新高考二轮复习真题源导数专题讲义第25讲 同构法解零点问题与恒成立问题（解析版）

第25讲同构法解零点问题与恒成立问题1．已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围【解答】解：方法一：由可得，设，，，则，令，在单调递减，在单调递增，故（1）．①当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增，（1），此时在区间内无零点；②当时，（1），此时在区间内有零点；③当时，令，解得或1或，且，此时在单减，，单增，单减，，单增，当或时，，此时在区间内有两个零点；综合①②③知在区间内有零点．方法二：由题意可得，即，因为当时等号成立，所以，即，，令，，易知在单减，在上单增，所以（1），又趋近于0和正无穷时，趋近于正无穷，所以．2．已知函数，（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间．（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分．①若恒成立，求的取值范围；②若仅有两个零点，求的取值范围．【解答】解：（1）函数，则的定义域为，且，因为在处取得极值，所以，即，解得；此时，所以在上单调递增，则当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）若选①：因为恒成立，则恒成立，整理可得恒成立，即恒成立，令，则恒成立，因为恒成立，则为单调递增函数，所以恒成立，即恒成立，令，，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以在处取得极大值，即最大值，故，解得，所以的取值范围为，；若选②：因为仅有两个零点，即在上有两个根，整理可得，即，令，则，因为恒成立，则为单调递增函数，所以，即在上有两个根，令，，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以在处取得极大值，即最大值，要想在上有两个根，只需，解得，所以的取值范围为．3．已知．（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．【解答】解：（1），，，所以，当时，，所以在，单调递增，又因为，所以在，上无零点；当时，，使得，所以在，单调递减，在单调递增，又因为，，所以若，即时，在，上无零点，若，即时，在，上有一个零点，当时，，在，上单调递减，在，上无零点，综上当时，在，上有一个零点；（2）由，即，即，则有，令，，则，，所以函数在上递增，所以，则有，即，，因为关于的方程有两个不同的实数解，则方程，有两个不同的实数解，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以（1），当时，，当时，，所以．4．已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围．【解答】解析：（1）当时，，，，显然在单调递增，且，当时，，单调递减；当时，，单调递增．在处取得极小值，无极大值．（2）函数有两个零点，即有两个解，即有两个解，设，则，单调递增，有两个解，即有两个解．令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．，，当时，．5．已知函数．（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；（2）若函数在定义域内没有零点，求的取值范围．【解答】解：（1）因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，由，，可得，由于，则在上恒成立，令，，故在上单调递增，所以只需即可，，所以，所以的取值范围是，．（2）的定义域为，，令，，当时，单调递增，，，，，故存在，使得，即，即①，两边取对数得②，而在上单调递减，在，上单调递增，故，故，将①②代入上式得，化简得，因为，当且仅当，即时取等号，所以，故，即的取值范围是．6．已知函数．（1）选择下列两个条件之一：①；②；判断在区间是否存在极小值点，并说明理由；（2）已知，设函数．若在区间上存在零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）若选①：，则函数，所以，，因为单调递增，且（1），所以在上单调递减，上单调递增，则（1），故在上单调递增，所以不存在极小值点；若选②：，则，所以，，由单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，故，又（4），所以存在极小值点．（2）令，则，又，所以，令，故有解，设，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，又（1），所以有唯一的零点，若在区间上存在零点，即在上有解，整理可得，令，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，故（1），所以，解得，所以的取值范围为，．7.若对任意，恒有，求实数的最小值解析，令，则，，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在单调递增．则，令，则当时，，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减所以，所以，所以实数的最小值为．8.已知函数，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围解析，令，则，所以函数为上的增函数．则原命题又等价于．由于，所以，即得．9.对任意，不等式恒成立，求实数的最小值解析．设，则，所以函数在上单调递增所以由，得，即恒成立．令，则，当时，，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减所以，所以实数的最小值为．易得，所以实数的最小值