材料力学(I)第三章

第三章扭转§3-1

概述§3-2

纯剪切.薄壁圆筒的扭转§3-3

圆轴扭转时的应力§3-4

圆轴扭转时的变形1§3-1

概述变形特点：

Ⅰ.相邻横截面绕杆的轴线相对转动；

Ⅱ.杆表面的纵向线变成螺旋线；

Ⅲ.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。第三章扭转薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转。MeMe2圆轴扭转变形第三章扭转3本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。第三章扭转4传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图Ⅰ.传动轴的外力偶矩当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a。第三章扭转5因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：第三章扭转6主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。第三章扭转7Ⅱ.扭矩及扭矩图传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。第三章扭转TMeMeTT=MeMeMe118扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。第三章扭转T(+)T(-)9

例题

一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。第三章扭转10解：1.

计算作用在各轮上的外力偶矩第三章扭转112.

计算各段的扭矩BC段内：AD段内：CA段内：(负)第三章扭转注意这个扭矩是假定为负的123.

作扭矩图由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kN·m。第三章扭转13思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？第三章扭转14第三章扭转15.94.786.374.7815§3-2纯剪切薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒——通常指的圆筒当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩——扭矩(torque)第三章扭转mmTMelMemmMedr0Od16薄壁圆筒的扭转第三章扭转17

Ⅰ.

薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律第三章扭转

推论：(1)横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如同刚性平面一样；(2)相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。MeADBCMejg18横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的切应力(shearingstress)，且圆周上所有点处的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。第三章扭转Memmxr0tdA19Ⅱ.

薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：由根据应力分布可知引进，上式亦可写作，于是有第三章扭转Memmxr0tdA20Ⅲ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear)(1)上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变量称为切应变(shearingstrain)。(2)该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角。(3)在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是不沿壁厚变化的，故有，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。第三章扭转MeADBCMejgl21薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T)与相对扭转角j成线性正比例关系，从而可知t与g亦成线性正比关系：这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量(shearmodulus)。

钢材的切变模量的约值为：G=80GPa第三章扭转MeADBCMejg22以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体。可得：Ⅱ.单元体·切应力互等定理由单元体的平衡条件∑Fx=0和∑Mz=0知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力t'dxdz并组成其矩为(t'dxdz)dy

力偶。第三章扭转由23即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t和t

数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线——切应力互等定理。第三章扭转24§3-4

等直圆杆扭转时的应力·强度条件Ⅰ.横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(问题的物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)第三章扭转251.表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度g

。平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。(1)几何方面第三章扭转262.

横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：即第三章扭转bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrrEAO1Ddj

D'G'GO2d/2dxgrgr27式中——相对扭转角j沿杆长的变化率，常用j'

来表示，对于给定的横截面为常量。可见，在横截面的同一半径r的圆周上各点处的切应变gr

均相同；gr

与r成正比，且发生在与半径垂直的平面内。第三章扭转bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr28(2)物理方面由剪切胡克定律t=Gg

知第三章扭转可见，在横截面的同一半径r的圆周上各点处的切应力tr

均相同，其值

与r成正比，其方向垂直于半径。29(3)静力学方面其中称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式以代入上式得：第三章扭转30式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。横截面周边上各点处(r=r)的最大切应力为第三章扭转31实心圆截面：圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp第三章扭转32空心圆截面：第三章扭转33Ⅳ.

强度条件此处[t]为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。第三章扭转34

例题

图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料的许用切应力[t]=80MPa。试校核该轴的强度。第三章扭转35BC段内AB段内解：1.绘扭矩图

2.求每段轴的横截面上的最大切应力第三章扭转363.校核强度需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。

t2,max>t1,max，但有t2,max<[t]=80MPa，故该轴满足强度条件。第三章扭转37§3-4

等直圆杆扭转时的变形·刚度条件Ⅰ.扭转时的变形等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)j来度量。第三章扭转MeADBCMejg38当等直圆杆相距l的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为可知，杆的相距l的两横截面之间的相对扭转角j为第三章扭转39Ⅱ.刚度条件式中的许可单位长度扭转角[j']的常用单位是(°)/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴[j']≈0.15~0.30(°)/m；对于一般的传动轴[j']≈2

(°)/m。第三章扭转40解:1.按强度条件求所需外直径D

例题由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a=0.5。已知材料的许用切应力[t]=40MPa，切变模量G=80GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax

=9.