计量方法与误差理论CH4课件

第二部分误差理论与数据处理第四章经典误差理论——本章要点随机误差的数字特征和精度指标1非等精度测量2系统误差和粗大误差3误差合成与分配4第1节随机误差的性质和特点多次测量，残差呈现出的规律残差对称性单峰性抵偿性有界性一、随机误差的基本特点正负误差概率基本相等小误差出现概率大正负误差可相互抵消误差不会超过一定界线第1节随机误差的性质和特点三、正态分布及特性

测量数据的概率密度函数：真值随机误差的概率密度函数：误差正态分布只能看作随机误差分布律的极限情况，若决定误差的因素有限，可能服从非正态分布。第1节随机误差的性质和特点正态分布曲线在处很特殊：拐点！内，曲线向下弯曲；外，曲线向上弯曲；第1节随机误差的性质和特点更一般的求解公式：拉普拉斯函数（或称概率积分）式中，说明了什么？我们可以有68.27%的把握认为测量值的误差不超出0.6827第1节随机误差的性质和特点例：测量某基准电压U0=10V，多次测量时的标准差为0.020V，若某次测量的结果为10.016V，问对该次测试结果有多大的把握性？若要对测试数据有99%的可信度，问测量数据应该落在哪个范围内？第1节随机误差的性质和特点

P=0.95()，一般精密测量，应用广泛；

P=0.9973()，用于较重要的科研工作和精密仪器；

P=0.9999()，用于个别对可靠性要求特别高的科研和精密测量工作；第2节随机误差的数字特性一、随机变量的数字特征描述随机变量分布特征的数值：随机变量的数字特征（理想化）数学期望：位置特征方差：分散性指标标准差随机变量关于其数学期望的偏离程度比其他任何值的偏离程度都小。如果x是测量值，那么Ex就是该被测量值最可信赖的值（或称概然值）数字特征如何估计？第2节随机误差的数字特性三、标准偏差及其估计（标准差或方均根误差）例：两组测量值平均值都是20.0000，但是第II组更分散衡量的指标：标准差第2节随机误差的数字特性1、标准差的估计——贝赛尔公式第2节随机误差的数字特性贝赛尔公式即贝赛尔公式估算条件：测量次数n比较大就是的无偏估计第2节随机误差的数字特性第2节随机误差的数字特性贝塞尔公式和别捷尔斯公式均需要求，再求，复杂！第2节随机误差的数字特性2）极差法ω

n＝xmax

-xmin根据极差得分布函数，可以求出数学期望：dn可查表得到，与测量次数有关：测量的次数越多，ωn大的概率高，故dn应大。极差法可简单迅速算出标准差，n<10时适用。第2节随机误差的数字特性3)最大误差法查表真值未知时第2节随机误差的数字特性例：表1为例n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44第2节随机误差的数字特性3、四种计算方法的优缺点

②别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍；③用极差法计算σ，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n<10时可用来计算σ，此时计算精度高于贝氏公式；④用最大误差法计算σ更为简捷，容易掌握，当n<10时可用最大误差法，计算精度大多高于贝氏公式，尤其是对于破坏性实验(n=1)只能应用最大误差法。①贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；

第3节单次测量结果的精度指标2、的含义标准差σ是表征随机误差很重要的一个特征量，可用于描述测量列中各个测得值的误差。因标准差σ甚为重要，需进一步理解它的含义和对测量的作用。例如：对某一量测试100次，得到测量值标准差估计值可作为表征测量列中每一个测得值误差的参数第3节单次测量的精度指标单次测量是总体中的一次抽样，目前各国多采用以下精度指标：1.标准差2.平均误差含义：测得值的误差不超过的置信概率为57.62%第3节单次测量的精度指标3.几率误差（概差、或然误差）如何求？与几率误差相应的置信概率为50％4.极限误差；误差所能达到的极限值，置信度99.73%ρ值的确定：测量误差落在±ρ之内和之外的概率相等第4节多次测量结果的精度指标随机变量（一个测量列）对于m个测量列而言，每个测量列的均值都是一个随机变量，如何计算算数平均值的标准差？一、算数平均值的分布特性与标准差第4节多次测量结果的精度指标随机变量的取值（多组测量列）第4节多次测量结果的精度指标多次测量的算数平均值的标准差：即用作为测量结果比用单次测量结果精度提高了倍！第4节多次测量结果的精度指标增加测量次数，可以提高测量精度，但测量精度是与n的平方根成反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。由图可知,σ一定时，当n>10以后，的减小很慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。多次测量的算数平均值的标准差：第4节多次测量结果的精度指标例：

用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08。求算术平均值及其标准差。解：第4节多次测量结果的精度指标二、算数平均值的置信度1.一般表达式一般写成几倍于标准差的形式两种求解方法！这是一般的式子，和正态分布无联系即置信概率等号成立的条件：测量次数n较多时，此时可认为服从正态分布第4节多次测量结果的精度指标2.测量次数n较多时（通常n>20）拉普拉斯函数求解法！第4节多次测量结果的精度指标例：测量某量值25次，得。若要求置信概率，，求测量结果。0.950.002mm查表t=1.96误差限：测量结果：第4节多次测量结果的精度指标3.测量次数n较少时——t分布求解当测量次数n较少时：——不服从正态分布，而是服从自由度n-1的t分布(伽玛函数)t分布数字特征：第4节多次测量结果的精度指标当自由度趋向于无穷大时，t分布就是标准的正态分布。实际上在测量次数足够大（n>20）,可以近似用正态分布代替。第4节多次测量结果的精度指标利用t分布求解置信度的方法(测量次数较少时)：第4节多次测量结果的精度指标例：测量某量值5次，得。若要求置信概率，，求测量结果。0.050.005mm查t分布表ta=2.78误差限：测量结果：说明第4节多次测量结果的精度指标

t分布在数理统计中称为小子样分布。在精密测量中，测量次数很少有超过20次的，因此，在理论上应按t分布来计算相应的误差限；只有在测量次数较多（n>20）的情况时，或其测量量不甚重要时，才可近似应用正态分布的理论来处理。

事实上，当n无限增大时，t分布曲线和正态分布曲线基本重合，即按两个分布理论来处理测量数据，所得的结果差异是极小的。第4节多次测量结果的精度指标三、算数平均值的精度指标（常用的有4个）1、标准差：2、平均误差T：3、几率误差R：4、极限误差：估计的精度问题第5节非等精度测量一、什么是非等精度测量测量条件（人员、方法、测量次数、环境条件等）部分或者全部改变，导致测量的精度和可信赖程度不一样。这种测量称为非等精度测量。客观上，由于条件限制，所有的测量都是非等精度测量。但是条件差别不大的测量，一般都当成等精度处理。等精度测量特点：具有同一标准差随机变量的取值第5节非等精度测量1、多组重复测量，仅测量次数不一样；思考：单次测量精度是否一样？多次测量精度是否一样？2、多组重复测量，改变不同组之间单次测量的精度（更一般情形）；思考：单次测量精度是否一样？多次测量精度是否一样？第5节非等精度测量在一些重要的测量中，往往有意要采用非等精度测量以获取更精确的测量结果。通常有两种情况：（1）用不同的测量次数进行对比测量：（2）用不同精度的仪器进行对比测量：互比核对目的。如何确定不等精度测量的最终结果？第5节非等精度测量用三种方法测量某未知频率如下求被测频率的数值。第5节非等精度测量二、“权”的概念和加权平均1.“权”的概念——“权”可以理解为各组测量结果相对的可信赖程度，测量结果越可靠，其“权”越大，即可靠性越大的测量结果在最后结果中所占的比重越大。例：对于两组重复测量，第5节非等精度测量2.“权”的确定（权与方差的关系）显然：方差越大，测量结果越不可靠，权应该越小。以多组重复测量为例，测量次数决定权值，即第5节非等精度测量权与方差成反比！权表示相对可靠程度，是一个无量纲的数，允许给各组的权数同时增大或者减小若干倍，而比例关系不变。以上推导为单次测量精度相等情况，如何得到更一般的情形？第5节非等精度测量3.加权平均（一般情况下的推导）设则这些误差同时出现的概率为：利用最大似然估计法：等价于仅一个测量列每次精度不同第5节非等精度测量对EX进行微分，并令其等于0：第5节非等精度测量更一般的加权平均表达式：对于多组重复测量亦有上述结论：第5节非等精度测量例：用三种方法测量某未知频率如下求被测频率的数值。解：精度如何？第5节非等精度测量三、加权平均的精度参数1.根据测量数据的标准差求解（一般情况）（误差合成原理）第5节非等精度测量例：用普通仪表和高精度仪表测电压如下求被测量电压的数值及精度（均方差）。解：若单次测量精度未知时如何处理？第5节非等精度测量2.根据“权”求解（不知单次测量精度时）（问题：转化成单次测量精度相同）假设进行m组测量，各组测量次数为单次测量权为1第5节非等精度测量（1）单位权概念假设进行m组测量，各组测量次数为P=1单位权注：这里的单位权考虑的单次精度相同，仅测量次数不同的情况。（组内等精度，组间非等精度）第5节非等精度测量

定义：值为1的权称为单位权，具有同一方差的等精度单次测得值的权数为1。即为具有单位权的测得值方差。

思考：如何根据单位权求加权平均值精度？单位化权值！第5节非等精度测量（2）单位化权单位化权的实质：任何一个测量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值的权数为1证明：令：取方差：单位权化以后得到的新值的权数为1！可使不等精度测量列转化为等精度测量列！第5节非等精度测量（3）根据权值求加权平均值的标准差已知各组测量结果的残差：将各组单位权化：第5节非等精度测量总结：加权平均的精度参数（一般情况，常用于组内不等精度）（已知权值情况，常用于组间不等精度）第5节非等精度测量例：工作基准米尺长度鉴定：

999.9425mm（3次测量）

999.9416mm（2次测量）

999.9419mm（5次测量）求测量结果及其精度？第6节随机误差的其他分布一、评定非正态分布随机误差的方法（4个特征量）1.理论均值和标准偏差和正态分布的计算方法一样第6节随机误差的其他分布2.相对分布系数K分布范围（误差极限）为：相对分布系数：评定实际分布曲线相对于正态分布曲线的差异程度。（t为实际分布在极限处的置信系数）第6节随机误差的其他分布3.相对不对称系数实际曲线的不对称程度：第6节随机误差的其他分布二、均匀分布数字表征：例：

•仪器最小分辨率误差（在分辨率范围内出现的所有测量值实际上是以不同的值等概率出现在分辨力范围内的任意位置上）•仪器表盘刻度误差所产生的误差;•平衡指示器调零不准产生的误差;•测量数据四舍五入的舍入误差。第6节随机误差的其他分布三、三角形分布(辛普生分布,simpson)

概率论证明：当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和时,其结果服从三角分布。例：•多次测量过程时，数据凑整的误差；•用代替法检定标准电阻、多次校零不准所引起的误差；第6节随机误差的其他分布四、反正弦分布随机误差与某一角度成正弦关系，即：例子：•电子测量中谐振的振幅误差；•微波测量中由传输线、元器件或系统失配引起的不确定度•齿轮传动机构中，主动齿轮的偏心方向往往在内呈均匀分布，则从动轮的位移误差服从反正弦分布。第6节随机误差的其他分布五、偏心分布(瑞利分布,rayleigh)当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。（射击中枪弹与靶心的偏心误差分布；雷达杂波包络分布）第6节随机误差的其他分布1、概率密度函数：为随机变量在直角坐标x与y方向上分量的标准偏差第6节随机误差的其他分布2、极限误差：积分变换通常可认为5.25σ即为偏心误差的分布范围。第6节随机误差的其他分布故：极限误差相对不对称系数：相对分布系数：练习：测量电压20次，得均值5V，单次测量时的为0.1V，求测量值置信概率为50%的置信区间。第7节系统误差

一、系统误差产生原因计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差等。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。①测量装置方面的因素②环境方面的因素③

测量方法的因素④

测量人员的因素第7节系统误差

二、系统误差的分类和特征1、定值系统误差在同一条件下，多次测量同一测量值时，误差的绝对值和正负符号保持不变。如测长仪读数装置的调零误差、量块或其它标准件尺寸的偏差、示波器偏转系统及示波管边缘效应等，均为恒定系统误差。第7节系统误差

2、变值系统误差变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，可分为三种：

①线性系差（累进系差）：在整个测量过程中，随某因素而线性递增或递减的系统误差。如温度线性变化引起的误差。第7节系统误差

②周期系差：在整个测量过程中，随某因素作周期变化的系统误差。如齿轮转动引起的正弦误差。

③复杂系差：在整个测量过程中，随某因素变化，误差按确定的更为复杂的规律变化，称其为复杂规律变化的系统误差。第7节系统误差

三、系统误差对测量结果的影响1、定值系差的影响第7节系统误差

2、变值系差的影响第7节系统误差

定值系差：不影响随机误差分布曲线的形状及分布范围，只引起分布密度函数的位置变化（平移）。变值系差：不仅使随机误差的分布密度曲线平移，同时也改变了曲线的形状和分布范围。结论：第7节系统误差

四、系统误差的发现1、定值系差的发现（由于不影响残差，无法从测量原始数据自身判定）（1）对比检定法（校准法）改变测量条件进行测量，一般换更精密的仪器，求出两次测量的算术平均值之差，即为定值系差。第7节系统误差

（2）均值与标准差比较法改变测量次数或仪器第7节系统误差

如果测量次数足够多，服从正态分布时：服从正态分布第7节系统误差

第7节系统误差

如果测量次数较少，用两样本t检验法进行检验（3）t分布检验法见《概率论与数理统计》，北京:人民教育出版社，1979第7节系统误差

2、变值系差的发现两种基本方法：观察残差的变化或者检验是否服从已知的规律（1）马林科夫判据——前后分组核算残差法（线性系差）

按先后顺序将测量数据分两组，前一半和后一半的残差分别求和，然后求其差值。如果不存在累进性系差，该差值应近似为0；否则，可能比较大。不适于检验周期性系差。第7节系统误差

第7节系统误差

如果测量服从正态分布，则：阿贝判据为：计算时以残差代替真差：可以证明：修正：阿贝—赫梅特判据（2）阿贝-赫梅特准则（周期系差）第7节系统误差

（3）标准偏差不同公式检算法（类型不能确定）第7节系统误差

第7节系统误差

六、系统误差的减小和消除主要途径：1、从测量方法上消除；2、测量数据的处理，掌握系差的大小，引入修正值。第7节系统误差

1、定值系差消除A、替代法对被测量进行一次测量，使仪器上得到某一状态（如指针指示零位，显示某一示值）。然后在相同的测量条件下，以标准量代替被测量，调整标准量值的大小，尽量使仪器达到与被测量相同的状态，此时的标准量就等于被测量。如：用电桥测电阻，用标准可变电阻代替被测量。第7节系统误差

B、交换法在一次测量后，将某些测量条件交换一下，再进行一次测量。

抵消法或反向补偿法就属于一种交换法，即先在有定值系差状态下进行一次测量，再在该定值系差相反的状态下进行第二次测量。两次测量的平均值使定值系差完全被抵消。补偿计量法和调换计量法第7节系统误差

C、零示法将待测量与标准的已知量比较，当二者作用相等时，测量装置的指示器读数为零。它可以消除指示器不准所造成的系统误差。例：用零示法测电压第7节系统误差

实际测量中标准量不一定是连续可调的，这时只要标准量与被测量的差别较小，那么它们的作用相互抵消的结果也会使指示仪表的误差对测量的影响大大减弱。（利用微差法可以达到很高的精度，即使测量精度不高。）D、微差法第7节系统误差

仪表误差被大大的缩小了误差关系第7节系统误差

例：用微差法对标称值Ex=9V的电池进行测量，标准稳压源Es=9V，相对误差±0.2％；指示电压表A的相对误差±5％，当电压表A指示值为+0.1V时，问该电池电压为多少？测量误差多大？本例说明，用误差为5％的电压表进行测量，可得0.3%的测量精确度。第7节系统误差

2、线性系差消除线性误差一般多随时间呈线性变化，因此将测量顺序对某一时刻对称地进行测量，再通过计算，可达到消除线性系差的目的。第7节系统误差

周期性系差一般出现在由圆周运动的情况下，多呈现正弦形式。因此，在相距180度的两个位置上做两次测量，取两次读数平均值，即可有效的消除周期性系差。3、周期性系差消除对于系差周期：所有时刻的测量值可写成：再经T/2时刻可得到两式相加即可消除系差可得第7节系统误差

第8节粗大误差

粗大误差：疏忽误差、过失误差。不能不知原因不加分析就轻易舍弃测量列中最大或最小的数据。对怀疑是粗大误差而又不明原因的数据，应按照统计学方法进行判别。第8节粗大误差

1.莱特准则——3σ准则最常用、最简单判别粗大误差的准则（有资料推荐n>50次）具体剔除办法：先计算，然后计算每次测量的残差剔除完后，重新按准则计算，直至没有数据剔除为止。若，则剔除 第8节粗大误差

2.肖维勒（chauvenet）准则以随机误差服从正态分布为前提，思路与莱特准则相似。若残差，则剔除该数据。肖维勒准则规定了一种确定的方法:显著度:第8节粗大误差

与莱特准则的区别：置信度与测量次数相关。数据量越大，判据越严格！将的误差中的最大一个剔除。重新计算，再次用肖维勒准则判断，直至全部符合判据。注意：肖维勒准则以大数据量为前提，n<10时，不适宜采用。莱特准则和肖维勒准则都是基于这个前提，n较小时都不可靠。第8节粗大误差

3.格罗布斯（grubbs）准则如果样本观测值中存在异常数据，它一定是最大值或最小值。将测量数据从小到大顺序排序（x(1)最小，x(n)最大）。构造异常值的检验统计量，通常可按照描述样本极值与样本主体之间的差异的原则来进行。第8节粗大误差

第8节粗大误差

4.罗曼诺夫斯基准则——t检验准则

当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围剔除粗大误差。先剔除一个可疑的测量值xj，然后按t分布检验是否含粗大误差。根据测量次数n和选取的显著度α，查t分布检验系数若，则剔除正确！如狄克松等其他准则，这些方法都是人为主观拟定，没有统一规定，都是以随机误差服从正态分布为前提，否则，可靠性受影响5.其他方法第8节粗大误差

第8节粗大误差

第8节粗大误差

(3)按格罗布斯准则（grubbs）按测得值大小排列：则：首先怀疑x(1)可能含有粗大误差：查表得：由于：因此第8个测量值含有粗大误差，应剔除余下的14个数据做同样的处理，直至没有粗大误差的数据。第8节粗大误差

第9节误差合成与分配

问题的提出：

误差？合成：间接测量如何得到结果的误差？分配：已知测量结果误差，如何分配单项误差？电压测量误差(如1.0级精度)电流测量误差(如0.5级精度)测量误差的合成间接计量——频标对比中的比相法测量频率第9节误差合成与分配

一、误差的合成间接测量为各直接测量参数取全微分：误差较小时：误差传递公式（绝对误差形式）误差传递系数1、误差传递公式第9节误差合成与分配

由于：误差传递公式（相对误差形式）两端同除以y：第9节误差合成与分配

当测量函数为和、差关系，求总和绝对误差比较方便。当测量函数为积、商、开方、乘方关系时，求总和相对误差比较方便。第9节误差合成与分配

例1：例2：第9节误差合成与分配

系统误差分类按误差出现规律按对误差掌握程度定值系统误差变值系统误差已定系统误差：未定系统误差：线性系差周期系差复杂系差误差绝对值和符号已经确定误差绝对值和符号未能确定，但可估计出误差范围上述讲解的合成类型合成复杂、难以计算，修正或消除一般按随机误差合成方法二、系统误差的合成第9节误差合成与分配

合成方法：（1）定值系差：（2）变值系差：不是常数，合成复杂，难以计算对于未定系差：通常按随机误差的合成方法。第9节误差合成与分配

三、随机误差的合成随机误差通常用标准差σ或极限误差δlim来表示，随机误差的合成主要是在一定测量条件下的标准差或极限误差的合成。换成第9节误差合成与分配

1、随机误差传递公式对xi多次重复测量n次：纵向归纳可得(根据误差传递公式)：第9节误差合成与分配

将以上各式一一平方后得：第9节误差合成与分配

将各式相加后再除以n得：第9节误差合成与分配

第9节误差合成与分配

由于相关系数为：代入上式：相关系数ρ反映了各随机误差分量相互间的关联对函数总误差的影响若n适当大，且各测量值的随机误差相互独立时，相关系数ρij为零，则独立测量的合成误差为：第9节误差合成与分配

随机误差传递公式：（ρ=0）（ρ≠0）第9节误差合成与分配

2、随机误差的合成方法标准差合成极限误差合成随机误差的合成形式包括：第9节误差合成与分配

A、标准差合成

q个单项随机误差，标准差

误差传递系数

由间接测量的显函数模型求得根据实际经验给出知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和第9节误差合成与分配

B、极限误差合成单项极限误差:

单项随机误差的标准差单项极限误差的置信系数合成极限误差:

合成标准差合成极限误差的置信系数合成极限误差计算公式单项极限误差第9节误差合成与分配

应用极限误差合成公式时，应注意：根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成各个置信系数、

不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同第9节误差合成与分配

当各个单项随机误差均服从正态分布、各项误差相互独立时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式时：此时第9节误差合成与分配

例1：，三个测量量相互独立，求结果的随机误差重复30次测量，重复8次测量，两个测量量独立。例2：求置信概率95%时的t分布正态分布第9节误差合成与分配

代入下式求解：项数q较小，且第2项误差不服从正态分布。故计算k时按t分布计算第9节误差合成与分配

3、误差间的相关关系和相关系数（1）误差间的线性相关关系误差间的线性关系是指它们具有线性依赖关系，这种依赖关系有强有弱，强弱关系由相关系数决定。正相关，一误差增大，另一误差的取值也增大负相关完全正相关完全负相关完全不相关第9节误差合成与分配

观察法：用多次测量的对应值（xi,xj）作图（2）相关系数的确定第9节误差合成与分配

b)简单计算法（点阵计算法）：（点数太少时不精确）（点数左右均分）点数上下均分第9节误差合成与分配

c)直接计算法：第9节误差合成与分配

四、系统误差与随机误差的合成不同性质的多项系统误差与随机误差的综合问题1、按标准差合成（只考虑未定系统误差和随机误差）设s个未定系统误差项，q个随机误差，误差的传递系数均为1，各误差之间互不相关，则测量结果总的标准差第i项未定系统误差的标准差第j项随机误差的标准差若n次重复测量，需除以次数n第9节误差合成与分配

2、按极限误差合成r个单项已定系统误差，误差值为s个单项未定系统误差，极限误差为q个单项随机误差，极限误差为若各误差传递函数均为1，且互不相关则：合成后总极限误差的置信系数各单项极限误差的置信系数第9节误差合成与分配

若各测量值是采用多次重复测量获得，合成中的随机误差项应除以n，而未定系统误差不具有此特点：第9节误差合成与分配

例：用TC328B型天平，3个标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量M＝14.004g，分析测量结果的标准差。解：测量结果的主要误差分析如下：1、随机误差

天平示值变动性（如读数不准）所引起的误差，通过多次重复测量同一球的质量，用贝赛尔公式可计算σ1

（假设为0.05mg）；2、未定系统误差

标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差。计算如下：

第9节误差合成与分配

①砝码误差:天平称量时所用的标准砝码有三