概率论与数理统计第三四章

计算习题二第2题中随机变量的希望值。解：由习题二第2题计算结果p0p{0}=1p{2，p11}=33得E01221333一般对0-1分布的随机变量有Epp{1}2．用两种方法计算习题二第30题中周长的希望值，一种是利用矩形长与宽的希望计算，另一种是利用周长希望的分布计算。解：方法一：先按定义计算长的数学希望E290.3300.5310.229.9和宽的数学希望E190.3200.4210.320再利用数学希望的性质计算周长的数学希望EE(2方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学希望9698100102104pE960.09980.271000.351020.231040.0698.8对习题二第31题，（1）计算圆半径的希望值；（2）E(2R)能否等于2ER？（3）能否用(ER)2来计算远面积的希望值，假如不可以用，又该如何计算？其结果是什么？解（1）（2）由数学希望的性质有E(2R)2ER23.2（3）因为E(R2)E(R)2，所以不可以用E(R2)来计算圆面积的希望值。利用随机变量函数的希望公式可求得E(R2)E(R2)(1020.11120.41220.31320.2)135.4也许由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学希望E1000.11210.41440.31690.2)135.44．连续随机变量的概率密度为kxa,0x1(k,a0)(x)0,其余又知E0.75，求k和a的值解由(x)dx1k1kxadx0a1E1k3kxxadx0a24解得a2,k35．计算遵从拉普拉斯分布的随机变量的希望和方差（参看习题二第16题）。解因为奇函数在对称地域的积分为零，所以Ex1e|x|dx0，2相同由偶函数在对称地域积分的性质可计算DE(2)x21e|x|dxx2exdx20x2ex|02xexdx20题目略解(1)15辆车的里程均值为1(9050150)27491.33153(2)记为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则的分布表以下表所示（a=188）1030507090110130150170p5/a11/a16/a25/a34/a46/a33/a16/a2/a故E105111702452096.173018818847188题目略解记为种子甲的每公顷产量，为种子乙的每公顷产量，则E45000.1248000.3851000.454000.14944E45000.2348000.2451000.354000.2349598．一个螺丝钉的重量是随机变量，希望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的希望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其余螺丝钉重量的影响）？解设i为一盒中第i个螺丝钉的重量(i1,2,,100),则题设条件为Ei10g,Di1g,且1,2,,100互相独立。设一盒螺丝钉的重量100为随机变量i1i，则希望和标准差分别为100100EE(i)Ei1000(g)i1i11001100110012D[D(i)]2(Di)210(g)i1i1注此题不可以以为100,因为这意味着所有螺丝钉的重量完整一样,这是不切合实质状况的.所以DD(100)1002D100(g)是错误结果。已知100个产品中有10个次品，求任意拿出的5个产品中次品数的希望值。解设为5个产品中的次品数，则的分布率为k5kCCp(k)10590(k0,1,2,3,4,5)C100于是希望值为5k5kC10C9050E0.5kk0C100510010．一批部件中有9个合格品和3个废品，在安装机器时，从这些部件中任取1个，假如拿出的是废品就不再放回去。求在获得合格品从前，已经拿出的废品数的数学希望和方差。解设为获得合格品从前拿出的废品数，则遵从以下表所示的分布，于是0123p929329321121211121110121110E0319293130.344422022010E(2)03129229321944422022022DE(2)(E)29(3)23510.3192210110011.假设每人诞辰在各个月份的机遇是相同的，求3个人中诞辰在第1个季度的均匀人数。解设3人中诞辰在第1季度的人数为，则的分布律为p(k)C3k(1)k(3)3k(k0,1,2,3)44故均匀人数为31k33k3Ek(k0kC3(4))4‘12．有分布函数F(x)1ex,x0，求E及D0，其余解的密度函数为(x)F(x)ex,x00,x0E+xexdxxex|0++xdx10e0E(2)+xdxx2ex|0++xdx0x2e2xe02+exdx2x20DE(2)(E)221)212(2也许利用伽马函数的性质E+exdx1+xdx1(2)1xxe002+2x1+2x12E()xedx20(x)edx2(3)20DE(2)(E)221212( )2113．~(x)1x2,|x|1求D和E，0,其余解由奇函数在对称区间的积分为零知1xEdx011x2也许1x2sint2sintEdxdsintdt11x221sin2t2于是

cost

|20221x22sin2tD=E()=dx=dsint111x22sin2t221cos2tdt2(tsin2t)|20.500224

22sin2tdt014．计算习题二第22题中的希望与方差。解由习题二第33题求得的分布可求得其数学希望和方差E()324110333E[()2]32242134333D()34(10)2233915．计算习题二第23题中的希望与方差。解由习题二第34题求得的分布可求得其数学希望和方差E()21(4)101251331261218E[()2]41161014585391261227D()85(1)21091271832416．假如和独立，不求出的分布，直接从的分布和的分布能否计算出D( )，如何计算？解由与独立，知2与2独立，依据数学希望的性质有22)(E2)E（）=(E)(E),E（）=(E故D（）=E（[22=(E2)(E22(E)2）]-[E（）])-(E)17.随机变量是另一个随机变量的函数,而且e(0),若E存在,求证对于任何实数a都有p{a}exEe.证明：不如设是连续型随机变量，其密度函数为(x)，注意到当xa时，有e(xa)1(0)，于是p{a}(x)dxe(xa)(x)dxeaex(x)dxeaE(e)aa若为失散型随机变量，则将推倒的积分换成级数乞降相同成立。18．证明事件在一次试验中发生次数的方差不超出1/4.证明设为一次试验中A发生的次数，则遵从0-1分布，pp(A)则EpD(1p)2p(0p)2(1p)p(1p)(0p1)而函数p(1p)在[0,1]上的最大值为1，故D14419．证明对于任何常数c,随机变量有DE[(c)2](Ec)2证明因为E[(c)2]E(22cc2)E(2)2cE()c2(Ec)2(E)22cE()c2所以两式的差为E(2)(E)2D也许DD(c)E[(c)2][E(c)]2E[(c)2](Ec)220．(,)的联合概率密度为(x,y)e(xy)(x,y0)，计算它们的协方差cov(,)解先乞降的边沿密度函数1(x)e(xy)dyex(x0)02(y)e(xy)dxey(y0)0由(x,y)1(x)2(y)知与互相独立,故与不相关,即cov(,)=0计算习题二第22题与的协方差。解由习题二第22题的计算结果可列出其联合分布和边沿分布表(见下表)，于是11p(1)i101/31/321/31/32/3p(2)j1/32/3E11225，E11225333333E( )102(11)41833123cov(,)E( )E()E( )8(5)21339计算习题二第23题与的相关系数。解习题二第23题求出的分布表（见下表），可求得01/31pi(1)-101/121/35/1201/6002/1225/12005/12p(2)j7/121/124/12E(1)502255，E(2)(1)2502225251212121212121212D25（52275,E071141312）=123121361214412E(2)07(1)21124371231212108D37(13)2275108361296E()07(1(1113121))123633cov(,)132513221,361236432cov(,)221221DD27527527523．(,)的联合概率分布以下表所示，计算与的相关系数，并判断与能否独立？-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8解(,)的联合分布和边沿分布以下表所示-1-11/801/811/8p(2)j3/8EE(1)30288DE(2)(1)23028(）01（）11E214cov(,)E()E()E(

01pi(1)1/81/83/801/82/81/81/83/82/83/8130821233D884104)0,0但p1(1)p1(2)91p11，知与不互相独立。64824．两个随机变量与，已知D25,D25,0.4,计算D(+）与D(.-）解cov(,)DD=0.456=12D(+)DD2cov(,)85D()DD2cov(,)37第四章习题解答（参照答案）若每次射击靶的概率为，求射击10炮，命中三炮的概率，最少命中3炮的概率，最可能命中几炮。解:记射击10炮的命中次数为,则~B(10,0.7),所求概率为p(3)C1030.730.370.009p(3)1p(0)p(1)p(2)15.901061.381041.451030.9984最可能的命中炮数为[100.70.7]7炮.在必定条件下生产某种产品的废品率为,求生产10件产品中废品数不超出2个的概率.解记废品数为，则~B(10,0.01)，所求概率为2C10k0.01k0.9910kp(2)k00.90440.09140.00421.0003．某车间有20台同型号机床，每台机车开动的概率为，若假设各机床能否开动相互独立，每台机车开动时所耗费的电能为15个单位，求这个车间耗费电能许多于270个单位的概率。解设20台机床中有台开动，则~B(20,0.8)，所求概率为p(27018)p(19)p(20))p(151900.8180.22200.8190.20.8200.2064．从一批废品率为的产品中，重复抽取20个进行检查，求这20个产品中废品率不大于的概率。解设为20个产品中废品的个数，则~B(20,0.1)，所求概率为p(0.15)p(3)0.92019+1900.12200.918+11400.130.917=0.8675．生产某种产品的废品率为，抽取20件产品，初步检查已发现2件废品，问这20件中，废品许多于3件的概率.解设为20件产品中废品的个数，则~B(20,0.1)，所求概率为p(3|2)p(3)p(2)1(0.920200.10.919+1900.120.918)1(0.920200.10.919)0.3230.5310.6086．投掷4颗正六面体的骰子，为出现么点的骰子数量，求的概率分布，以及出现么点的骰子的最可能值.解设为4颗骰子中出现么点的个数，则~B(4,1)，即有分布律6p(k)p(k)C4k(1)k(1)4k(k0,1,2,3,4)66其分布函数为0,x0iF(x)p(k),ixi1(k0,1,2,3)k01,x4的最可能值为[41106]67．事件A在每次试验中出现的概率为,进行19次独立试验，求（1）出现次数的均匀值和标准差；（2）最可能出现的次数。解设为19次试验中A出现的次数，则~B(19,0.3)，故可求得（1）E190.35.7D190.30.73.991.997(2）的最可能值=[190.30.3]6和5（因为190.30.3是整数）8．已知随机变量遵从二项分布,E12,D=8，p和n求解题设条件为~B(n,p)，且np12,np(1p)8由此解出p1,n3639．某柜台上有4个售货员，并预备了两个台秤，若每个售货员在一小时内均匀有15分钟时间使用台秤，求在一天10小时内，均匀有多少时间台秤不够用。解按题设条件可以为在任何时间每个售货员都以1的概率使用台4秤，设为任何时刻要用台秤的售货员人数，则~B(4,1)，于是任4何时刻台秤不够用的概率为31331413p(2)C4(4)(4)(4)440.05这个结果也可以解说为营业时间内5%的时间台秤不够用，故10个小时内大体有半小时秤不够用。10．已知试验的成功率为p，进行4重贝努里试验，计算在没有所有失败的状况下，试验成功不只一次的概率.解设为4次试验中成功的次数，则~B(4,p)，所求概率为p(1)1(1p)44p(1p)34p(1p)3p(1|0)0)1(1p)41p)4p(1(111．遵从参数为2，p的二项分布，已知p(1)=5/9，那么成功率为p的4重贝努里试验中最罕有一次成功的概率是多少？解由题设条件~B(2,p)和1(1p)25，可解出p1，再设93~B(4,1)，则所求概率为p{1}1(2)465338112．一批产品20此中有5个废品，任意抽取4个，求废品数不多于2个的概率。解设为所取的4个废品的个数，则遵从参数N=20,M=5,n=4的超几何分布，所求概率为p(2)1p(3)p(4)10193810.96832396996913．假如产品是大量的，从中抽取的数量不大时，则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算。试将下例用两个公式计算，并比较其结果。产品的废品率为,从1000个产品中任意抽取3个，求废品数为1个的概率。解记为所取3个产品中的废品数。设遵从参数为N=1000,M=100,n=3的超几何分布,则所求概率为C1C213485p(1)1009000.24346C3553891000(2)若~B(3,0.1)，则所求概率为p(1)30.10.920.243二者的差异仅为.从一副扑克牌（52张）中发出5张,求此中黑桃张数的概率分布解设为5张中黑桃的张数，由题意知遵从N=52,M=13,n=5的超几何分布，即p{k}CkC5k1339(k0,1,2,3,4,5)C525由此分布律可列出分布表（见下）012345p从大量萌芽率为的种子中，任取10粒，求萌芽数许多于8例的概率。解记为10粒种子中萌芽的种子数，则~B(10,0.8)，所求概率为p(8)C1080.880.22C1090.89100.3020+0.2684+0.1074=0.677816．一批产品的废品率为，用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率，以及不超出2件的概率。解记为800件产品中的废品数,则~B(800,0.001)，因为n800很大，p0.001很小，故可用普哇松公式计算此题概率(8000.0010.8)p{2}