2022年山东省烟台市莱州土山中学高三数学理联考试题含解析

2022年山东省烟台市莱州土山中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC中，∠C=90°，CB=CA=3，△ABC所在平面内一点M满足：=+，则?=(

)A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．3参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】根据条件便可得出，由便可得到，这样进行数量积的计算便可求出．【解答】解：如图，根据条件知，△ABC为等腰直角三角形，；∴，；∴===5﹣4﹣2=﹣1．故选：A．【点评】考查直角三角形边的关系，向量减法的几何意义，向量的数乘运算、数量积的运算，以及数量积的计算公式．2.某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为（

）A．50元 B．60元 C．70元 D．100元参考答案：C3.函数在区间内可找到个不同数，使得，则的最大值等于（）9

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12命题意图:考查三角函数图像、周期性、数形结合、直线斜率等知识，稍难题.

参考答案：B4.已知函数满足对任意成立，则a的取值范围是（

）

A． B． C． D．参考答案：A略5.在实数范围内，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是（

）A． B． C． D．参考答案：D∵，∴，∴，因为，，所以为不等式成立的一个充分而不必要的条件，选D．6.设,,㏒,若，则，，的大小关系是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.已知命题p:"x∈R，cosx≤1，则(

).A.?p：$x0∈R，cosx0≥1

B.?p："x∈R，cosx≥1

C.?p：$x0∈R，cosx0＞1

D.?p："x∈R，cosx＞1参考答案：C8.设，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C9.设方程的两个根为、，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（）A.7 B.6 C.5 D.4参考答案：C【分析】由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ω的最小值．【详解】∵将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称，∴，Z，则ω的最小值为5，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若，则

.参考答案：，12.若等比数列满足，则

.参考答案：因为，所以。13.名优秀学生全部保送到所大学去，每所大学至少去一名，则不同的保送方案有

种（用数字作答）参考答案：．把四名学生分成组有种方法，再把三组学生分配到三所大学有种，故共有种方法14.如图：若框图所给程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是参考答案：？略15.设，则二项式的展开式中含有的项的系数为

__参考答案：16.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_____后池水中药品的浓度达到最大。参考答案：【分析】本题直观从题面看的话是一个函数应用问题，但本质上只是一个均值不等式的应用问题，经典的一次比二次的代数式最值求解，这种最值求解也经常在解析几何中的最值问题中出现。当然，本题也可以理解为对勾函数的问题，但对勾函数的最值求解也可以用均值不等式求解。本题如果选择求导找最值同样可以，但是难度较大，不建议。【解】方法一：利用导数研究函数单调性，其关系式，求导可得，当时，，函数递增，当，，函数递减，可知，当时，函数取最大值，故填.方法二：对于解析式，当时取得最值，此时，故填.17.已知与之间的部分对应关系如下表：1112131415……则和可能满足的一个关系式是

．参考答案：（不唯一）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）

选修4—4；坐标系与参数方程 平面直角坐标系xoy中，点A（2，0）在曲线C1：上．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：. （1）求曲线C2的普通方程； （2）已知点M，N的极坐标分别为（），（），若点M，N都在曲线C1上，求的值。参考答案：略19.（13分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），点P是椭圆C上异于A，B的动点，过点B作椭圆C的切线l，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2c时，|AF|=|DF|．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明你的结论．参考答案：【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）依题可知A（﹣a，0）、，通过|AF|=|FD|化简得a=2c，结合a2=3+c2得a2=4，进而可得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），设直线AP的方程为y=k（x+2），（k≠0）．设点P的坐标为（x0，y0），联立，结合韦达定理及点F（1，0），分、两种情况讨论即可．解：（Ⅰ）依题可知A（﹣a，0）、，由|AF|=|FD|，得，化简得a=2c，由a2=3+c2得a2=4，故所求椭圆C的方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），在点B处的切线方程为x=2．结论：以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可知直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为y=k（x+2），（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．联立，得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0．设点P的坐标为（x0，y0），由韦达定理：．所以，．因为点F坐标为（1，0），分情况讨论：（1）当时，点P的坐标为，直线PF的方程为x=1，点D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y?1）2=1与直线PF相切；（2）当时，直线PF的斜率．所以直线PF的方程为，即．故点E到直线PF的距离d===|2k|；综上所述，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．【点评】：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到中点坐标公式、韦达定理、点到直线的距离公式等知识，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．20.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；(Ⅱ)设P(2，0)，过椭圆E左焦点F的直线l交E于A、B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．参考答案：(Ⅰ)依题意，a＝b，c＝1，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆E的标准方程为.(4分)(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2，21.（本题满分13分）一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为.(Ⅰ)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，求恰有两次编号为3的倍数的概率；

（Ⅱ）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列和的数学期望.参考答案：（I）从袋中随机抽取1个球，其编号为3的倍数的概率（2分）有放回的抽取3次，恰有2次编号为3的倍数的概率为

（6分）（II）随机变量所有可能的取值为.（7分），

，，所以，随机变量的分布列为:

（11分）

（13分）22.（本题12分）已知函数的最大值为0，其中。（1）求的值；（2）若对任意，有成立，求实数的最大值；（3）证明：参考答案：（1）f(x)定义域为（-a,+∞）,由=0，得x=1-a>-a.…1分当x变化时，，f(x)变化情况如下x(-a,1-a)

1-a(1-a,+∞)+0