CG二维图形观察和变换

会计学1CG二维图形观察和变换平移是指：将物体沿直线路径从一个坐标位置到另一个坐标位置重定位。给原始坐标位置(x,y)加上平移距离tx和ty来实现到新位置(x1,y1)的移动：x1

=x+tx，y1

=y+ty。(tx,ty)称为平移向量或转换向量。平移的矩阵方程：P1

=P+TT=(tx,ty)T,P=(x,y)T,P1=(x1,y1)T

基本几何变换：平移☆图形几何变换●基本几何变换

◘平移变换

◘平移变换特性

◘旋转变换

◘旋转变换特性

◘缩放变换

◘缩放变换特性●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

PP1T第2页/共27页第1页/共27页平移的特性平移是不产生变形而移动物体的刚体变换，物体上的每个点移动相同的坐标。直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上；多边形的平移是将平移向量加到每个顶点的坐标；曲线可用同样方法来平移：为了改变圆或椭圆的位置，可以平移中心坐标并在新中心位置重画图形；通过替代定义曲线的坐标位置，而后用平移过的坐标点来重构曲线路径来实现其它曲线的平移。TT☆图形几何变换●基本几何变换

◘平移变换

◘平移变换特性

◘旋转变换

◘旋转变换特性

◘缩放变换

◘缩放变换特性●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第3页/共27页第2页/共27页二维旋转是将物体沿xy平面内的圆弧路径重定位。指定物体旋转的旋转点(或基准点)的位置(xr,yr)和旋转角θ(逆时针旋转时旋转角为正)。或：描述为绕通过基准点、垂直于xy平面的旋转轴旋转。当基准点为坐标原点时，变换方程：x1=xcosθ-ysinθ,y1=xsinθ+ycosθ。方程的列向量矩阵为：P1=R·P

旋转矩阵为：基本几何变换：旋转变换也可表示为行坐标向量矩阵：

P1T=(R·P)Ｔ＝PＴ·RＴ。旋转矩阵R的转置RＴ可通过交换行和列而得到；旋转矩阵R的置换则可简单地改变sin项符号而得到。☆图形几何变换●基本几何变换

◘平移变换

◘平移变换特性

◘旋转变换

◘旋转变换特性

◘缩放变换

◘缩放变换特性●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第4页/共27页第3页/共27页旋转变换的特性点绕任意基准位置旋转的变换方程：

x1=xr+(x-xr)cosθ-(y-yr)sinθ

y1=yr+(x-xr)sinθ+(y-yr)cosθ这个通用旋转方程不同于绕原点旋转方程之处在于:包括一个加项(平移项)以及坐标值上的多重系数。旋转也是一种不变形地移动物体的刚体变换，物体上的所有点旋转相同的角度：直线段旋转是将每个线端点；多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角；曲线的旋转则是旋转控制取样点。(xr,yr)☆图形几何变换●基本几何变换

◘平移变换

◘平移变换特性

◘旋转变换

◘旋转变换特性

◘缩放变换

◘缩放变换特性●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第5页/共27页第4页/共27页基本几何变换：缩放缩放变换改变物体的尺寸。该操作施加于多边形。通过将每个顶点坐标值(x,y)乘以缩放系数sx和sy，产生变换的坐标(x1,y1)：x1=x·sx，y1＝y·sy。缩放系数sx在x方向对物体缩放，sy在y方向缩放。相对于原点的缩放矩阵形式：P1＝S·P

缩放矩阵：缩放系数sx和sy可赋予任何正数。小于1缩小物体的尺寸；大于1则放大物体；当sx和sy值相同时，产生一致缩放；sx和sy值不等时产生差值缩放。用缩放方程变换的物体既被缩放，又被重定位。当缩放系数值大于1时则将坐标位置远离原点。XYP1P2相对原点的一致缩放☆图形几何变换●基本几何变换

◘平移变换

◘平移变换特性

◘旋转变换

◘旋转变换特性

◘缩放变换

◘缩放变换特性●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第6页/共27页第5页/共27页缩放变换的特性可选择一个在缩放变换后不改变位置的点(固定点)来控制缩放物体的位置。固定点的坐标(xf,yf)可以选择顶点之一、物体中点或任何其它位置。多边形通过缩放每个顶点到固定点的距离而相对于固定点缩放。坐标为(x,y)的顶点缩放后坐标(x1,y1)为：x1=x·sx+xf(1-sx)；y1=y·sy+yf(1-sy)；其中：加法项xf(1-sx)和yf(1-sy)对物体中的任何点都是常数。可此常数项的列向量，而后将这个列向量加到相对原点缩放方程中的乘积S·P上。多边形的缩放可将变换应用于每个顶点。其它物体变换则将缩放变换方程加到定义物体的参数。☆图形几何变换●基本几何变换

◘平移变换

◘平移变换特性

◘旋转变换

◘旋转变换特性

◘缩放变换

◘缩放变换特性●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第7页/共27页第6页/共27页变换的矩阵表示每个基本变换都可表示为普通矩阵形式：P1＝M1·P＋M2。坐标位置P1和P表示为列向量；矩阵M1是一包含乘法系数的2×2矩阵；M2是包含平移项的两元素列矩阵。对平移，M1是单位矩阵；对旋转或缩放，M2包含与基准点或固定点相关的平移项。利用这个方程产生先缩放再旋转后平移的变换顺序，必须每次一步地计算变换的坐标。☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示

◘齐次坐标表示

◘变换矩阵表示

◘复合变换

◘变换模式●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第8页/共27页第7页/共27页几何变换的齐次坐标更有效的方法是将变换组合，使最后的坐标位置直接从初始坐标得到，消除中间坐标值的计算。这就需消除M2中与平移项相关的矩阵加法。扩充坐标的齐次坐标矩阵表示可将变换过程表示为矩阵乘法。齐次坐标表示法就是用n+1维表示n维。对二维变换：可用齐次坐标三元组(xh,yh,h)来表示每个笛卡尔坐标位置(x,y)。其中：x=xh/h，y=yh/h，也可写为(h·x,h·y,h)。齐次参数h可取为任何非零值，每个坐标点(x,y)可有无数个等价齐次表达。最方便的选择是设置h=1。即：每个二维位置都可用齐次坐标(x,y,1)来表示。参数h的其它值也是需要的。☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示

◘齐次坐标表示

◘变换矩阵表示

◘复合变换

◘变换模式●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第9页/共27页第8页/共27页变换的齐次坐标矩阵表示在齐次坐标中所表示的位置允许将所有几何变换方程表示为矩阵乘法：坐标可表示为三元素列向量，变换写成3×3矩阵。绕坐标原点的旋转变换可写为：P1=R(θ)·P，R(θ)是旋转矩阵；当θ用-θ替换时就得到其逆矩阵。相对于坐标原点的缩放变换表示为：P1=S(sx,sy)·P，S(sx,sy)是缩放矩阵；用倒数1/sx和1/sy代替sx和sy就产生其逆矩阵。平移矩阵旋转矩阵缩放矩阵平移变换可表示为：P1=T(tx,ty)·P，T(tx,ty)为平移矩阵。平移矩阵的逆矩阵：用平移参数tx,ty的负值-tx,-ty来代替原值。☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示

◘齐次坐标表示

◘变换矩阵表示

◘复合变换

◘变换模式●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第10页/共27页第9页/共27页复合变换矩阵的合并或复合：利用矩阵表示，通过计算单个变换矩阵的乘积，将任意顺序变换的矩阵建立为复合变换矩阵。对于坐标位置的列矩阵表示，以从右向左的次序进行矩阵乘而形成复合变换，来计算一系列变换的结果。即：每个随后的变换矩阵左乘前面的变换矩阵。复合平移：P1＝{T(txn,tyn)·……·T(tx2,ty2)·T(tx1,ty1)}·P复合旋转：P1＝{R(θn)·……·R(θ2)·R(θ1)}·P复合缩放：P1＝{S(sxn,syn)·……·S(sx2,sy2)·S(sx1,sy1)}·P复合变换：先缩放后平移再旋转：

P1＝{R(θn)·T(txn,tyn)·S(sxn,syn)}·P注意：矩阵乘法不满足交换率：M1•M2≠M2•M1，所以变换的结果和变换执行的顺序有关。

只有在两个变换类型相同，或两者分别是一致缩放与旋转变换时，两者可以交换。☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示

◘齐次坐标表示

◘变换矩阵表示

◘复合变换

◘变换模式●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第11页/共27页第10页/共27页变换模式固定坐标系变换模式连续变换的变换矩阵合成时，先调用的变换放在连乘式的右边，后调用的变换放在连乘式的左边。特点：在连续执行几次变换时，每一次变换均可看成是相对于原始（固定）坐标系进行。最后的结果描述是在原始坐标系(全局)中的坐标位置。活动坐标系变换模式连续变换的变换矩阵的合成时，先调用的变换放在连乘式的左边，后调用的变换放在连乘式的右边。特点：在连续执行几次变换时，每一次变换均可看成是在前一次变换形成的新的坐标系中进行。最后的结果描述是在最后形成的坐标系(局部)中的坐标位置。

不同的应用要求有不同的变换模式。☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示

◘齐次坐标表示

◘变换矩阵表示

◘复合变换

◘变换模式●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第12页/共27页第11页/共27页其它变换：对称(反射)变换反射(对称)变换是产生物体的镜像的一种变换。相对反射(对称)轴的一维反射镜像是通过将物体绕反射(对称)轴旋转180度而生成的。在xy平面内或垂直于xy平面选择反射轴：反射轴是在xy平面内的一条线时，绕这个轴的旋转路径在垂直于xy平面的平面中；垂直于xy平面的反射(对称)轴，旋转路径在xy平面内。关于原点反射关于x轴反射关于y轴反射☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示●其它变换表示

◘反射变换

◘任意反射变换

◘错切变换

◘仿射变换☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第13页/共27页第12页/共27页任意对称(反射)变换关于xy平面内任意线y=mx+b的反射可用平移-旋转-反射变换的组合来完成：①平移反射轴使其经过原点；②将反射轴旋转到坐标轴之一上，且进行关于坐标轴反射；③利用逆旋转和平移变换将线置回原处。关于坐标轴或坐标原点的反射可处理为缩放系数为负值的缩放变换。反射矩阵的元素也可设置为±1以外的其它值：大于1的值将镜像移至远离反射轴；小于1的值将镜像接近反射轴。y=mx+b平移旋转反射逆旋转逆平移☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示●其它变换表示

◘反射变换

◘任意反射变换

◘错切变换

◘仿射变换☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第14页/共27页第13页/共27页其它变换：错切变换错切会使物体形状发生变化的变换，经过错切的物体好象是由已经相互滑动的内部夹层组成。常用错切变换有两种：改变x坐标值和改变y坐标值。相对x轴的x方向错切将坐标位置转换成：x1＝x+shx·y，y1＝y。坐标位置(x,y)水平地移动一个与它到x轴距离(y值)成shx比例的量；shx为负，坐标位置向左移动。相对于其它参考线x方向错切的坐标位置被变换为：x1＝x+shx(y-yref)，y1＝y相对于线x=xref的y方向错切生成变换的坐标位置为：x1=x，y1=shy(x-xref)+y这种变换由正比于从参考线x=xref到其距离的量垂直地改变坐标位置。错切操作可表示为基本变换的序列。☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示●其它变换表示

◘反射变换

◘任意反射变换

◘错切变换

◘仿射变换☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第15页/共27页第14页/共27页其它变换：仿射变换形式为：x′=axxx+axyy+bxy′=ayxx+ayyy+by的坐标变换称二维仿射(affinetransformation)变换。变换坐标x′和y′都是原始坐标x和y的线性函数；参数aij和bk是由变换类型确定的常数。平移、旋转、缩放、反射和错切是二维仿射变换的特例；任何常用的二维仿射变换总可表示为这五种变换的组合。从一个参照系统坐标描述到另一个系统的转换是另一种仿射变换，可描述为平移和旋转组合；仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度以及平行线。对这三种变换，变换前后两直线间的角度和长度相同。☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示●其它变换表示

◘反射变换

◘任意反射变换

◘错切变换

◘仿射变换☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第16页/共27页第15页/共27页二维观察图形软件包允许指定图形中要显示的部分及在显示器显示的位置。世界坐标系中要显示的区域(通常在观察坐标系内定义)称窗口。窗口映射到显示器(设备)上的区域称为视区。窗口定义显示什么；视区定义在何处显示。标准的窗口和视区一般都是矩形，其它形状处理起来要复杂得多。窗口Y世界X世界世界坐标系Y设备视区X设备设备坐标系ymaxyminxmaxxmin视区定义☆图形几何变换●基本几何变换●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第17页/共27页第16页/共27页二维观察：观察流程在世界坐标系中构造图形或场景：利用输出原语和图形属性，使用建模坐标变换。在世界坐标平面中设置二维的观察坐标系，将世界坐标系下的描述变换到观察坐标系。在观察坐标系下定义视区窗口：视区窗口通常定义成单位正方形，以保证观察和变换独立于输出设备。改变视区窗口的位置可以在输出设备的显示区的不同位置观察物体；也可以通过改变视区窗口的尺寸来改变显示对象的尺寸和位置。将观察坐标系下的场景描述映射到规范坐标系的视区。在规范化坐标系下进行视区图形裁剪：裁剪掉视区外的图形部分，并将视区内图形转换到设备坐标系。☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程

◘观察流程示意●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第18页/共27页第17页/共27页MCWCVCNVCDC二维观察流程示意使用建模坐标变换构造世界坐标场景将世界坐标场景描述转换为观察坐标系使用视区-窗口描述将观察坐标映射到规范化坐标将规范化视区映射到设备坐标系视区xmaxxminyminymax设备坐标系窗口X观察Y观察X世界Y世界世界坐标系输出设备窗口到视区的映射观察坐标系的定义视区窗口的定义☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程

◘观察流程示意●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

第19页/共27页第18页/共27页二维观察：观察坐标系观察参考坐标系用来任意设置世界坐标系矩形窗口的方向。首先，选择在世界坐标系xwyw某个位置作为观察坐标系的原点：P0=(x0,y0)；窗口xwywxvyvy0x0UV然后，建立参考系坐标轴的方向：将一个世界坐标系的矢量V作为观察坐标系yv轴方向，矢量V称为观察向量。按右手规则或指定U作为观察坐标系xv轴方向。按给定V，分别计算在观察坐标轴yv和xv上的单位向量V=(vx,vy)和U=(ux,uy)。P0☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程

●观察坐标系

◘观察坐标变换●视区定义●二维观察变换

第20页/共27页第19页/共27页观察坐标系变换从世界坐标系位置变换到观察坐标系的矩阵由两个变换矩阵合成：首先，观察坐标系原点移动到世界坐标系原点；然后，绕原点旋转使两坐标系重合。窗口X世界Y世界X观察Y观察y0x0窗口X世界Y世界X观察Y观察X世界Y世界窗口X观察Y观察平移旋转☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程

●观察坐标系

◘观察坐标变换●视区定义●二维观察变换

第21页/共27页第20页/共27页二维观察：视区的定义二维图形的视图通过指定整个图形区域中的一个子区域来获得：可以仅显示一个区域，也可同时显示几个区域，或显示场景的动态扫描序列；所选区域中的图形映射到设备坐标系的区域中。选择多个观察区时，这些区域分别放在不同的显示位置，或将某些区域插入另外的大区域中。窗口Y世界X世界世界坐标系Y设备视区X设备设备坐标系ymaxyminxmaxxmin视区定义☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程

●观察坐标系●视区定义

◘视区的功用●二维观察变换

第22页/共27页第21页/共27页视区的功用改变视区的位置，可在输出设备显示区的不同位置观察物体。改变视区的尺寸，可改变显示对象的尺寸和位置：如果将不同尺寸的窗口连续映射到尺寸不变的视区中，可得到缩放的效果；当窗口越变越小时，可以放大场景中的某一部分，从而观察在较大的窗口时未显示出的细节；同样，通过从一个场景部分开始连续地放大的窗口，可以得到逐步放大的场景；将固定尺寸的窗口移过场景中不同对象，产生扫描或摇景的效果。视区Y设备X设备ymaxyminxmaxxmin☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程

●观察坐标系●视区定义

◘视区的功用●二维观察变换

第23页/共27页第22页/共27页二维观察：窗口到视区变换世界坐标系中分区域映射到设备坐标系的操作称观察变换包括：平移、旋转、缩放及删除显示区域以外的图形部分。有时，二维观察变换简单地称为窗口到视区的变换或窗口变换。实际上，观察不仅仅是从窗口到视区的变换。观察变换通过保持对象在规范化坐标空间中和在观察坐标系中有同样相对位置的变换来实现。(连贯性)xwmaxxwminywminywmax(xw,yw)xvmaxxvminyvminyvmax(xv,yv)不同坐标系中的两点具有相同的相对位置。满足下列条件：☆图形几何变换●基本几何变换

●变换矩阵表示●其它变换表示☆二维图形观察●二维观察流程

●观察坐标系●视区定义●二维观察变换

◘窗口视区变换

◘窗视变换推导

◘工作站变换

◘工作站变换示意第24页/共27页第23页/共27页窗口到视区变换推导窗口内的点(xw,yw)映射到对应视区的点