河北省廊坊市东安庄中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析

河北省廊坊市东安庄中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则的值为（

）A.1 B.16 C.-15 D.15参考答案：C【分析】令，可解得的值，再求出的系数的值，从而可得结果.【详解】解：令，可得，即，含有的项为，所以，所以，故选C.【点睛】本题考查了二项式定理的知识，赋值法是常见的解题方法.2.如图，已知点，正方形内接于圆：，

、分别为边、的中点.当正方形绕圆心旋转时，的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知等差数列，首项，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n是 A．2011 B．2012 C．4023 D．4022参考答案：D略4.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面A．一定平行

B.一定相交

C.平行或相交

D.一定重合参考答案：C5.数列的前n项和为，若，则等于

A.1

B.

C.

D.参考答案：B6.已知，，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【知识点】【答案解析】A解析：解：【思路点拨】7.已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是(

)A．

B．

.

D．参考答案：B8.如图,下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度和时间之间的关系，其中正确的有（

）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：A略9.设函数f（x）=ax+3，若f′（1）=3，则a等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3参考答案：C【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【分析】对f（x）求导数，令f′（1）=3，即可求出a的值．【解答】解：∵f（x）=ax+3，∴f′（x）=a；又∵f′（1）=3，∴a=3．故选：C．10.设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A． B． C．a＞b2 D．a2＞2b参考答案：C【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C【点评】想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线与直线kx-y+3=0的夹角为为600，则实数k=______参考答案：0或略12.计算___________.参考答案：113.如图所示的直观图，其原来平面图形的面积是

参考答案：414.设（x﹣1）21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21，则a10+a11=

．参考答案：0【考点】DC：二项式定理的应用；DB：二项式系数的性质．【分析】根据题意，可得（x﹣1）21的通项公式，结合题意，可得a10=﹣C2111，a11=C2110，进而相加，由二项式系数的性质，可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣1）21的通项公式为Tr+1=C21r（x）21﹣r?（﹣1）r，则有T11=C2110（x）11?（﹣1）10，T12=C2111（x）10?（﹣1）11，则a10=C2110，a11=﹣C2111，故a10+a11=C2110﹣C2111=0；故答案为：0．15.某部门计划对某路段进行限速，为调查限速是否合理，对通过该路段的辆汽车的车速进行检测，将所得数据按分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这辆汽车中车速低于限速的汽车有

辆．参考答案：18016.观察下列等式:照此规律，第n个等式可为

.参考答案：17.用数学归纳法证明时，由到，等式左端应增加的式子为________________．参考答案：【分析】写出时，等式左边的表达式，然后写出时，等式左边的表达式，由此判断出等式左端增加的式子.【详解】当时，左边，当时，左边，所以不等式左端应增加式子为．【点睛】本小题主要考查数学归纳法，考查观察与分析的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题16分）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，（1）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；（2）求线段的长的最小值；（3）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．参考答案：（1），，令，则由题设可知，直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，所以（），从而有.（2）由题意设直线的方程为，直线的方程为，由，由，直线与直线的交点，直线与直线的交点,又，，等号当且仅当时取到，

即，故线段长的最小值是。(3）设点是以MN为直径的圆上的任意一点，则,故，又，以MN为直径的圆方程为，，得或所以以MN为直径的圆恒过定点或。19.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为；（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C在第一象限内的任意一点，过点P且斜率为的直线与椭圆相切，设的斜率分别为，试证明为定值，并求出此定值；（Ⅲ）若直线与椭圆交于不同的两点，且原点O到直线l的距离为1，设，当时，求的面积的取值范围．

参考答案：（Ⅰ）椭圆方程为

…………3分（Ⅱ）设点的坐标为则，又由得则，又，故

……7分（Ⅱ）方法二：设与相切于点则即又即（同上）（Ⅲ）设联立则则又点到直线的距离为1，即则， 令，则，又，由得故当时，；当时，，的范围是……12分20.已知函数（）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的单调区间.参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）,增区间为和,减区间为;时，增区间为;,增区间为和,减区间为（Ⅰ）

………2分（Ⅱ）函数的定义域为 ………3分

由，得与同号.令，得，，.

………4分（1）当时，

的增区间为和；的减区间为.……6分(2)当时，恒成立，的增区间为，无减区间.

……8分（3）当时,

的增区间为和；的减区间为.

……10分故的单调区间为：的增区间的减区间和无和

………10分21.已知k为实常数，函数在[0,2]上的最大值等于1．（1）求k的值；（2）若函数g(x)在定义域R上连续且单调递增，，，写出一个满足以上条件的函数g(x)，并证明你的结论．参考答案：（1）1；（2）函数满足条件，证明详见解析【分析】（1）根据导函数得函数的单调性求出函数的最大值即可得解；（2）函数满足条件，构造函数，利用导函数讨论函数的单调性求出最值即可得解.【详解】（1）由题知：

，因为，，所以在上单调递减；

所以当时，，所以（2）函数满足条件，证明如下：首先函数满足在定义域上连续且单调递增，且

下面证明：，令，则由得当）时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以，即，所以【点睛】此题考查导函数的应用，利用导函数求函数的单调区间，得出函数的最值，根据最值求参数，构造函数利用导函数证明不等式.22.设命题p:实数x满足（）；命题q:实数x满足＜0．（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若?q是?p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．参考答案：（1）由x2-4ax+3a2＜0得(x-3a)(x-a)＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，.------------------------------------------------------2分当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由实数x满足得-2＜x＜3，即q为真时实数x的取值范围是-2＜x＜3．------4分若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是1＜x＜3．-------