四川省内江市同福中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

四川省内江市同福中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，由的，因此选C.考点：向量数量积2.等差数列中，，，则其前n项和取最大值时等于（

）A．503 B．504 C．503或504 D．504或505参考答案：C3.已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，?的值为（）A．2 B． C． D．3参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，?==．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．4.双曲线（a，b>0）的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为

（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：A略5.若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】RB：一般形式的柯西不等式．【分析】因为（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b2+c2≥2bc即可求出结果．【解答】解：∵ab+ac+bc+2，∴a2+ab+ac+bc=6﹣2（6﹣2）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，所以2a+b+c≥2﹣2，故选D．6.若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值与最小值的差为（）A．3 B．4 C．7 D．10参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求出最小值和最大值，作差得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1）；联立，解得B（1，3）．作出直线x+2y=0，由图可知，当直线x+2y=0分别平移至A和B时，目标函数z=x+2y取得最小值和最大值．最小值为3，最大值为7．∴z=x+2y的最大值与最小值的差为7﹣3=4．故选：B．7.函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知定义在上的函数满足，当时，，若函数至少有个零点，则的取值范围是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.在等差数列中，，，则等于（

）

A.19

B.50

C.100

D.120参考答案：C略10.函数的零点所在的区间是（）A． B．（1，2） C．（2，e） D．（e，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】先判断函数y是定义域上的增函数，再利用根的存在性定理，即可得出结论．【解答】解：∵函数（x＞0），∴y′=+1+＞0，∴函数y=lnx+x﹣﹣2在定义域（0，+∞）上是单调增函数；又x=2时，y=ln2+2﹣﹣2=ln2﹣＜0，x=e时，y=lne+e﹣﹣2=+e﹣﹣2＞0，因此函数的零点在（2，e）内．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集为 .参考答案：【知识点】绝对值的意义，绝对值不等式的解法，【答案解析】解析：解：表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离之和，而数轴上满足的点的坐标为-3和2，故不等式的解集为，故答案为．【思路点拨】利用绝对值的意义，表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离之和，而数轴上满足的点的坐标为-3和2，从而得出结论．12.已知数列{an}的前n项的和Sn满足log2（Sn+1）=n，则an=．参考答案：2n﹣1【考点】数列的求和；数列递推式．

【专题】计算题．【分析】根据log2（Sn+1）=n，可得Sn的公式，进而代入an=Sn﹣Sn﹣1中即可求得an【解答】解：由log2（Sn+1）=n得Sn+1=2n，∴Sn=2n﹣1，∴a1=S1=2﹣1=1，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1；∴an=2n﹣1．2n﹣1；【点评】本题主要考查数列的求和问题．属基础题．13.点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是．参考答案：[﹣，0]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1，计算?=x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点A（1，0，0），C1（0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1；∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），=（﹣x，1﹣y，0），∴?=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0=x2﹣x+y2﹣y=+﹣，由二次函数的性质可得，当x=y=时，?取得最小值为﹣；当x=0或1，且y=0或1时，?取得最大值为0，则?的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．14.设函数f（x）=，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为．参考答案：2【考点】函数的零点；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f（x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．【解答】解：∵函数，当x≤0时y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）当0＜x≤1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1当x＞1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1则log2x=2，x=4故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个故答案为：215.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是

.参考答案：略16.如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则λ+μ=．参考答案：考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：，，可得．由E为线段AO的中点，可得，再利用平面向量基本定理即可得出．解答：解：∵，，∴，∵E为线段AO的中点，∴，∴，2μ=，解得μ=，∴λ+μ=．故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.设是定义在上的函数，给定下列三个条件：（1）是偶函数；（2）的图象关于直线对称；（3）为的一个周期．如果将上面（1）、（2）、（3）中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有

个．参考答案：答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，。（1）讨论函数的单调性；

（2）若，设，（ⅰ）求证g（x）为单调递增函数；（ⅱ）求证对任意x，x，xx，有。参考答案：略19.在中，角对的边分别为，已知．（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）若，求面积的最大值．

参考答案：（1）（2）解析：（1）………（2分）.

………（6分）（2）………（8分）………（10分）当且仅当时,的面积取到最大值为.

………（12分）.

略20.已知点P在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2，且?=2，tan∠OPF2=，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点M（﹣1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若=2，求直线l的方程；（3）作直线l1与椭圆D：+=1交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（﹣2，0），若点G（0，t）是线段ST垂直平分线上一点，且满足?=4，求实数t的值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出PF2⊥OF2，设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，由，，求出，再由点P在椭圆，求出a2=4，b2=2，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1），由N（0，k），Q（x1，y1），，能求出直线l的方程．（Ⅲ）由题意知椭圆D：，设直线l1的方程为y=k（x+2），把它代入椭圆D的方程得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，利用韦达定理能求出满足条件的实数t的值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，在△OPF2中，PF2⊥OF2，由，得：，设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，∵，∴，又，，解得：，∴点P的坐标为，…∵点P在椭圆C：上，∴，又a2﹣b2=c2=2，解得：a2=4，b2=2，∴椭圆C的方程为．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的方程为，由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，则其方程为y=k（x+1），N（0，k），设Q（x1，y1），∵，∴（x1，y1﹣k）=2（﹣1﹣x1，﹣y1），∴，…又∵Q是椭圆C上的一点，∴，解得k=±4，∴直线l的方程为4x﹣y+4=0或4x+y+4=0．…（Ⅲ）由题意知椭圆D：，由S（﹣2，0），设T（x1，y1），根据题意可知直线l1的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2），把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，由韦达定理得，则，y1=k（x1+2）=，所以线段ST的中点坐标为，，（1）当k=0时，则有T（2，0），线段ST垂直平分线为y轴，∴，由，解得：．…（2）当k≠0时，则线段ST垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x+），∵点G（0，t）是线段ST垂直平分线的一点，令x=0，得：，∴，由，解得：，代入，解得：，综上，满足条件的实数t的值为或．…21.(本小题满分12分)已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设，其中R，求在区间[l，3]上的最小值；(3)若对于任意的a[1,2]，关于x的不等式在区间[1，3]上恒成立，求实数b的取值范围.参考答案：22.设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1，记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，求函数h（x）=x2f（x）+x[f（x）]2的最大值．参考答案：考点：函数的最值及其几何意义；不等式的证明．专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或②．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求；（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，h（x）=﹣（x﹣）2，显然它小于或