上海市松江区第一中学2022年高三数学文期末试题含解析

上海市松江区第一中学2022年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（） A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】空间向量的夹角与距离求解公式． 【分析】由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞=可得答案． 【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1）， 所以， 所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=， 所以cos＜，＞==， ∴的夹角为60° 故选C． 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题 2.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=cos（ω+）的图象，则只将f（x）的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数f（x）的部分图象求出T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式；再化g（x）=sin[2（x+）+]，利用图象平移得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象知，=﹣=，∴T=π，即=π，解得ω=2；再根据五点法画图知2×+φ=π，解得φ=，∴f（x）=sin（2x+）；又g（x）=cos（2x+）=sin[（2x+）+]=sin[2（x+）+]，为了得到g（x）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位即可．故选：A．3.设集合A．[1，2] B．(－1，3) C．{1} D．{l，2}参考答案：D，所以，故选D4.已知：为单位向量，，且，则与的夹角是（

）A．

B.

C．

D.参考答案：D略5.若实数x,y满足，则S=2x+y－1的最大值为

A．6

B．4

C．3

D．2参考答案：A6.函数在区间[-5，5]上的最大值、最小值分别是（

）A

12，

B42，12

C

42，

D

最小值是，无最大值参考答案：C略7.某同学对函数进行研究后，得出以下结论：①函数的图像是轴对称图形；②对任意实数，均成立；③函数的图像与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的序号是

▲

．参考答案：①②④①，所以函数是偶函数，所以关于轴对称，所以①正确。②，所以②正确。③由，得或，所以,所以任意相邻两点的距离不一定相等，所以③错误。④由，即，因为，所以，所以必有，所以函数的图像与直线有且仅有一个公共点，所以④正确。所以所有正确结论的序号是①②④。8.设函数的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，，则（）Ａ.Ｂ.Ｃ.Ａ＝ＢＤ.参考答案：D略9.下列函数中，周期为1且是奇函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，可得其体积．【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=．参考答案：2【分析】根据夹角相等列出方程解出m．【解答】解：=（m+4，2m+2）.=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．||=，||==2，∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，解得m=2．故答案为：2．12.．(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为（为参数）,则过曲线C上横坐标为1的点的切线方程为

.参考答案：13.一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积

.参考答案：由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为，五棱柱的体积是，所以几何体的总体积为。14.有如下四个命题：①甲乙两组数据分别为甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙：29,34,35,48,42,46,55,53,55,67则甲乙的中位数分别为45和44.②相关系数，表明两个变量的相关性较弱.③若由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值,那么有95%的把握认为两个变量有关.④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据的残差是指.

以上命题“错误”的序号是

.参考答案：15.在区间上随机取一个数x,则的概率为

。参考答案：16.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为，，则切线AD的长为

参考答案：略17.已知，，如果与的夹角为锐角，则λ的取值范围是．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为、.其中也是抛物线：的焦点，点为与在第一象限的交点，且.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）平面上的点满足，直线∥，且与交于、

两点，若，求直线的方程.参考答案：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由：知.

设，在上，因为，所以，解得，在上，且椭圆的半焦距，于是，消去并整理得，

解得

（不合题意，舍去）.故椭圆的方程为.

------------------7分（Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为∥，所以与的斜率相同，故的斜率.设的方程为.由

.设，，所以，.因为，所以，∴∴

.此时，故所求直线的方程为或.---------------14分略19.如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于．的点，，圆的直径为9．（I）求证：平面平面；（II）求二面角的平面角的正切值．

参考答案：解：（I）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，∴．在正方形中，，∵，∴平面．∵平面，∴平面平面。

…………4分（II）解法1：∵平面，平面，∴．∴为圆的直径，即．设正方形的边长为，在△中，，在△中，，由，解得，．∴．在△中，，∴．故二面角的平面角的正切值为．…12分略20.（本小题满分12分）已知函数＝，其中a∈R，且曲线y＝在点(，)处的切线垂直于直线.(1)求的值；(2)求函数的单调区间与极值．参考答案：因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)上为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数．

由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5,无极大值.…12分

21.已知椭圆C的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，且椭圆经过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）线段是椭圆过点的弦，且，求内切圆面积最大时实数的值.参考答案：（1），又

…………4分（2）显然直线不与轴重合当直线与轴垂直时，||=3，，；………………5分当直线不与轴垂直时，设直线：代入椭圆C的标准方程，整理，得

………………7分令所以由上，得所以当直线与轴垂直时最大，且最大面积为3

……………10分设内切圆半径，则即，此时直线与轴垂直，内切圆面积最大所以，

………………12分略22.如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，点G是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BG；（2）若AB=BC，AC=，求证：AC1⊥A1B．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结AB1，交A1B于点O，连结OG，由三角形中位线定理得OG∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1BG．（2）由线面垂直得AA1⊥BG，由已知推导出tan∠AC1C=tan∠A1GA=，从而得到A1G⊥AC1，由此能证明AC1⊥A1B．【解答】（1）证明：连结AB1，交A1B于点O，连结OG，在△B1AC中，∵G、O分别为AC、AB1中点，∴OG∥B1C，又∵OG?平面A1BG，B1C?平面A1BG，∴B1C∥平面A1BG．（2）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，BG?平面ABC，∴A