安徽省宣城市丁店中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

安徽省宣城市丁店中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y满足约束条件，则z=2x－3y的最小值是（

）A

B－6

C

D参考答案：B略2.已知函数（），则下列叙述错误的是

（

）

A．的最大值与最小值之和等于

B．是偶函数

C．在上是增函数

D．的图像关于点成中心对称参考答案：C由题意得，因此结合各选项知在上是增函数是错误的，选C。3.设a，b∈R，则“a>0，b>0，，是“”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：D4.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是(

)

A．钝角三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．等边三角形参考答案：A由得，，所以，所以,即三角形为钝角三角形，选A.5.设全集是实数集，M=，N＝

，则图中阴影部分表示的集合是

(

)A．{|1＜≤2B．{|0≤≤2}

C．{|1≤≤2

D．{|＜0}参考答案：C略6.给出下列命题：

（1）“若，则互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；

（3）“若，则有实根”的逆否命题；

（4）“若，则”的逆否命题.

其中为真命题的是A.(1)(2)

B.(2)(3)

C.(1)(2)(3)

D.(3)(4)参考答案：C7.命题“，”的否定是（

）A．，

B．，

C．，

D．，参考答案：D8.函数f（x）的导数为题f′（x）若函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，则f'（x）在区间（a，b）内无零点．命题P的逆命题，否命题，逆否命题中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】四种命题．【分析】可先判断出原命题与其逆命题的真假，根据四种命题的等价关系即可判断出真命题的个数．【解答】解：函数f（x）的导数为f′（x）若函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，则f'（x）在区间（a，b）内无零点，故原命题为真正确，则逆否命题为真命题，其逆命题为：函数f（x）的导数f′（x），若f'（x）在区间（a，b）内无零点，则函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，逆命题也是真命题，由此可知命题的否命题也是真命题，因为原命题的逆命题与否命题是等价命题．综上可知：命题p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是3．故选：D．9.已知集合,,则A.

B.

C.

D.参考答案：C，所以,选C.10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且，当时，.则的值为（

）A.－1 B.－2 C.1 D.2参考答案：B【分析】根据为奇函数与可求得的周期为3,再利用的性质将中自变量转换到上再计算即可.【详解】∵是奇函数,∴关于对称,又,∴关于对称,∴函数的一个周期为,∴.故选：B.【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与对称性周期性等求解函数值的问题,属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)＝log3(a－3x)＋x－2，若f(x)存在零点，则实数a的取值范围是________．参考答案：[6，＋∞)12.若满足且的最大值为4，则的值为

;.参考答案：考点：线性规划因为可行域如图，当时，不合题意，当时，在取得最大值

故答案为：

13.抛物线的焦点坐标为

；参考答案：略14.已知点O是锐角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=．若，则6x+9y=．参考答案：5【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．可得D，E分别为AB，AC的中点．可得=，=．由A=，可得．对，两边分别与，作数量积即可得出．【解答】解：如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．则D，E分别为AB，AC的中点，∴===32．===72．∵A=．∴==48．∵，∴=，=+y，化为32=64x+48y，72=48x+144y，联立解得x=，y=．∴6x+9y=5．故答案为：5．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、三角形外心性质、垂经定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知数列的前项和为，，，,则

。参考答案：16.已知向量，满足（+2）?（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．参考答案：【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件可得求得=1，再由两个向量的夹角公式求出cosθ=，再由θ的范围求出θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵向量，满足（+2）?（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴+﹣2=1+﹣8=﹣6，∴=1．∴cosθ==，再由θ的范围为[0，π]，可得θ=，故答案为．17.已知同一平面上的向量，，，满足如下条件：①；②；③，则的最大值与最小值之差是．参考答案：2考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据②③判断出四边形ABCQ是正方形，并建立坐标系，找出A，B，C及Q的坐标，设出P的坐标，利用向量的坐标运算求出的坐标，由①和向量的模列出关系式，化简后可得到点P的轨迹方程，其轨迹方程为一个圆，找出圆心坐标和半径，根据平面几何知识即可得到|PQ|的最大值及最小值．解答：解：根据②③画出图形如下：并以AB为x轴，以AQ为y轴建立坐标系，∵，∴，则四边形ABCQ是矩形，∵，∴AC⊥BQ，则四边形ABCQ是正方形，则A（0，0），B（2，0），Q（0，2），C（2，2），设P（x，y），∴=（﹣x，﹣y）+（2﹣x，﹣y）=（2﹣2x，﹣2y），∵，∴（2﹣2x）2+4y2=4，化简得（x﹣1）2+y2=1，则点P得轨迹是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，∴|PQ|是点Q（0，2）到圆（x﹣1）2+y2=1任一点的距离，则|PQ|最大值是+1，最小值是﹣1，即的最大值与最小值之差是2，故答案为2．点评：本题题考查了向量的线性运算的几何意义，数量积的性质，以及圆的标准方程和两点间的距离公式，解本题的关键是根据题意正确画出图形，并判断出特征，再建立合适的平面直角坐标系，找出动点P的轨迹方程，难度较大，体现了向量问题、几何问题和代数问题的转化．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合，.(1)求集合A和B；(2)若，求实数a的取值范围.参考答案：(1)答案见解析；(2).分析：（1）解一元二次不等式和绝对值不等式可得集合A,B．（2）由可得然后转化为不等式组求解．详解：（1）由题意得，．（2）∴．∴实数的取值范围为．点睛：解答本题时注意以下两点：（1）注意集合间关系转化，即；（2）已知集合间的包含关系求参数的取值范围时，可借助于数轴将问题转化为关于集合端点值间的不等式组来解，解题时要注意不等式中的等号能否取得．19.（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）+ax，其中a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；（Ⅱ）对任意x2≥ex1＞0，存在x∈（﹣1，+∞），使成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而证明结论即可；（Ⅱ）令，问题转化为，设，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：当a=﹣1时，f（x）=ln（x+1）﹣x（x＞﹣1），则，令f'（x）=0，得x=0．当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．故当x=0时，函数f（x）取得极大值，也为最大值，所以f（x）max=f（0）=0，所以，f（x）≤0，得证．（Ⅱ）不等式，即为．而=．令．故对任意t≥e，存在x∈（﹣1，+∞），使恒成立，所以，设，则，设u（t）=t﹣1﹣lnt，知对于t≥e恒成立，则u（t）=t﹣1﹣lnt为[e，+∞）上的增函数，于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，即对于t≥e恒成立，所以为[e，+∞）上的增函数，所以；设p（x）=﹣f（x）﹣a，即p（x）=﹣ln（x+1）﹣ax﹣a，当a≥0时，p（x）为（0，+∞）上的减函数，且其值域为R，可知符合题意．当a＜0时，，由p'（x）=0可得，由p'（x）＞0得，则p（x）在上为增函数，由p'（x）＜0得，则p（x）在上为减函数，所以．从而由，解得，综上所述，a的取值范围是．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20.（本题满分12分）我校要用三辆校车从本校区把教师接到东校区，已知从本校区到东校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（1）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；（2）在（1）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望．学参考答案：解（Ⅰ）由已知条件得，……2分即，则．

……………………4分（Ⅱ）解：可能的取值为0，1，2，3．

……………5分

；

；；…………9分的分布列为：0123

………10分所以．…………12分21.（本题满分8分）已知椭圆的方程为，右焦点为，直线与圆相切于点，且在轴的右侧，设直线交椭圆于不同两点.（1）若直线的倾斜角为，求直线的方程；（2）求证：.参考答案：（1）设直线的方程为，则有，又切点在轴的右侧，所以，所以直线的方程为（2）因为为直角三角形，所以又得，，又得所以，同理可得所以22.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM?AC+DM?AB．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM?DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM?AC+DM?AB成立．解答： 解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是