MBA统计学时间序列

统计学─从数据到结论第十五章时间序列分析

横截面数据时间序列数据人们对统计数据往往可以根据其特点从两个方面来切入，以简化分析过程。一个是研究所谓横截面(crosssection)数据，也就是对大体上同时，或者和时间无关的不同对象的观测值组成的数据。横截面数据时间序列数据另一个称为时间序列(timeseries)，也就是由对象在不同时间的观测值形成的数据。前面讨论的模型多是和横截面数据有关。这里将讨论时间序列的分析。我们将不讨论更加复杂的包含这两方面的数据。

时间序列和回归时间序列分析也是一种回归。回归分析的目的是建立因变量和自变量之间关系的模型；并且可以用自变量来对因变量进行预测。通常线性回归分析因变量的观测值假定是互相独立并且有同样分布。时间序列和回归而时间序列的最大特点是观测值并不独立。时间序列的一个目的是用变量过去的观测值来预测同一变量的未来值。即时间序列的因变量为变量未来的可能值，而用来预测的自变量中就包含该变量的一系列历史观测值。当然时间序列的自变量也可能包含随着时间度量的独立变量。例tssales.txt下面看一个时间序列的数据例子。这是某企业从1990年1月到2002年12月的销售数据(tssales.txt)。我们希望能够从这个数据找出一些规律，并且建立可以对未来的销售额进行预测的时间序列模型。从该表格中的众多的数据只能够看出个大概；即总的趋势是增长，但有起伏。例tssales.txt利用点图则可以得到对该数据更加直观的印象：某企业从1990年1月到2002年12月的销售数据图（单位：百万元）

例tssales.txt从这个点图可以看出。总的趋势是增长的，但增长并不是单调上升的；有涨有落。但这种升降不是杂乱无章的，和季节或月份的周期有关系。当然，除了增长的趋势和季节影响之外，还有些无规律的随机因素的作用。SPSS的实现:时间序列列数据的的产生SPSS并不会自自动把某某些变量量看成带带有某些些周期的的时间序序列；需需要对该该变量的的观测值值附加上上时间因因素。例数据tasales.sav原本只有有一个变变量sales。这样就就需要附附加带有有周期信信息的时时间。方法是通通过选项项Data－DefineDates，然后在CasesAre选择years,months(年月),并指定第第一个观观测值（（FirstCaseIs）是1990年1月。SPSS的实现:时间序列列数据的的点图对时间序序列点图图可以选选择Graphs－Sequence，对对本例选选择sales为变量量，months为时时间轴的的标记即即可。15.1时时间序列的组组成部分从该例可以看看出，该时间间序列可以有有三部分组成成：趋势(trend)、季节(seasonal)成分和无法用用趋势和季节节模式解释的的随机干扰(disturbance）。例中数据的销销售就就可以以用这三个成成分叠加而成成的模型来描描述。一般的时间序序列还可能有有循环或波动动(Cyclic,orfluctuations)成分；循环模模式和有规律律的季节模式式不同，周期期长短不一定定固定。比如如经济危机周周期，金融危危机周期等等等。时间序列的组组成部分一个时间序列列可能有趋势势、季节、循循环这三个成成分中的某些些或全部再加加上随机成分分。因此，如果要想对一一个时间序列列本身进行较较深入的研究究，把序列的的这些成分分分解出来、或或者把它们过过虑掉则会有有很大的帮助助。时间序列的组组成部分如果要进行预预测，则最好好把模型中的的与趋势、季季节、循环等等成分有关的的参数估计出出来。就例中的时间序列的的分解，通过过计算机统计软件，可以很很轻而易举地地得到该序列列的趋势、季季节和误差成成分。时间序列的组组成部分下图表示了去去掉季节成分分，只有趋势势和误差成分分的序列。时间序列的组组成部分下图用两条曲曲线分别描绘绘了趋势成分分和季节成分分。时间序列的组组成部分下图用两条曲曲线分别描绘绘了趋势成分分和误差成分分。SPSS的实现:时间序列的分分解前面对例tssales.sav数据进行分解解利用SPSS的选项Analyze-TimeSeries-SeasonalDecomposition，然后在Variable(s)(变量)处选择sales，在Model选择Additive(可加模型，也也可以试可乘乘模型Multiplicative)，最后得到四个个附加变量，，它们是：误差（err_1）、季节调整后的的序列（sas_1）、季节因素（saf_1）去掉季节后的的趋势循环因因素（stc_1）。前面图都是利利用Graphs－Sequence选项所做。注意附加变量量的名字根据据前面已经得得到过的附加加变量数目而而调整(按照照性质及顺序序)15.2指指数平滑如果不仅满足足于分解现有有的时间序列列，而想要对对未来进行预预测，就需要要建立模型。。这里先介绍绍比较简单的的指数平滑(exponentialsmoothing)。指数平滑只能用于纯粹粹时间序列的情况，而不不能用于含有有独立变量时时间序列的因因果关系的研研究。15.2指指数平滑指数平滑的原原理为：当利利用过去观测测值的加权平平均来预测未未来的观测值值时（这个过过程称为平滑滑），离得越越近的观测值值要给以更多多的权。而“指数”意味着：依依已有观测值值“老”的程程度，其权数数按指数速度度递减。以简单的没有有趋势和没有有季节成分的的纯粹时间序序列为例，指指数平滑在数数学上是一个个几何级数。。指数平滑这时，如果用用Yt表示在t时间的平滑后后的数据（或或预测值），，而用X1,X2,…,Xt表示原始的时时间序列。那那么指数平滑滑模型为或者，等价地地，这里的系数为为几何级数。。因此称之为为“几何平滑滑”比使人不不解的“指数平滑””似乎更有道理理。指数平滑自然，这种在在简单情况下下导出的公式式（如上面的的公式）无法法应对具有各各种成分的复复杂情况。后面将给出各各种实用的指指数平滑模型型的公式。根据数据，可可以得到这些些模型参数的的估计以及对对未来的预测测。指数平滑在和我们例子子有关的指数数平滑模型中中，需要估计计12个季节节指标和三个个参数（包含含前面公式权权重中的a，和趋势有关关的g，以及和季节节指标有关的的d）。在简单的选项项之后，SPSS通过指指数平滑产生生了对2003年一年的的预测。下图图为原始的时时间序列和预预测的时间序序列（光滑后后的），其中中包括对2003年12个月的预测测。图下面为为误差。我们例中时间间序列数据的的指数平滑和和对未来的预预测SPSS的实现:指数平滑:tssales.sav数据用选项Analyze－－TimeSeries－ExponentialSmoothing，然然后在Variable(s)(变变量)处选择择sales，在Model选择custom(自选模模型)，再点点Custom之后再在在TrendComponent选Exponential(这主主要是因为看看到序列原始始点图趋势不不象直线,其其实选Linear也差差不多;此外外还有Damped(减减幅)选项)在SeasonalComponent选Additive(这是是可加模型，，也可以试选选可乘模型：：Multiplicative，，细节可参看看公式)Continue之后，，再点击Parameters来估估计参数，在在三个有关参参数选项上：：General(Alpha)、、Trend(Gamma)和Seasonal(Delta)可均均选GridSearch（搜寻寻，这是因为为不知道参数数是多少合适适，参数意义义参见后面公公式），然后后Continue。最最后如果要预预测新观测值值，在主对话话框点击Save，在PredictCases中选择择Predictthrough下面的截止止年月（这里里选了2003年12月月）。这样就就可以得到各各种结果了。。SPSS的实现:指数平滑结果中增加的的变量有误差差（err_1）和拟合合（预测）值值fit_1。这在前面面图中绘出。。在SPSS输出文件中中还有那些估估计的参数值值（三个参数数加上季节因因子）。15.3Box-Jenkins方法:ARIMA模型如果要对比较较复杂的纯粹粹时间序列进进行细致的分分析，指数平平滑往往是无无法满足要求求的。而若想对有独独立变量的时时间序列进行行预测，指数数平滑更是无无能为力。需要更加强有有力的模型。。这就是下面面要介绍的Box-JenkinsARIMA模型。数学上，指数数平滑仅仅是是ARIMA模型的特例例。ARIMA模型：AR模型比指数平滑要要有用和精细细得多的模型型是Box-Jenkins引入的ARIMA模型。或称为为整合自回归归移动平均模模型(ARIMA为AutoregressiveIntegratedMovingAverage一些关键字母母的缩写)。该模型的基础础是自回归和和移动平均模模型或ARMA(AutoregressiveandMovingAverage)模型。ARIMA模型：AR模型ARMA由两个特殊模模型发展而成成，一个是自自回归模型或或AR(Autoregressive)模型。假定时时间序列用X1,X2,…,Xt表示，则一个个纯粹的AR(p)模型意味着变变量的一个观观测值由其以以前的p个观测值的线线性组合加上上随机误差项项at（该误差为独独立无关的））而得：这看上去象自自己对自己回回归一样，所所以称为自回回归模型；它它牵涉到过去去p个观测值（相相关的观测值值间隔最多为为p个.ARIMA模型：MA模型ARMA模型型的另一个特特例为移动平平均模型或MA(MovingAverage)模模型，一个纯纯粹的MA(q)模型意味着着变量的一个个观测值由目目前的和先前前的q个随机误差的的线性的组合合：由于右边系数数的和不为1（q甚至不一定是是正数），因因此叫做“移移动平均”不不如叫做“移移动线性组合合”更确切；；虽然行家已已经习惯于叫叫“平均”了了，但初学者者还是因此可可能和初等平平滑方法中的的什么“三点点平均”之类类的术语混淆淆。ARIMA模型：ARMA模模型显然,ARMA(p,q)模型应该为为AR(p)模型和MA(q)模型的组合合了：ARMA(p,0)模型就是AR(p)模型，而ARMA(0,q)模型就是MA(q)模型。这个一一般模型有p+q个参数要估计计，看起来很很繁琐，但利利用计算机软软件则是常规规运算；并不不复杂。ARIMA模型：平稳性性和可逆性但是要想ARMA(p,q)模型有意义则则要求时间序序列满足平稳稳性(stationarity)和可逆性(invertibility)的条件，这意味着序列列均值不随着着时间增加或或减少，序列列的方差不随随时间变化，，另外序列本本身相关的模模式不改变等等。一个实际的时时间序列是否否满足这些条条件是无法在在数学上验证证的，但模型型可以近似地地从后面要介介绍的时间序序列的自相关关函数和偏相相关函数图来来识别。ARIMA模型：差分一般人们所关关注的的有趋趋势和季节/循环成分的的时间序列都都不是平稳的的。这时就需需要对时间序序列进行差分分(difference)来消除除这些使序列列不平稳的成成分，而使其其变成平稳的的时间序列，，并估计ARMA模型，，估计之后再转转变该模型，，使之适应于于差分之前的的序列（这个个过程和差分分相反，所以以称为整合的的(integrated)ARMA模型），，得到的模型型于是称为ARIMA模模型。ARIMA模型：差分差分是什么意意思呢？差分分可以是每一一个观测值减减去其前面的的一个观测值值，即Xt-Xt-1。这样，如果时间序列列有一个斜率率不变的趋势势，经过这样样的差分之后后，该趋势就就会被消除了了。ARIMA模型：差分当然差分也可可以是每一个个观测值减去去其前面任意意间隔的一个个观测值；比比如存在周期期固定为s的季节成分，，那么相隔s的差分为Xt-Xt-s就可以把这种种以s为周期的季节节成分消除。。对于复杂情况况，可能要进进行多次差分分，才能够使使得变换后的的时间序列平平稳。ARMA模型的识别和和估计上面引进了一一些必要的术术语和概念。。下面就如何何识别模型进进行说明。要想拟合ARIMA模型，必须先先把它利用差差分变成ARMA(p,q)模型，并确定定是否平稳，，然后确定参参数p,q。后面将利用一一个例子来说说明如何识别别一个AR(p)模型和参数p。由此MA(q)及ARMA(p,q)模型模型可用用类似的方法法来识别。ARMA模型的识别和和估计根据ARMA(p,q)模型的定义义,它的参数数p,q和自相关函数数(acf，，autocorrelationsfunction)及偏自相相关函数(pacf，partialautocorrelationsfunction)有关关。自相关函数描描述观测值和和前面的观测测值的相关系系数；而偏自相关函函数为在给定定中间观测值值的条件下观观测值和前面面某间隔的观观测值的相关关系数。ARMA模型的识别和和估计这里当然不打打算讨论acf和pacf这两两个概念的细细节。引进这两个个概念主要要是为了能能够了解如何通通过研究关关于这两个个函数的acf和pacf图来识别模模型。例：数据AR1.txt为了直观地地理解上面面的概念，，下面利用用一个数据据例子来描描述。例：数据AR1.txt；拖拖尾和截尾尾先来看该时时间序列的的acf(左左)和pacf图(右)左边的acf条形图图是衰减的的正弦型的的波动；这这种图形称称为拖尾。而右边的的pacf条形图是是在第一个个条(p=1)之后后就很小，，而且没有有什么模式式；这种图图形称为在在在p=1后截尾。这说明该该数据满足足是平稳的的AR(1)模型。。例：数据AR1.txt；拖尾和截尾尾注意，所谓谓拖尾图形形模式也可可能不是正正弦形式，，但以指数数率衰减。。类似地，，如果acf图形是是在第q=k个条后截尾尾，而pacf图形形为拖尾，，则数据满满足MA(q)模型。如如果两个图图形都拖尾尾则可能满满足ARMA(p,q)模型。具具体判别法法总结在下下面表中：：acf和pacf图图如acf和和pacf图中至少少一个不是是以指数形形式或正弦弦形式衰减减，那么说说明该序列列不是平稳稳序列，必必须进行差差分变换来来得到一个个可以估计计参数的满满足ARMA(p,q)模型的序序列。如一个时间间序列的acf和pacf图图没有任何何模式，而而且数值很很小，那么么该序列可可能就是一一些互相独独立的无关关的随机变变量。一个个很好拟合合的时间序序列模型的的残差就应应该有这样样的acf和pacf图。例：数据AR1.txt根据acf和pacf图图的形态，不不用进行任任何差分就就可以直接接用AR(1)模型拟合。。利用SPSS软件，选择择AR(1)模型(等价价地ARIMA(1,0,0)(0,0,0)模型),得得到参数估估计为1=0.86;也就是是说该AR(1)模型为例：数据AR1.txt下图为ar1.sav数据的的原始序列列和由模型型得到的拟拟合值以及及对未来10个观测测的预测图图；看来拟拟合得还不不错。例：数据AR1.txt下面再看剩剩下的残差差序列是否否还有什么么模式。这这还可以由由残差的pacf(左)和acf(右右)图来判断。。可以看出出，它们没没有什么模模式；这说说明拟合比比较成功。。例：数据AR1.txt下图为残差差对拟合值值的散点图图。看不出出任何模式式。说明残残差的确是是独立的和和随机的。。ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型在对含有季季节和趋势势/循环等等成分的时时间序列进进行ARIMA模型型的拟合研研究和预测测时，就不不象对纯粹粹的满足可可解条件的的ARMA模型那么么简单了。。一般的ARIMA模模型有多个个参数，没没有季节成成分的可以以记为ARIMA(p,d,q)，如果没没有必要利利用差分来来消除趋势势或循环成成分时，差差分阶数d=0，模型型为ARIMA(p,0,q)，即ARMA(p,q)。ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型在有已知的的固定周期期s时，模模型多了4个参数，，可记为ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s。这里增加的的除了周期期s已知之之外，还有有描述季节节本身的ARIMA(P,D,Q)的的模型识别别问题。因因此，实际际建模要复复杂得多。。需要经过过反复比较较。用ARIMA模型拟合例例tssales.txt对数据tssales.txt序列列已进行了分解解，并用指指数平滑做做了预测,知有季节节和趋势成成分。要对其进行行ARIMA模型拟拟合，先对对该序列做做acf和和pacf条形图。。其中acf图显然然不是拖尾尾（不是以以指数速率率递减），，因此需要要进行差分分。用ARIMA模型拟合例例tssales.txt关于于参数数，不要选选得过大；；每次拟合合之后要检检查残差的的acf和pacf图，看是否否为无关随随机序列。。在SPSS软件中还有有类似于回回归系数的的检验以及及其他一些些判别标准准的计算机机输出可做做参考（这这里不细说说）。经过几次对对比之后，，对于例16.1数据我们最最后选中了了ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12模型来拟合合。拟合的的结果和对对2003年12个月的预测测在下图中中。例tssales.txt的原始序列列和由模型型得到的拟拟合值及对对未来12个月的预测测图。例：数据tssales.txt为了核对，，当然要画画出残差的的acf和和pacf的条形图图来看是否否还有什么么非随机的的因素存在在。下图为为这两个点点图，看来来我们的模模型选择还还是适当的的。用ARIMA模型拟合带带有独立变变量的时间间序列例：数据tsadds2.txt是一个销售售时间序列列，以每周周七天为一一个季节周周期，除了了销售额序序列sales之外，还有有一个广告告花费的独独立变量adds。先不理睬睬这个独立立变量，把把该序列当当成纯粹时数据tsadds2.txt再首先点出出其acf和pacf条形图图acf图显然不是是拖尾模式式，因此，，必须进行行差分以消消除季节影影响。试验验多次之后后，看上去去ARIMA(2,1,2)(0,1,1)7的结果还可可以接受。。残差的pacf和和acf条条形图在下下一页图中中用ARIMA模型拟合带带有独立变变量的时间间序列继续改进我我们的模型型，再把独独立变量广广告支出加加入模型，，最后得到到的带有独独立变量adds的的ARIMA(2,1,2)(0,1,1)7模型。拟合合后的残差差图在下图图中。用ARIMA模型拟合带带有独立变变量的时间间序列从各种角度度来看拟合合带独立变变量平方的的ARIMA(2,1,2)(0,1,1)7模型给出更更好的结果果。虽然从上面面的acf和pacf图看不不出（一般般也不应该该看出）独独立变量对对序列的自自相关性的的影响，但但是根据另另外的一些些判别准则则，独立变变量的影响响是显著的的;加入独独立变量使使得模型更更加有效。。用ARIMA模型拟合带带有独立变变量的时间间序列要注意，一一些独立变变量的效果果也可能是是满足某些些时间序列列模型的，，也可能会会和季节、、趋势等效效应混杂起起来不易分分辩。这时，模型型选择可能能就比较困困难。也可可能不同模模型会有类类似的效果果。用ARIMA模型拟合带带有独立变变量的时间间序列一个时间序序列在各种种相关的因因素影响下下的模型选选择并不是是一件简单单明了的事事情。实际上没有有任何统计计模型是绝绝对正确的的，它们的的区别在于于，在某种种意义上，，一些模型型的某些性性质可能要要优于另外外一些。SPSS的的实现:ARIMA模型时间序列的的acf和和pacf图：可以以用选项Graphs－TimeSeries－Autocorrelations，然后把变量量选入Variables中中(对于数数据AR1.sav，把时间间序列Z选选入)。在Display中中(默认地地)有选项项Autocorrelations和Partialautocorrelations导致acf和pacf图图。人们还经常常对残差项项绘acf和pacf图。SPSS的的实现:ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型拟合选择Analyze－TimeSeries－ARIMA，然然后把数据据中的时间间序列选入入Dependent(在数数据AR1.sav中,选Z,对数据据tssales.sav时时选sales,而而对数据tsadds2.sav时选选sales),对对于Independent,仅在使使用数据tsadds2.sav时选选了adds。在Model的第一一列为ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型的前三三个参数(p,d,q),第第二列(sp,sd,sq)为ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型的后三三个参数(P,D,Q)。这这样只要选选定我们所所希望尝试试的模型参参数即可。。周期s由于在在定义序列时时已有(见对对话框中注明明的CurrentPeriodicity后面的数字字),不用用另外输入了了.在输出的的变量中有误误差和拟合(预测)的序序列，在输出出中还有各个个参数和一些些判别准则等等。公式：指数平滑模型型这些模型中有有a，g，d，f为待估计参数数，g＝0意味着斜率为为常数（趋势势无变化），，而d＝0意味着没有季季节成分，f和减幅趋势有有关；对于时时间序列Xt，趋势、光滑滑后的序列、、季节因子和和预测的序列列分别用Tt、St、It和表表示；另外，，p表示周期，et为残差指数平滑模型型:线性趋势可加加季节模型（Lineartrend,additiveseasonalitymodel）指数平滑模型型:线性趋势可乘乘季节模型（（Lineartrend,multiplicativeseasonalitymodel）指数平滑模型型:指数趋势可加加季节模型（（Exponentialtrend,additiveseasonalitymodel）指数平滑模型型:指数趋势可乘乘季节模型(Exponentialtrend,multiplicativeseasonalitymodel)指数平滑模型型:减幅趋势可加加季节模型（（Dampedtrend,additiveseasonalitymodel）指数平滑模型型:减幅趋势可乘乘季节模型（（Dampedtrend,multiplicativeseasonalitymodel）ARIMA模型平稳时间序列列满足的条件件：对所有t,E(Zt)=m，而且自协方方差函数gts=cov(Xt,Xs)=E(Xt-m)(Xs-m)。仅仅与差t-s有关，因此可可以记gk=gt,t+k=cov(Xt-m)(Xt-m)。

对于平平稳序列，自自相关函数(acf)定定义为corr(Zt,Zt+k)=gk/g0。偏相关函数数(pacf)定义为corr(Zt,Zt+k|Zt+1,…,Zt+k-1)。函数acf和和pacf的的点图可以用用来帮助识别别平稳过程的的ARMA(p,q)模型。AR(p)和MA(q)模型是ARMA(p,q)模型的特例例，而ARMA(p,q)模型又是ARIMA(p,d,q)的特例（这这里只有趋势势，没有季节节），而ARIMA(p,d,q)又是既有趋趋势又有季节节成分的ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型的特例。。ARIMA模模型:为了便于描述述公式，定义义算子AR(p)模型或者，用等价的算子子符号，MA(q)模型或者，用等价的算子子符号，ARMA(p,q)模型或者，用等价的算子子符号，ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型这里为为类似于ARMA(p,q)模型中的算子子只不过是描述述季节序列的的罢了；它们们定义为9、静夜四四无邻，，荒居旧旧业贫。。。1月-231月-23Wednesday,January4,202310、雨中黄叶叶树，灯下下白头人。。。21:19:3621:19:3621:191/4/20239:19:36PM11、以我独沈久久，愧君相见见频。。1月-2321:19:3621:19Jan-2304-Jan-2312、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。21:19:3621:19:3621:19Wednesday,January4,202313、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。1月-231月-2321:19:3621:19:36January4,202314、他他乡乡生生白白发发，，旧旧国国见见青青山山。。。。04一一月月20239:19:36下下午午21:19:361月月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。。一月239:19下午午1月-2321:19January4,202316、行动出成成果，工作作出财富。。。2023/1/421:19:3621:19:3604January202317、做前前，能能够环环视四四周；；做时时，你你只能能或者者最好好沿着着以脚脚为起起点的的射线线向前前。。。9:19:36下下午9:19下下午午21:19:361月-239、没有失失败，只只有暂时时停止成成功！。。1月-231月-23Wednesday,January4,202310、很多事情努努力了未必有有结果，但是是不努力却什什么改变也没没有。。21:19:3621: