《集合及其运算》知识总结与练习

《集合及其运算》知识总结与练习集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合.集合元素的特征：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集—.集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto)集合A，记作：aEA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于(notbelongto)集合A，记作：a冬A.常见数集的表示非负整数集(自然数集)：全体非负整数组成的集合，记作N；正整数集：所有正整数的集合，记作N*或N+；整数集：全体整数的集合，记作Z；有理数集：全体有理数的集合，记作Q；实数集：全体实数的集合，记作R.把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序，“，斓开；a与｛a｝不同.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为｛xeAIP｝，其中x代表元素，P是确定条件.小结：描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如｛(x,y)Iy=x2-1｝与｛y|y=X2-1｝不同.只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如｛xIx>1｝，｛xIx=3k,keZ｝.集合的｛｝已包含“所有”的意思，例如：｛整数｝，即代表整数集Z，所以不必写｛全体整数｝.下列写法｛实数集｝，｛R｝也是错误的.列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.知识拓展描述法表示时代表元素十分重要.例如：所有直角三角形的集合可以表示为：｛xI工是直角三角形｝，也可以写成：｛直角三角形｝；集合｛(x,y)Iy=x2+1｝与集合｛yIy=x2+1｝是同一个集合吗？我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.

子集、相等、真子集、空集的概念：①如果集合A的任意一个元素都是集合8的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset)，记作：A匚8(或8^A)，读作：A包含于(iscontainedin)8，或B包含(contains)A.当集合A不包含于集合B时，记作AB.②在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.用Venn图表示两个集合间的“包含”关系为:A匚B(或B目A).③集合相等：若AjB且BjA，则A=B中的元素是一样的，因此A=B.真子集：若集合AjB，存在元素xgB且xWA，则称集合A是集合B的真子集(propersubset)，记作：^B(或B立A)，读作：A真包含于B(或B真包含A).空集：不含有任何元素的集合称为空集(emptyset)，记作：0.并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.集合A的兀素个数A的子集个数人的真子集个数A的非空真子集个数010012102432・・・・・・・・・・・・n2n2n-12n-2列举法与字典排列法：A中有10个元素，问：A的子集中，含有2个元素的子集有多少？交集、并集：①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集(intersectionset)，记作ACB，读“A交B”，即：AB={xIxgA,且xgB}.Venn图如右表示Venn图如右表示.交的性质：(1)ACA=A；(2)AH0=0； (3)ACB=BCA； (4)AHBJA，AHBJB；(5)若AjB，则AHB=Ao②类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集(unionset)，记作：AB，读作：A并B，用描述法表示是：AB={xJgA,或xgB}.Venn图如右表示.

Venn图如右表示.并的性质：(1)AUA=A；(2)AU0=A；(3)AUB=BUA；(4)ACAUB,BCAUB；(5)若AcB，则AUB=B。如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的，记作^，记作若集合AcB，存在元素x聂且居A，则称集合A是集合B的，记作两个集合的部分、部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：全集、补集： u①全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(Universe)，通常记作U.②补集②补集：已知集合U,集合ACU,由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的补集(complementaryset)，记作：CA，读作：“A在U中补集”，即(1)CU(CUA)=A；(2)qu=0;(3)Cu0=u；(4)(CuA)nA=0;(5)(CuA)UA=U;(6)若AcB，则QAoCuB;⑺反演律：Cu(AnB)=(CuA)u(cuB)；cu(AuB)=(CuA)n(cuB)。集合有哪几种表示方法？定义A-B={x|xeA,但x任B}。若A={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8}，求A-B;B-A;A-(A-B)。设A={0,1},B={x|xcA},试用列举法表示B，并指出A与B的关系。由集合A的所有子集构成的集合叫做A的幕集，记作2a。若A={0,1,2},则2a=指出0与｛°｝之间的关系，讨论A与｛A｝之间的关系。用列举法表示下列集合：15以内质数的集合；方程x32-1）=0的所有实数根组成的集合；一次函数j=x与j=2x-1的图象的交点组成的集合.用列举法表示“一次函数J=X的图象与二次函数J=X2的图象的交点”组成的集合.下列说法正确的是（ ）.A.某个村子里的高个子组成一个集合B•所有小正数组成一个集合C.集合｛1,2,3,4,5｝和｛5,4,3,2,1｝表示同一个集合D.1,0.5」, ｛xIj=x2- ｛xIj=x2-1｝.已知集合A=｛xI-3<x<3,xgZ｝，集合B=｛（x,j）Ij=x2+1,xgA｝,试用列举法分别表示集合A、B.若集合A=｛-1,3｝，集合B=｛xIx2+ax+b=0｝，且A=B，求实数a、b.',‘2'2'4M给出下列关系:④|-3|GQ.①-=R:②<2"④|-3|GQ.TOC\o"1-5"\h\z2 +其中正确的个数为（ ）.A.1个 B.2个C.3个 D.4个直线j=2x+1与y轴的交点所组成的集合为（）.A.{0,1}B.{（0,1）}C.{-1,0}D.{（-二0）}2 2集合｛1,2｝、｛（1,2）｝、｛（2,1）｝、｛2,1｝的元素分别是什么？四个集合有何关系？探究：比较如下表示法｛方程x2-1=0的根｝;｛-1,1｝；｛xGRIX2-1=0｝.用描述法表示下列集合.（1）方程x3+4x=0的所有实数根组成的集合；（2） 所有奇数组成的集合.试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1） 抛物线J=x2-1上的所有点组成的集合；思考下列问题.符号“agA”与“{a}gA”有什么区别？试举例说明.任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.若集合A={xIx>a}，B={x12x-5>0}，且满足AgB，求实数a的取值范围.已知集合A={xIa<x<5}，B={xIx>2}，且满足AgB，则实数a的取值范围为.当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：下列结论正确的是().A.0MA B.0g{0}C.{1,2}gZD.{0}g{0,1}设A=L|x>J,B=L|x〉a}，且AgB，则实数a的取值范围为().A.a<1 B.a<1C.a>1 D.a>1若{1,2}={xIx2+bx+c=0}，则( ).A.b=-3,c=2 B.b=3,c=-2C.b=-2,c=3 D.b=2,c=-3满足{a,b}gAu{a,b,c,d}的集合A有_个.设集合A={四边形},B={平行四边形,C={矩形}，D={正方形}，则它们之间的关系是，并用Venn图表示.已知A={xIx2+px+q=0}，B={xIx2-3x+2=0}且AgB，求实数p、q所满足的条件.设A={(x,y)I4x+y=6}，B={(x,y)I3x+2y=7}，求ACB.变式：若A={(x,y)I4x+y=6}，B={(x,y)I4x+y=3}，则AB=；若A={(x,y)I4x+y=6}，B={(x,y)I8x+2y=12}，贝AB=.反思：上题及变式的结论说明了什么几何意义？设A={xIx>a}，B={xI0<x<3}，若AB=0，求实数a的取值范围是.已知全集I={小于10的正整数}，瓜子集A、B满足(C/)(CB)={1,9}，(CA)B={4,6,8}，AB={2}.求集合A、B. qnn分别用集合A、B、C表示下图的阴影部分.(1)； (2)(1)； (2)已知全涔1/={1,2,3,4毋，声AB=U,AB手已，A（C必）={1,2},求集合A、8.若A= 一4尤+3=0姑=*工2以力+。一1=0卜 Q。=〈|尤2—mx+l=。}且AB=A,AC=C,求实数心m的值或取值范围.变式：设A=（xI%2-8x+15U0},B=[{k\ax-l=O},若BjA,求实数〃组成的集合。设A={xI工2一。工+。2—19=0},B={xIX2—5x+6=0）,C={xIx2+2x—8=0）. （1）若A=B,求i的值；（2）若0旬nB,AnC=0,求a的值.※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：L如果集合A=（x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是（）.A.0 日.0或1C.1D.不能确定集合A={x|x=2n,neZ},B={y|y=4k,keZ}，则A与B的关系为().A.A£B B.A^BC.A=B D.AgB设全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5},集合8={3,5}，则().A•U=ABB.u=(CA)Bucu uC.u=A(CB) D.U=(CA)(CB)u uu满足条件MO{1,2,3,4,5,6}的重会M的个数是■5.设集合M={y\y=3-x2},N=