上海市南汇区吴迅中学2021年高二数学理期末试题含解析

上海市南汇区吴迅中学2021年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A2.设向量a与向量b垂直，且，，则下列向量与向量共线的是（

）A.(1,8) B.(－16,－2) C.(1,－8) D.(－16,2)参考答案：B【分析】先利用向量与向量垂直，转化为两向量数量积为零，结合数量积的坐标运算得出的值，并求出向量的坐标，结合共线向量的坐标等价条件可得出选项。【详解】因为向量与向量垂直，所以，解得，所以，则向量与向量共线，故选：B。【点睛】本题考查向量垂直与共线坐标的等价条件，解题时要充分利用这些等价条件列等式求解，考查计算能力，属于中等题。3.不等式的解集为（）

A.(-∞,-1)(1,+∞)B.(-∞,-2)(2,+∞)C.(-1,1)D.(-2,2)参考答案：解析：注意到xR,x2=|x|2∴x2-|x|-2<0|x|2-|x|-2<0(|x|-2)(|x|+1)<0|x|-2<0|x|<2故应选D4.命题“?x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．?x＞0，x2+x≤0 B．?x≤0，x2+x＞0C．?x0＞0，x02+x0≤0 D．?x0≤0，x02+x0＞0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“?”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“?x∈R，x2+x＞0“的否定是：?x0＞0，x02+x0≤0，故选：C【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．5.下列关于回归分析的说法中错误的是（

）A．回归直线一定过样本中心B．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域，说明选用的模型比较合适C．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好D．甲、乙两个模型的分别为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好参考答案：D对于A，回归直线一定过样本中心，正确；对于B，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适。带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高。故正确；对于C，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故正确；对于D，∵相关指数取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，又∵甲、乙两个模型的相关指数的值分别约为0.98和0.80，0.98>0.80，∴甲模型的拟合效果好，故不正确。本题选择D选项.

6.给出下列结论：①命题“?x∈R，sinx≠1”的否定是“?x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定判断①的正误；充要条件判断②的正误；等比数列的定义判断③的正误．【解答】解：对于①，命题“?x∈R，sinx≠1”的否定是“?x∈R，sinx=1”；满足命题的否定形式，所以①正确．对于②，命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；前者能够说明后者成立，sinα=成立则α=不一定成立，所以②正确；对于③，数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件错误．例如：数列是常数列{0}，则满足“an+1=3an”，数列不是等比数列，所以③不正确；故选：A．7.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（

）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁参考答案：A【分析】分别假设第一名是甲、乙、丙、丁，然后分析四个人的话，能够求出结果．【详解】当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件；当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件；当丙获得第一名时，甲和丁说的是对的，乙和丙说的是错的，不符合条件；当丁获得第一名时，甲、乙说的都是对的，乙、丁说的都是错的，不符合条件．故选：A．【点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题．8.把曲线：（为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线为（

）A.B.C.

D.参考答案：B略9.在60°的二面角的一个面内有一点，它到棱的距离是8，那么它到另一个面的距离是（

）．A． B． 2 C． 3 D．4参考答案：D如图，，，∴．故选．10.设点P是函数y=﹣图象上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为（）A．﹣2 B． C．﹣2 D．﹣2参考答案：C【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；直线与圆．【分析】将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论．【解答】解：由函数y=﹣得（x﹣1）2+y2=4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下部分，∵点Q（2a，a﹣3），∴x=2a，y=a﹣3，消去a得x﹣2y﹣6=0，即Q（2a，a﹣3）在直线x﹣2y﹣6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则|PQ|min=|CA|﹣2=﹣2=﹣2，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若对任意，均满足，则实数m的取值范围是___________．参考答案：试题分析：由可知在上为增函数，所以在R上恒成立，而，所以，所以；考点：1.函数的单调性；2.导数研究函数的单调性；

12.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生甲当选为组长的概率是___________参考答案：略13.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为．参考答案：214.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

．外接球半径为

．参考答案：；。【考点】球内接多面体．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】几何体是一个底面是顶角为120°且底边长是2，在等腰三角形的顶点处有一条垂直于底面的侧棱，侧棱长是2，建立适当的坐标系，写出各个点的坐标和设出球心的坐标，根据各个点到球心的距离相等，点的球心的坐标，可得球的半径，做出体积．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，三棱锥的底面为等腰三角形，且三角形的底边长为2，底边上的高为1，∴几何体的体积V=××2×1×2=．以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（﹣1，，0）∵（x﹣2）2+y2+z2=x2+y2+z2，①x2+y2+（z﹣2）2=x2+y2+z2，②（x+1）2+（y﹣）2+z2=x2+y2+z2，③∴x=1，y=，z=1，∴球心的坐标是（1，，1），∴球的半径是，故答案为：，．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体，考查三棱锥与外接球之间的关系，考查利用空间向量解决立体几何问题．15.在中，，则的最大值为 参考答案：16.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是

参考答案：17.（坐标系与参数方程选做题）设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，则直线的极坐标方程为

．参考答案：或或或略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列满足

（1）求通项；（2）令，求数列的前项和．参考答案：略19.已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0，分别求满足下列条件的a，b值 （1）l1⊥l2，且直线l1过点（﹣3，﹣1）； （2）l1∥l2，且直线l1在两坐标轴上的截距相等． 参考答案：【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆． 【分析】（1）由直线垂直和直线l1过定点可得ab的方程组，解方程组可得； （2）由直线平行和直线l1截距相等可得ab的方程组，解方程组可得． 【解答】解：（1）∵两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0且l1⊥l2， ∴a（a﹣1）+（﹣b）×1=0，即a2﹣a﹣b=0， 又∵直线l1过点（﹣3，﹣1），∴﹣3a+b+4=0， 联立解得a=2，b=2； （2）由l1∥l2可得a×1﹣（﹣b）（a﹣1）=0，即a+ab﹣b=0， 在方程ax﹣by+4=0中令x=0可得y=，令y=0可得x=﹣， ∴=﹣，即b=﹣a，联立解得a=2，b=﹣2． 【点评】本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，涉及直线的截距，属基础题．20.已知，，在处的切线为。（I）求，的值；（II）若，求的极值；（III）设，是否存在实数，当（，为自然常数）时，函数的最小值为。参考答案：（1），在处的切线为，所以，即，又在处，所以，所以，可得，所以，，则。

......2分（2）时，定义域为，。可以看出，当时，函数有极小值，没有极大值。

......7分（3）因为，，所以，假设存在实数，使（）有最小值，，

......8分①当时，，所以在上单调递减，，（舍去）；

......9分②当时，。（i）当时，，在上恒成立，所以在上单调递减，，（舍去）；

......10分（ii）当时，，当时，，所以在上递减，当时，，在上递增，所以，，

......11分所以满足条件。综上，存在使时有最小值。

......12分21.（本题满分10分）为了解心脑血管疾病是否与年龄有关，现随机抽取了50人进行调查，得到下列的列联表：

患心脑血管不患心脑血管合

计大于45岁22830小于45岁81220合

计302050试问能否在犯错的概率不超过5%的前提下，认