C02轴向拉伸和压缩

会计学1C02轴向拉伸和压缩3.许用应力为保证构件有足够的强度，在载荷作用下构件的实际应力s(以后称为工作应力)应低于极限应力，但仅仅限制在极限应力的范围内是不够的。在强度计算中，通常以大于1的因数除极限应力，所得结果称为许用应力，用[s]来表示。对于塑性材料对于脆性材料式中大于1的因数ns、ns或n称为安全系数。2.7强度条件·安全因数·许用应力第1页/共89页安全因数由于一般所指的塑性材料和脆性材料,其划分界线的依据不够确切,因此以材料的屈服极限与抗拉强度之比ss/sb为依据来选取极限应力和安全系数。比值ss/sb称为屈强比。对屈强比较低的材料,以屈服极限作为极限应力,其安全系数ns也较低一些,例如在静载荷作用下的一般零部件,轧件和锻件的安全系数取ns＝1.2～2.2,铸件取nb＝1.6～2.5。对屈强比较高的材料,例如高强度钢,由于其屈服点已接近于抗拉强度,则取作为极限应力,其安全系数nb也较高一些。例如一般情况下钢材取nb＝2.0～2.5；铸件取nb＝4。对脆性材料,取nb＝2.0～3.5。第2页/共89页安全系数的选取。关系到构件的安全和经济,两者是矛盾的。应适当处理,将两者合理地统一起来。片面地将任一方面强调到不适当的程度,都是错误的。若片面地强调安全,采用过大的安全系数,就会造成构件的尺寸过大,这不仅浪费材料,而且会使设计出的机器或结构物粗笨。若不适当地强调经济,采用过小的安全系数,就会使构件尺寸过小,而不能保证构件的安全耐用,甚至造成事故。这都不符合设计要求。安全系数也不是固定不变的,随着我国工业技术的飞速发展,设计能力、工艺水平、材料产品质量的不断提高,以及人们对客观事物的进一步认识,安全系数将会取得较小。安全因数第3页/共89页至于确定安全因数应考虑的因素,一般有以下几点：(1)材料的素质,包括材料的均匀程度,质地好坏,是塑性的还是脆性的等。(2)载荷情况,包括对载荷的估计是否准确,是静载荷还是动载荷等。(3)实际构件简化过程和计算方法的精确程度。(4)零件在设备中的重要性,工作条件,损坏后造成后果的严重程度,制造和修配的难易程度等。(5)对减轻设备自重和提高设备机动性的要求。安全因数第4页/共89页把许用应力[s]作为构件工作应力的最高限度，即要求工作应力s不超过许用应力[s]。于是得构件轴向拉伸或压缩时的强度条件为4.强度条件5.强度计算的三类问题①强度校核②截面没计③确定许可载荷2.7强度条件·安全因数·许用应力第5页/共89页例:

图示三铰屋架的主要尺寸如图所示。它所承受的竖向均布载荷沿水平方向的集度为q＝4.2kN/m,屋架的钢拉杆直径d＝16mm,许用应力[s]＝170MPa,试校核拉杆的强度。q1.42m0.4m螺栓钢拉杆8.5m9.3m解:(1)作计算简图。由于两屋面板之间和拉杆与屋面板之间的接头不坚固,故把屋架的接头看作铰接,得屋架的计算简图如图所示。8.5mqABC9.3m第6页/共89页(2)求轴力。qABCFAxFAyFBqACFAxFAyFNFCyFCx4.25m4.65m第7页/共89页(3)求拉杆横截面上的应力(4)强度校核满足强度条件,故钢拉杆在强度方面是安全的。第8页/共89页例3起重三脚架如图所示。木杆AB的许用应力[1]=12MPa，AC为钢杆，许用应力[2]=160MPa

，求结构的最大荷载P。解：取节点A分析，受力如图钢杆设计:80∟20x4PBCA30º木杆设计:PAFNABFNAC第9页/共89页例4：刚性杆ACB用圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力P＝25kN，已知CD杆的直径d＝20mm，许用应力[]＝160MPa，试校核CD杆的强度，并求：（1）结构的许可荷载[P]；（2）若P＝50kN，设计CD杆的直径。2aaPABDC解：求CD杆受力PABCFNFAyFAx第10页/共89页（1）结构的许可荷载[P]；[P]=33.5kN2aaPABDCPABCFNFAyFAx第11页/共89页2aaPABDCPABCFNFAyFAx(2)若P＝50kN，设计CD杆的直径。d＝24.4mm取d＝25mm第12页/共89页例6图示结构,AC

为刚性梁，BD为斜撑杆,载荷F可沿梁AC

水平移动。已知梁长为l,节点A和D间的距离为h。试问：为使斜撑杆的重量最轻,斜撑杆与梁之间的夹角应取何值,即确定夹角的最佳角。lhABCDPq解：设斜撑杆的轴力为FN,载荷P的位置用坐标x表示。PACBxqFNFAyFAx显然,当x＝l时,轴力FN最大：则由平衡方程MA(F)

=0，得：第13页/共89页PACBxqFNFAyFAx根据强度要求，斜撑杆所需之最小横截面面积为：于是得夹角的最佳值为：可见,要使斜撑杆的重量最轻,应使其体积最小。由上式得由此得斜撑杆的体积为：第14页/共89页例某工地自制悬臂起重机如图所示。撑杆AB为空心钢管,外径105mm,内径95mm。钢索1和2互相平行,且设钢索可作为相当于直径d＝25mm的圆杆计算。材料的许用应力同为[s]＝60MPa。试确定起重机的许可吊重。解：分析滑轮A,假设撑杆AB受压,轴力为FN；钢索1受拉,拉力为F1。若不计摩擦力,则钢索2的拉力F2与吊重W相等,即F2=W。第15页/共89页解得选取坐标轴x和y如图所示。列出平衡方程如下：撑杆AB允许的最大轴力为代入(a)式得相应吊重第16页/共89页同理钢索1允许的最大拉力是代入(a)式得相应吊重代入(b)式得相应吊重比较可知,起重机的许可吊重应为17kN。第17页/共89页2.8轴向拉伸或压缩时的变形直杆在轴向拉力作用下，将引起轴向尺寸的增大和横向尺寸的缩小。反之，在轴向压力作用下，将引起轴向的缩短和横向的增大。FFll1b1b杆件在轴线方向的伸长为杆件在横向的收缩为纵向应变横向应变第18页/共89页杆件横截面上的正应力为工程上使用的大多数材料，其应力与应变关系的初始阶段都是线弹性的。即，当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，这就是胡克定律。可以写成式中的弹性模量E随材料而不同。2.8轴向拉伸或压缩时的变形第19页/共89页这表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长Δl与拉力F和杆件的原长度l成正比，与横截面面积A成反比。这是胡克定律的另一表达形式。以上结果同样可以用于轴向压缩的情况，只要把轴向拉力改为压力，把伸长Δl看作是缩短就可以了。从上式看出，对长度相同，受力相等的杆件，EA越大则变形Δl越小，所以EA称为杆件的抗拉(或抗压)刚度。2.8轴向拉伸或压缩时的变形第20页/共89页试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横向应变e'

与纵向应变e之比的绝对值是一个常数。即m称为横向变形因数或泊松比，是一个无量纲的量。因为当杆件轴向伸长时横向缩小，而轴向缩短时横向增大，所以e'和e的符号是相反的。e'和e的关系可以写成说明P18:表1-1.2.8轴向拉伸或压缩时的变形第21页/共89页例图所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成＝30º的角度，长度均为l＝2m，直径均为d＝25mm，钢的弹性模量为E＝210GPa。设在点处悬挂一重物P＝100kN，试求A点的位移A。AaaBC①②第22页/共89页解：列平衡方程，考虑销钉A的受力，求杆的轴力AaaBC①②AxyFN2FN1两杆的变形为是伸长变形。第23页/共89页AaaBC①②变形的几何相容条件是：变形后，两杆仍应铰结在一起。以两杆伸长后的长度BA1和CA2为半径作圆弧相交于A"，即为A点的新位置。AA"就是A点的位移。A①②A1Δl1A2Δl2A"A"aa第24页/共89页AaaBC①②A①②A1Δl1A2Δl2A"A"aa因变形很小，故可过A1，A2分别做两杆的垂线，相交于A,可认为A'第25页/共89页注意变形图中杆件的伸长(缩短)与轴力一定要对应。第26页/共89页例:一等直杆受自重及集中力P作用。杆的长度为l,横截面面积为A,材料的容重为g,弹性模量为E,求杆的伸长。lPmmPxmmAxN(x)解：N(x)=P+Ax第27页/共89页lPmmPxmmAxN(x)AdxN(x)N(x)+dN(x)dxW=Al为杆的自重第28页/共89页3m4mFBCD例：一简单托架如图所示,BC杆为圆钢,横截面直径d=20mm。BD杆为8号槽钢。若[s]=160MPa,E=200GPa,试校核托架的强度,并求B点的位移。设F＝60kN。解：由三角形BCD求出BD杆的长度为5m。然后由节点B的平衡条件求得BC杆的轴力FN1和BD杆的轴力FN2分别为(拉力)(压力)FBFN2FN1第29页/共89页BC杆的横截面面积为BD杆为8号槽钢,由型钢表中查出其横截面面积为求出BC和BD杆的应力分别为可见托架的两杆都满足强度要求。第30页/共89页3m4mFBCDB1B3根据虎克定律求出BC和BD两杆的变形分别为B2这里Δl1为拉伸变形而Δl2为压缩变形。设想将托架从节点B拆开。BC杆伸长变形后变为B1C,BD杆压缩变形后变为B2D。分别以C点和D点为圆心,CB1和DB2为半径作弧相交于B3。B3点即为托架变形后B点的位置。因为变形很小,B1B3和B2B3是两段极其微小的短弧,因而可用分别垂直于BC和BD的直线段来代替,这两段直线的交点即为B3。第31页/共89页3m4mFBCDB1B2B3B2BB1B4B3用图解法求B点的位移第32页/共89页2.9拉(压)杆内的应变能固体受外力作用而变形。在变形过程中,外力所作的功将转变为储存于固体内的能量。当外力逐渐减小时,变形逐渐恢复,固体又将释放出储存的能量而作功。例如内燃机的气阀开启时,气阀弹簧因受压力作用发生压缩变形而储存能量。当压力逐渐减小,弹簧变形逐渐恢复时,它又释放出能量为关闭气阀而作功。固体在外力作用下,因变形而储存的能量称为应变能。1应变能第33页/共89页设受拉杆件上端固定,作用于下端的拉力由零开始缓慢增加。拉力F与伸长Δl的关系如图a所示。在逐渐加力的过程中,当拉力为F时,杆件的伸长为Δl。如再增加一个dF,杆件相应的变形增量为d(Δl)。于是已经作用于杆件上的F力因位移d(Δl)而作功,且所作的功为dW等于图b中画阴影线的微面积。2.9拉(压)杆内的应变能第34页/共89页把拉力看作是一系列dF的积累,则拉力所作的总功W应为上述微面积的总和,它等于F-Δl曲线下面的面积,即在应力小于比例极限的范围内,F与Δl的关系是一条斜直线,故有2.9拉(压)杆内的应变能第35页/共89页根据功能原理,拉力所完成的功应等于杆件储存的能量。对缓慢增加的静载荷,杆件的动能并无明显变化。金属杆受拉虽也会引起热能的变化,但数量甚微。省略动能、热能等能量的变化,可认为杆件内只储存了应变能Ve,其数量就等于拉力所作的功。在线弹性范围内2.9拉(压)杆内的应变能第36页/共89页为了求出储存于单位体积内的应变能,设想从构件中取出边长为dx,dy,dz的单元体。如单元体只在一个方向上受力,则单元体上、下两面上的力为sdydz,dx边的伸长为edx。当应力有一个增量ds时,dx边伸长的增量为de

dx。依照前面的讨论,这里sdydz对应于拉力F,de

dx对应于d(Δl)。力sdydz完成的功为2应变能密度单位体积内的应变能称为应变能密度(变形比能)。2.9拉(压)杆内的应变能第37页/共89页dW等于单元体内储存的应变能dVe,故有dV＝dxdydz是单元体的体积。以dV除dVe得单位体积内的应变能上式表明,ve等于s-e曲线下的面积(图b)。在应力小于比例极限的情况下,s与e的关系为斜直线,它下面的面积为2.9拉(压)杆内的应变能第38页/共89页由胡克定律s＝Ee,上式可写成由于上面两式是由单元体导出的,故不论构件内应力是否均匀,只要是只在一个方向上受力,它们就可使用。若杆件内应力是均匀的,则以杆件的体积V乘ve得整个杆件的应变能Ve=veV。若杆件内应力不均匀,则可先求出ve,然后用积分计算整个杆件的应变能。2.9拉(压)杆内的应变能第39页/共89页ve称为应变能密度或变形比能,单位为J/m3。以比例极限sp代人上式求出的应变能密度,称为回弹模量,它可以度量线弹性范围内材料吸收能量的能力。2.9拉(压)杆内的应变能第40页/共89页BPCD45º75º例：简易起重机如图所示。BD杆为无缝钢管,外径90mm,壁厚2.5mm,杆长l=3m。弹性模量E=210GN/m2。BC是两条横截面面积为171.82mm2的钢索,弹性模量E1=177GN/m2。若不考虑立柱的变形,试求B点的垂直位移。设P=30kN。解：从三角形BCD中解出BC和CD的长度分别是算出BC和BD两杆的横截面面积分别为第41页/共89页BPCD45º75º由BD杆的平衡求得钢索BC的拉力和BD杆的压力为把简易起重机看作是由BC和BD两杆组成的简单弹性杆系,当载荷P从零开始缓慢地作用于杆系上时,P与B点垂直位移d的关系也与右图一样,是一条斜直线。P所完成的功也是这条斜直线下的面积,即第42页/共89页P所完成的功在数值上应等于杆系的变形能,亦即等于BC和BD两杆变形能的总和。故由此求得第43页/共89页2.10拉伸、压缩超静定问题静定问题:构件的约束反力和杆件的轴力可以用静力平衡条件求出，这种情况称作静定问题。超静定问题:只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。超静定的次数:未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数。变形协调方程:在静不定问题中，各部分变形之间必存在相互制约的条件，这种条件称为变形相容条件(变形协调方程)。超静定问题的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。第44页/共89页例：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力P的作用，如图所示。计算A、B处的约束反力。FRBBACPFRA解：1）平衡方程这是一次超静定问题。blBACPa2.10拉伸、压缩超静定问题第45页/共89页2）相容条件(变形协调条件)：杆的总长度不变FRBBACPFRAblBACPa3）物理方程（胡克定律）第46页/共89页补充方程为平衡方程为FRBBACPFRAblBACPa第47页/共89页解超静定问题的步骤：根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个数与超静定次数相等。将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程。联立补充方程与静力平衡方程求解。解超静定问题注意画变形图时，杆的变形与假设的轴力符号要一致!!!!第48页/共89页例图示平行杆系1、2、3悬吊着横梁AB(AB的变形略去不计)，在横梁上作用着荷载G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E。试求1、2、3三杆的轴力N1，N2，N3。ABCG123aal第49页/共89页解：(1)平衡方程这是一次超静定问题，且假设均为拉杆。ABCG123aalABCG123FN3FN2FN1Fx第50页/共89页(2)变形几何方程,在本题中,假设3根杆都受拉。(3)物理方程ABC123A'C'B'Δl3Δl1Δl2ABCG123aal补充方程第51页/共89页(4)联立平衡方程与补充方程求解ABC123A'C'B'Δl3Δl1Δl2ABCG123aal第52页/共89页ABCG123aal讨论:如假设1杆受压，2、3杆受拉，如何进行分析计算？第53页/共89页画受力图列静力平衡方程画变形几何关系图列变形几何关系方程建立补充方程解联立方程求出全部约束反力强度计算第54页/共89页

例题求图a所示结构中杆1,2,3的内力FN1,FN2,FN3。杆AB为刚性杆，杆1,2,3的拉压刚度均为EA。aaaACDB132EFF(a)a

解：1.

共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次超静定问题。FFAyFAxFN1FN3FN2(b)第55页/共89页2.

相当系统应满足的变形相容条件如图d所示为FN2DDl2FFCADl1Dl3Dl2FBFN2DFN13(d)FN1CDl1E4.

根据相容条件，利用物理方程得补充方程：即

FN1=2FN3,FN2=2FN1=4FN3第56页/共89页5.

将上述二个补充方程与由平衡条件ΣMA=0所得平衡方程联立求解得FN1=2FN3,FN2=2FN1=4FN3FFAyFAxFN1FN3FN2(b)第57页/共89页2.11装配应力和温度应力一、装配应力加工构件时,尺寸上的一些微小误差是难以避免的。对静定结构,加工误差只不过是造成结构几何形状的轻微变化,不会引起内力。但对超静定结构,加工误差却往往要引起内力。以两端固定的杆件为例,若杆件的名义长度为l,加工误差为d,结果杆件的实际长度为l+d。把长为l+d的杆件装进距离为l的固定支座之间,必然引起杆件内的压应力,这种应力称为装配应力。第58页/共89页ABCD213l图示杆系,若3杆尺寸有微小误差,则在杆系装配好后,各杆将处于图中位置,因而产生轴力。3杆的轴力为拉力,1,2杆的轴力为压力。这种附加的内力就称为装配内力。与之相对应的应力称为

装配应力。A'第59页/共89页Δl3代表杆3的伸长Δl1代表杆1或杆2的缩短代表装配后A点的位移ABCD213lA'Δl1l3第60页/共89页(1)变形几何方程(2)物理方程ABCD213lA'Δl1l3第61页/共89页补充方程为ABCD213lA'Δl1l3AaaFN1FN3FN2(4)平衡方程由上面三个方程可以求解。第62页/共89页

例:两铸件用两根钢杆1,2连接,其间距为l＝200mm。现要将制造得过长了e＝0.11mm的铜杆3装入铸件之间,并保持三根杆的轴线平行且等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d＝10mm,铜杆横截面积为2030mm2的矩形,钢的弹性模量E＝210GPa,铜的弹性模量E3＝100GPa。铸件很厚,其变形可略去不计,故可看作刚体。ABC12aaC1B1A1el3C1C"第63页/共89页

ABC12C1B1A1el3C1C"l1=l2l3变形几何方程为3第64页/共89页代入得补充方程列平衡方程aaxFN1FN2FN3A'C'B'解(a),(b),(c)联立方程即可得装配内力,进而求出装配应力。第65页/共89页二温度应力温度变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，当温度均匀变化时，并不会引起构件的内力。但如超静定结构的变形受到部分或全部约束，温度变化时，往往就要引起内力。2.11装配应力和温度应力第66页/共89页对上述两端固定的AB杆来说，由平衡方程只能得出这并不能确定反力的数值，必须再补充一个变形协调方程。设想拆除右端支座，允许杆件自由胀缩，当温度变化为ΔT时，杆件的温度变形(伸长)应为式中al为材料的线膨胀系数。然后，再在右端作用FRB，杆件因FRB产生的缩短是2.11装配应力和温度应力第67页/共89页实际上，由于两端固定，杆件长度不能变化，必须有这就是补充的变形协调方程。于是得2.11装配应力和温度应力第68页/共89页碳钢：a

l＝12.5×10-6℃-1,E＝200GPa可见当ΔT较大时，sT的数值便非常可观。为了避免过高的温度应力，在管道中有时增加伸缩节，在铁路钢轨各段之间留有伸缩缝，这样就可以削弱对膨胀的约束，降低温度应力。2.11装配应力和温度应力第69页/共89页ABC21240150DE例:图示横梁ACB的变形可以省略不计(即设ACB为刚体);钢杆AD的横截面面积A1＝100mm2,长度l1＝330mm,弹性模量E1＝200GPa,线膨胀系数al1＝12.5×10-6℃-1;铜杆BE相应数据分别是A2＝200mm2,l2＝220mm,E2＝100GPa,al2＝16.5×10-6℃-1如温度升高30℃,试求两杆的轴力。第70页/共89页ABCFN1FN2FCΔl1Δl1TΔl2CABB2EAC1240150DΔl2T解：设想拆除钢杆和铜杆与横梁间的联系,允许其自由膨胀。这时钢杆和铜杆的温度变形分别是Δl1T和Δl2T。当把已经伸长的杆件再与横梁相连接时,必将在两杆内分别引起轴力FN1和FN2,并使两杆再次变形。设FN1和FN2的方向如图所示。横梁的最终位置如图中虚线所示。图中的Δl1和Δl2分别是钢杆和铜杆因轴力引起的变形。第71页/共89页B2EABCFN1FN2FCΔl1Δl1TΔl2CABAC1240150DΔl2T变形协调方程为这里Δl1和Δl2为绝对值。第72页/共89页求出各项变形(物理方程)代入变形协调方程并整理得第73页/共89页平衡方程从以上两个方程中解出钢杆和铜杆的轴力分别为ABCFN1FN2FC求得FN1和FN2为正号,说明所设方向是正确的,即两杆均受拉。第74页/共89页例：桁架由三根抗拉压刚度均为EA的杆在A点铰接,试求由于温度升高T而引起的温度应力。材料的线膨胀系数为。132ABDCl132AB1C1A1解：AB1,AC1,AA1分别为由于温度的升高引起1,2,3三杆的伸长第75页/共89页C1B1132ABDCl132A假设装配后节点A下降至A2

处C2A1A2

：装配后3杆的伸长B1B2

：装配后杆1的缩短C1C2

：装配后2杆的缩短A1B2A2第76页/共89页N1,N2,N3为各杆的装配内力AN1N2N3C1B1132ABDCl132AC2A1B2A2第77页/共89页(1)变形几何方程132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2第78页/共89页物理方程关系：132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2第79页/共89页（2）补充方程：132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2第80页/共89页(3)平衡方程132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2第81页/共89页（4）联立求解13