上海市田林第三中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析

上海市田林第三中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若实数x,y满足，则S=2x+y－1的最大值为

A．6

B．4

C．3

D．2参考答案：A2.在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩（单位：分）.甲组

乙组

909

51387127

已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则、的值分别为(

) A．2，5

B．5，5

C．5，7

D．8，7

参考答案：C3.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（）A.关于直线对称 B.关于直线对称C.关于点对称 D.关于点对称参考答案：D【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：∵函数f（x）＝asinx+cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，所以函数g（x）＝sinx+acosx＝sinx+cosx＝sin（x+），当x＝﹣时，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故A错误，当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，当x＝时，g（x）＝≠0，故C错误，当x＝时，g（x）＝0，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．4.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如上图所示，估计这辆汽车在这段公路时速的众数是（）A．60

B．65

C．60.5

D．70参考答案：B5.设函数，若有且仅有三个解，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：A6.从某班成员分别为3人、3人和4人的三个学习小组中选派4人组成一个环保宣传小组，则每个学习小组都至少有1人的选派方法种数是（）A．130 B．128 C．126 D．124参考答案：C【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；排列组合．【分析】3人、3人和4人的三个学习小组中选派4人，有如下几种情况：①2，1，1，有C32C31C41=36种，②1，2，1，有C31C32C41=36种，③1，1，2，有C31C31C42=54种，即可得出结论．【解答】解：3人、3人和4人的三个学习小组中选派4人，有如下几种情况：①2，1，1，有C32C31C41=36种，②1，2，1，有C31C32C41=36种，③1，1，2，有C31C31C42=54种，共计36+36+54=126种．故选：C．【点评】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．7.设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．参考答案：【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．（2）若f（2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m＞0．【解答】（1）证明：∵f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|（x﹣）﹣（x+m）|=|﹣﹣m|=+m（m＞0）又m＞0，则+m≥4，当且仅当m=2取最小值4．∴f（x）≥4；（2）解：若f（2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．【点评】本题考查绝对值函数的最值，注意去绝对值的方法，考查基本不等式的运用，以及绝对值不等式的解法和二次不等式的解法，属于中档题．8.函数，的图象可能是下列图象中的(

）参考答案：C9.设集合，，若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（?uB）=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x＜2} D．{x|x≤1}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】lg（x﹣1）＞0，可得x﹣1＞1，可得B，?RB．再利用集合的运算性质可得：A∩（?uB）．【解答】解：∵lg（x﹣1）＞0，∴x﹣1＞1，解得x＞2．∴B={x|lg（x﹣1）＞0}=（2，+∞），∴?RB=（﹣∞，2]．则A∩（?uB）=（﹣∞，2）．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

数列中，，则

参考答案：12.已知函数若方程有两个大于零的实数根,则实数的取值范围是

▲

.参考答案：13.设函数的定义域为R，若存在常数对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”．现给出下列函数： ①； ②； ③； ④是定义在实数集R上的奇函数，且对一切均有．其中是“条件约束函数”的序号是_____（写出符合条件的全部序号）．参考答案：①③④14.若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是

.参考答案：略15.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

.参考答案：716.函数y=f（x）图象上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）处的切线的斜率分别是kM，kN，规定φ（M，N）=（|MN|为线段MN的长度）叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”．设曲线f（x）=x3+2上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x1y1=1，则φ（M，N）的取值范围是．参考答案：（0，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用定义，再换元，即可得出结论．【解答】解：曲线f（x）=x3+2，则f′（x）=3x2，设x1+x2=t（|t|＞2），则φ（M，N）==，∴0＜φ（M，N）＜．故答案为：（0，）17.已知矩形ABCD，AB=2，bc=1，则

．参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C的极坐标方程，得ρ2=4ρcosθ．由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，得：t2﹣2tcosα﹣3=0．利用韦达定理和弦长公式能求出直线的倾斜角α的值．【解答】选修4﹣4：坐标系与参数方程（本小题满分，第（1）问，第（2）问5分）解：（1）由曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ．∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入圆的方程，得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|===，4cos2α=1，解得cos，∴或．19.（本题满分14分）如图一，平面四边形中，．把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于对于图二，完成以下各小题：（1）求AC的长（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：解：（2）取的中点，连接，由，得：

就是二面角的平面角，

…………2分在中，

由，

，又平面．

（2）方法一：由（Ⅰ）知平面平面∴平面平面

平面平面，作交于，则平面，就是与平面所成的角，

．

方法二：设点到平面的距离为，∵

于是与平面所成角的正弦为．

20.已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．(Ⅰ)求点的轨迹的方程；(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案：解：（1）椭圆右焦点的坐标为，………………1分．，由，得．…3分设点的坐标为，由，有，代入，得．

…………5分（2）(法一)设直线的方程为，、，则，．

………………6分由，得，同理得．…………8分②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得．

…………………10分由，得，．……11分则．

…………13分因此，的值是定值，且定值为．

…………………14分略21.已知A,B,C,D四个城市,它们各自有一个著名的旅游点,依次记为a,b,c,d,把A,B,C,D和a,b,c,d分别写成左、右两列.现在一名旅游爱好者随机用4条线把城市与旅游点全部连接起来,构成“一一对应”.规