D122数项级数及审敛法40137

会计学1D122数项级数及审敛法40137都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨第1页/共31页(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数第2页/共31页例1.

讨论p

级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p

级数发散.发散,第3页/共31页因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知

p

级数收敛.时,2)若第4页/共31页调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切第5页/共31页证明级数发散.证:

因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.第6页/共31页定理3.

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

证:

据极限定义,设两正项级数满足(1)当0<l<∞

时,第7页/共31页由定理

2

可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2知收敛,若第8页/共31页是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;2)特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.注:1)un,vn均为无穷小时,l

的值反映了它们不同阶的比较.第9页/共31页的敛散性.

～例3.

判别级数的敛散性.

解:

根据比较审敛法的极限形式知例4.

判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～第10页/共31页定理4

.

比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知第11页/共31页因此所以级数发散.时(2)当说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.从而第12页/共31页例5.

讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;第13页/共31页对任意给定的正数*定理5.

根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项则证明提示:

即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.级数,且第14页/共31页时,级数可能收敛也可能发散.例如

,p–

级数说明:但级数收敛;级数发散.第15页/共31页例6.

证明级数收敛于S,似代替和S

时所产生的误差.解:

由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn

近第16页/共31页二、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6

.(Leibnitz

判别法)

若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足第17页/共31页证:

是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故第18页/共31页收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛第19页/共31页三、绝对收敛与条件收敛

定义:

对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛

.则称原级第20页/共31页定理7.

绝对收敛的级数一定收敛.证:

设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令第21页/共31页例7.

证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.第22页/共31页(2)令因此收敛,绝对收敛.小结第23页/共31页其和分别为*四、绝对收敛级数的性质

*定理8.

绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.(P263定理9)(证明见P263～P266)*定理9.

(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为(P265定理10)说明:绝对收敛级数有类似有限项和的性质,

但条件收敛级数不具有这两条性质.绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.第24页/共31页内容小结2.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限第25页/共31页3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛第26页/共31页思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.第27页/共31页

作业

P2661(1),(3),(5);

2(2),(3),(4);

*3(1),(2);

4(1),(3),(5),(6);

5(2),(3),(5)第三节第28页/共31页备用题1.

判别级数的敛散性:解:

(1)发散,故原级数发散