为

…………………11分由于，又因为要存在，使得成立，所以必须且只须，……13分解得：所以：的取值范围为

………14分

略21.直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．直角坐标系，圆锥曲线的方程，为原点．（如图），且，直线过曲线的上焦点，与椭圆交于点、．（1）下面的三个问题中，直线分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究．（三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分）①直线斜率为，求线段的长．②，求直线的方程．③当面积最大时，求直线的方程．我选择问题__________，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．（3）直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．直角坐标系，圆锥曲线的方程，为原点．（如图），且，直线过曲线的上焦点，与椭圆交于点、．自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）．（在图3-4中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．参考答案：见解析．（1）①解：由题意可知直线的方程为，椭圆的方程为，由得，设，，则由韦达定理得：，，∴线段．②解：易知直线的斜率一定存在，设直线，代入椭圆中得：，设，，则由韦达定理得：，，∴，∵，∴，解得：，∴直线的方程为：．③解：易知直线斜率一定存在，设直线，代入椭圆中得：，设，，则由韦达定理得：，，∴线段，又原点到直线的距离，∴的面积，∵，∵，当且仅当，即时，取等号，∴的面积最大为，此时直线的方程为：．