2022年度湖北省武汉市板桥中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022年度湖北省武汉市板桥中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列{an}中，若，则的值为（

）A.24 B.36 C.48 D.60参考答案：C【分析】先设等差数列的公差为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，由等差数列的性质得，所以.故选C【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的通项公式与性质即可，属于基础题型.

2.从1，2，3，4这四个数中依次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，可有种方法，其中一个数是另一个数的两倍的只有1，2；2，4．两种选法．利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，可有种方法，其中一个数是另一个数的两倍的只有1，2；2，4这两种选法．∴其中一个数是另一个数的两倍的概率P==．故选：B．3.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为--------------------------------------------------(

)A、0.6小时

B、0.9小时

C、1.0小时

D、1.5小时参考答案：B略4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，由此求出该几何体的外接球的半径，即可求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为等腰直角三角形，高为的三棱锥；且该几何体的外接球球心在侧视图高上，如图所示；设球心为O，半径为r，则+1，可得r=．∴所以V==．故选：D5.利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A． B．+C．﹣ D．+﹣参考答案：D【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．6.已知函数根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是（

）A.+

B.

C.1

D.0参考答案：D7.下图是计算函数y＝的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是()A．y＝ln(－x)，y＝0，y＝2xB．y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0C．y＝0，y＝2x，y＝ln(－x)D．y＝0，y＝ln(－x)，y＝2x参考答案：B无8.已知向量的形状为（

）A.直角三角形 B.等腰三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形参考答案：D9.若，，均为单位向量，则=（，）是++=（，）的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】均为单位向量，若，=（，）不成立；若=（，）可推得，由此可得．【解答】解：均为单位向量，，若，，则=（，）不成立；若均为单位向量，=（，）可推得所以“”是“”的必要不充分条件，故选B10.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若则此抛物线的方程为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量满足约束条件，则目标函数＝2+4的最大值为

.参考答案：1312.直线2cosα·x－y－1=0,α∈[,π]的倾斜角θ的取值范围是

参考答案：13.若，则实数k的值为________．参考答案：－1略14.函数的极值点为x=__________．参考答案：1【分析】求出导函数，并求出导函数的零点，研究零点两侧的符号，由此可得．【详解】，由得，函数定义域是，当时，，当时，．∴是函数的极小值点．故答案为1．【点睛】本题考查函数的极值，一般我们可先，然后求出的零点，再研究零点两侧的正负，从而可确定是极大值点还是极小值点．15.己知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是

．参考答案：【考点】MD：平面的法向量．【分析】设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），可得，即可得出平面ABC的一个单位法向量=．【解答】解：=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，即，取=（1，1，1）．则平面ABC的一个单位法向量==．故答案为：．16.在展开式中，的系数为

。参考答案：17.线段AB的两端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=5，点M是线段AB上一点，且|AM|=2，点M随线段AB的运动而变化，则点M的轨迹方程为________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若存在常数，使得数列满足对一切恒成立，则称为“可控数列”.(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“可控数列”？并说明理由；(2)若是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)若“可控数列”的首项为2，，求不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)参考答案：(1)解：，.故为“可控数列”.

……………………(4分)(2)解：假设存在常数满足题意.由是单调递减的“可控数列”，得.

……(5分)累加，得.………(8分)当时，，不合题意.……………(9分)当时，，.…(11分)令，得.故的值为.

……………………(14分)(3)解：的不同取值个数是2018，最大值为2019.……(18分)(各2分)19.（本题满分12分）已知函数，且.(1)若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；(2)当时，求函数的最小值.参考答案：（1）由题知,解得a=1

所以实数a的值为1.

……….4分（2）设，则只需求a>0时，函数的最小值.易求得函数在上单调递增，在上单调递减.

当函数在[0,1]上为减函数，函数的最小值为当函数的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值，函数的最小值为综上所述，

………….12分20.（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．（Ⅰ）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（Ⅱ）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与

SB所成角的大小；（Ⅲ）求点D到平面SBC的距离．

参考答案：（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，又在Rt△SDB中，．……1分以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，．

…………2分设平面SBC的法向量为，则，，∵，，∴，∴可取…4分∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量．

……………5分∴，∴面ASD与面BSC所成二面角的大小为45°．……6分（Ⅱ）∵，∴，，又∵，∴DM⊥SB，

∴异面直线DM与SB所成角的大小为90°．

………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量为，∵，∴在上的射影为，∴点D到平面SBC的距离为．………12分略21.已知点，，，直线相交于点，且它们的斜率之积为．（1）求动点的轨迹方程；（2）试判断以为直径的圆与圆=4的位置关系，并说明理由；（3）直线与椭圆的另一个交点为，求面积的最大值（为坐标原点）．参考答案：解：（1）设，由已知得化简得，所以点的轨迹方程为.--------------------3分（2）解法1：设点的中点为，则，ks*5@u，即以为直径的圆的圆心为，半径为，又圆的圆心为O（0，0），半径，，故，即两圆内切.

------------------7分解法2：由椭圆的定义得圆心距所以以为直径的圆与圆=4内切.

（3）解法1：若直线的斜率不存在，则，解得，，；若直线的斜率存在,设直线的方程为，由得，设，，，原点到直线的距离，所以ks*5@u设则，则有，.综上所述，的最大值为.

------------------12分解法2：设直线的方程为.由得，设，，，设则，则有，当，即，时