第1讲 等比数列

第一讲等比数列模块一、等比数列的概念1．等比数列的概念等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于一个非零常数，这个数列就叫做等比数列。2．等比数列中基本量的关系首项a1：等比数列中的第一个数；末项an：等比数列中的第n个数；公比q：等比数列中后项与前项的比（注意不能为0）；那么这几个值之间存在如下关系：。3．用错位相减法求等比数列前n项和Sn：当q=1时，Sn=na1；当q>1时，；当0<q<1时，；4．等比数列中的常用结论：（1）；（2）当m+n=p+q时，am×an=ap×aq；（3）。例1．（1）在等比数列{an}中，若a3=4，a9=1，则a6=；若a3=4，a11=1，则a7=；（2）在等比数列{an}中，若a5+a6=a(a≠0)，a15+a16=b，则a25+a26=。解：（1）在等比数列{an}中，若a3=4，a9=1，则a62=a3×a9=4，所以a6=2；若a3=4，a11=1，则a72=a3×a11=4，所以a7=2.（2）在等比数列{an}中，若a5+a6=a(a≠0)，a15+a16=b，则a25+a26=。例2．已知等比数列{an}中，有a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列，且b7=a7，则b5+b9的值是。解：等比数列{an}中，有a3a11=4a7，则a72=4a7，所以a7=4，得b7=4，在等差数列{bn}中，b5+b9=2b7=8.例3．（1）已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，则an=;（2）已知{an}是等比数列，且Sm=10，S2m=30，则S3m=；（3）在等比数列{an}中，公比q=2，前99项的和S99=56，则a3+a6+a9+……+a99=.解：（1）等比数列{an}中，a1a2a3=a23=8，所以a2=2，又a1+a2+a3=7，所以a1+a3=5，其中a1=，a3=2q，解得a1=1，q=2，此时an=2n−1；或a1=4，q=，an=4×()n−1.（2）{an}是等比数列，且Sm=10，S2m=30，所以前m项的和为10，它后面m项的和是30−10=20，最后m项之和为40，所以前3m项的和S3m=10+20+40=70.（3）在等比数列{an}中，公比q=2，前99项的和S99=56，所以=a1×(299−1)=56，对于a3、a6、a9、……、a99，首项a3=4a1，公比为8，一共33项所以a3+a6+a9+……+a99===32.模块二、错位相减法与等比数列求和例4．（1）1+2+22+23+……+210=；（2）=。解：（1）1+2+22+23+……+210=；（2）==。例5．在等比数列{an}中，若公比q=4，且前3项之和等于21，那么这个数列的第5项a5=.解：在等比数列{an}中，a1+4a1+161=21，所以a1=1，所以a5=44=256.例6．记等比数列的前n项和为Sn，若S3=2，S6=18，则=。解：S6=，S3=，所以，所以q=2，==25+1=33.模块三、等比数列公式的运用例7．已知正项等比数列{an}中，a1a5+2a2a6+a3a7=100，a2a4−2a3a5+a4a6=36，求数列an的通项公式an=，和前n项和Sn=。解：由题意知a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=100，a32−2a3a5+a52=36，得到或，解得，此时a1=32，q=，an=32×()n−1，Sn=；或，此时a1=，q=2，an=×2n−1=2n−2，Sn=；例8．在等比数列{an}中，a1+an=66，a2×an−1=128，Sn=126，求n=，q=.解：a2×an−1=a1×an=128，又a1+an=66，解得，又Sn=，得，所以64q−2=126q−126，62q=124，所以q=2，n=6；或者，由a1+an=66，解得，又Sn=，得，2q−64=126q−126，解得124q=62，所以q=，n=6.随堂测试1．在等比数列{an}中，a2=8，a5=64，则公比q为（）A．2B．3C．4D．8解：a2=8，a5=64，所以a5=a2×q3，于是q3=，q=2，选A。2．一种草的生长速度很快，每天都比原来的长度增加一倍，如果它长到4米用了15天，那么它长到0.125米用了天。解：由题意这是一个等比数列，公比q=2，a15=4，an=0.12，则an×215−n=a15，所以215−n==25，即15−n=5，所以n=10.3．计算：1.04+2.08+4.12+8.16+16.2+32.24+64.28+128.32+256.36=.解：这是一个等比数列与等差数列组合而成的问题，从整数部分看1+2+4+8+……+256=512−1=511，小数部分是等差数列，0.04+0.08+0.12+0.16+……+0.36=所以原式=511+1.8=512.8.4．=。解：等比数列的公比为，一共7项，所以==。5．设等比数列的前n项和为Sn，若a1=1，S6=4S3，则a4=。解：等比数列的前n项和为Sn，若a1=1，S6=4S3，，所以1+q3=3，q3=3，所以a4=a1×q3=3。6．设等比数列{an}的公比q=，前n项和为Sn，则=。解：等比数列{an}的公比q=，所以a4=a1×()3=，S4===，所以=÷=15.7．若等比数列{an}满足，则公比为。解：等比数列{an}中，，当n=1时，a1×a2=16，当n=2时，a2×a3=162=256，两式相除，得，即q2=16，所以q=4.8．成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难，假设愚公家门口的大山有80万吨重，愚公有两个儿子，他的儿子又分别有两个儿子，依次类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运100吨石头，如果愚公是第一代，那么到了第代，这座大山可以搬完。解：愚公为第一代，可以运走10