第三章组合逻辑电路的分析与设计3

第三章组合逻辑电路的分析与设计3.1逻辑代数3.2逻辑函数的卡诺图化简法3.3组合逻辑电路的分析3.4组合逻辑电路的设计3.5组合逻辑电路中的竞争冒险3.1逻辑代数3.1.1逻辑代数的基本定律和基本规则3.1.2逻辑函数的代数化简法3.1逻辑代数学习要求掌握常用的基本定律和三个基本法则

熟练掌握利用公式法化简逻辑函数

逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数

如果F和G都是变量A1、A2、···、An的逻辑函数，并且对于变量A1、A2、···、An的任何一组取值，F和G的值都相同，则称F和G是相等的，记为F=G。

若F＝G

，则它们具有相同的真值表；反之，若F和G的真值表相同，则F＝G

。因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。0-1律重叠律互补律还原律3.1.1逻辑代数的基本定律和基本规则1、逻辑代数的基本定律分配律结合律交换律反演律吸收律冗余律交叉互换律利用真值表逻辑等式的证明方法

利用基本公式和基本定律111111111100

[例]

证明等式A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法公式法右式=(A+B)(A+C)

用分配律展开=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A+BC=左边0000ABCA+BC(A+B)(A+C)000001010011100101110111

[练习]

证明等式1.代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。例如：已知，用函数AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：这是摩根定理扩展为三变量的形式2、逻辑代数的基本规则A均用代替利用代入规则能扩展基本定律的应用。

2.反演规则：对于任何一个逻辑函数Z，如果将函数中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的函数就是函数Z的反函数。注意：

Δ保持原来的运算优先次序（即括号－与－或）。必要时适当地加入括号。Δ长非号（含两个及两个以上变量的非号）保持不变。

解由反演规则，可得若用摩根定律求解，

解由反演规则，可得注意运算的先后顺序=A+BC+D(

)

(

)

练习：已知求反函数解：利用反演规则可得摩根定律3.对偶规则：对于任何一个逻辑函数Z，如果将函数中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，变量不变，那么所得到的新函数就是函数Z的对偶式Z/。注意：

Δ遵守运算符号的优先次序（即括号－与－或）的。Δ长非号保持不变。例：对偶规则的意义:凡原式成立，则其对偶式也成立。例：原式:对偶式:利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半3.1.2逻辑函数的代数化简法1、

逻辑函数的基本表达式

一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式等多种表示形式。例如与或表达式

或与表达式与非-

与非表达式或非-

或非表达式与或非表达式尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。化简意义逻辑表达式越简单，实现它的电路元件越少、成本越低、可靠性越好、传输时间越短。不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与-

或式，然后通过变换得到所需最简式。2、

逻辑函数的代数化简法最简与-

或式标准(1)乘积项(即与项)的个数最少(2)每个乘积项中的变量数最少代数化简法（公式法）定义：利用逻辑代数的基本公式、定律对逻辑函数进行化简的方法。并项法

运用，将两项合并为一项，并消去一个变量。吸收法

运用A+AB

=A和，消去多余项。消去法

运用吸收律

，消去多余因子。配项法通过乘或加入零项进行配项，然后再化简。综合灵活运用上述方法

[例]化简逻辑式解：

应用[例]：利用公式化简函数：代数化简法需要灵活、交替、综合地利用多个公式、多种方法和多种运算技巧，才能将逻辑函数化为最简。[练习]化简逻辑式解：

应用用摩根定律练习：化简作业：P1203.1.2（c），3.1.3（d）（f）;3.1.53.2逻辑函数的卡诺图化简法3.2.1逻辑函数的最小项及最小项表达式3.2.2逻辑函数的卡诺图表示方法3.2.3用卡诺图法化简逻辑函数3.2.4具有无关项的逻辑函数及其化简3.2逻辑函数的卡诺图化简法学习要求掌握最小项、无关项的概念

熟练掌握利用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法熟练掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。一、最小项的定义

3.2.1逻辑函数的最小项及最小项表达式

如果一个函数的某个乘积项（与项）包含了函数的全部变量，并且每个变量在该乘积项中以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个最小项。2变量共有

4个最小项

4变量共有

16个最小项n变量共有

2n

个最小项……

3变量共有

8个最小项三变量最小项表110000000111101000000110100100000101100010000100100001000011100000100010100000010001100000001000ABC二、最小项的性质对应规律：1

原变量

0

反变量(1)任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为

1

；001101(2)

对于每一组取值，任意两个最小项的乘积为

0

；(3)对于每一组取值，全体最小项之和为

1

。三、最小项编号

最小项通常用符号mi来表示。下标i的值就等于使该最小项取值为1的那一组二进制数所对应的十进制数。对应规律：原变量1

反变量0miABC111110101100011010001000最小项ABCm7m6m5m4m3m2m1m04变量最小项AB00000000C0011011110000011D01010101对应最小项(mi)ABCD=m0ABCD=m1ABCD=m2ABCD=m3ABCD=m4ABCD=m5ABCD=m6ABCD=m7对应最小项(mi)ABCD=m8ABCD=m9ABCD=m10ABCD=m11ABCD=m12ABCD=m13ABCD=m14ABCD=m15AB10000111C0011111111110011D01010101四、逻辑函数的最小项表达式

最小项表达式（标准与-或式）：由最小项之和构成的表达式如：由于最小项可用表示，所以该式可写为

为了化简，常用最小项下标编号来代表最小项，所以上式又可写为※任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的最小项表达式形式对于不是最小项表达式的函数，可利用公式将其变换成最小项表达式的形式。[例]

写出下列函数的最小项表达式：[解]或m6m7m1m3练习：将下列逻辑函数转换成最小项表达式答案：

如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm2＝ABC五、由真值表写最小项表达式将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。ABCY00010010010101101001101011011110m0m2m4m6练习：写出Y的最小项表达式3.2.2逻辑函数的卡诺图表示法相邻项－指两个最小项只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。例如：最小项和一、卡诺图的结构

3.2.2逻辑函数的卡诺图表示法卡诺图将n个输入变量的全部最小项各用小方块阵列图的一个小方格表示，并且将具有逻辑相邻性的最小项放在相邻的几何位置上（逻辑变量的取值按照循环码的顺序排列），所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。二变量卡诺图AB0101AB0101AB0101BA0101BA0101AB0101三变量卡诺图ABC01000111

10

m6m7m4m2m3m0m5m1CAB01000111

10

m5m7m1m4m6m0m3m2！！循环码排列ABC0100011110m0m1m2m3m6m7m4m5四变量卡诺图ABCD0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11五变量卡诺图CDE00011110000001011010110111101100m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21以此轴为对称轴（对折后位置重合）ABABCD卡诺图特点：循环相邻性0001111000011110卡诺图具有很强的相邻性：五变量卡诺图逻辑相邻000

00101101000011110CDEAB110

111101100202123221819171628293130262725241213151410119845762310对称轴具有逻辑相邻性的方格有：（1）相接-几何相邻的方格(紧挨的方格)；（2）相对-与中心轴对称的上下两边、左右两边的方格；（3）相重-多变量卡诺图，以对称轴相折叠，重在一齐的方格。方法:将函数的最小项表达式中含有的最小项在卡诺图对应的小方格中填1，没有的填0或不填。

BCA0001111001例如：Z的卡诺图：1111二、用卡诺图表示逻辑函数1.由最小项表达式画卡诺图0000

CDAB00011110000111102.由逻辑函数与或式画卡诺图：例如：111111111111方法：在每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0或不填。

[练习]已知，试画出Y的卡诺图。ABCD0001111000011110

11111111

1

13.由逻辑函数的一般表达式画卡诺图：逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式，然后再填卡诺图。变换为与或表达式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子练习

BCA00011110011114.由真值表画卡诺图：例如：代数化简法

优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。

卡诺图化简法优点：简单、直观，有一定的步骤和方法易判断结果是否最简。

缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于四变量以下函数的化简。

3.2.3用卡诺图法化简逻辑函数3.2.3用卡诺图法化简逻辑函数1、

卡诺图化简逻辑函数的原理（1）任何2（21）个相邻的最小项，可以合并为1项，并消去一个变量（消去不同的变量，保留相同的变量）。（2）任何4（22）个相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。

BＤAＤＢＤＢＤ

（3）任何8（23）个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。ＤＢ小结：逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并。相邻最小项的数目必须为2n个才能合并为一项，并消去n个变量。包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。一、步骤1.将函数变换为与或式；2.画出卡诺图；3.对填1的方格画卡诺圈

；对应每个卡诺圈写成一个新的乘积项.4.将所有卡诺圈对应的乘积项相加。2、

卡诺图化简逻辑函数二、画卡诺圈原则1.圈越大越好（圈大，消去的因子多），但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。2.圈的个数越少越好（化简后的乘积项少）。3.同一个“1”方格可以被圈多次。4.每个圈中要有新的“1”格,否则该圈是多余的。5.画圈时，可先圈大，后圈小。6.不要遗漏任何“1”的小方格。不是最简最简看哪种画法是最简的例如：用卡诺图化简下列函数：1.

BCA0001111001111111（1）由逻辑函数画卡诺图（2）画卡诺圈，合并最小项（3）写出函数的最简与或表达式2.

CDAB0001111000011110111111111练习：解：例：解：ABCD000111100001111011111111m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)画函数卡诺图[练习]用卡诺图化简逻辑函数

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD000111100001111011111111(2)画包围圈，合并最小项BCD孤立项ABCDAB

AD(3)将各圈化简结果逻辑加，得最简与或式例

CDAB000111100001111011111111多余圈(删除)

说明：

在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ00011110000111101111

11

11

1

1

1

1ABCD[练习]：用卡诺图将下面函数化为最简与或式。解：00011110000111101111

11

11

1

1

1

1ABCD0001111000011110CDAB1111111111001111例如果卡诺图中0方格很少且为相邻项，可采用圈0法先求反函数的最简与或式，然后再求出原函数的最简表达式。一、无关项的含义及其表示方法3.2.4具有无关项的逻辑函数及其化简无关项：在一些实际逻辑问题中，对应变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项（约束项）。在卡诺图或真值表中用符号“φ”、“×”表示约束项。如对于8421BCD码，１０１０～１１１１这六个代码就是无关项，因为它们在8421BCD码中根本就不会出现。在逻辑表达式中，通常用无关项加起来恒为0的等式来表示无关项，也称为约束条件表达式约束条件含有约束条件的逻辑函数可以表示成如下形式：二、具有无关项的逻辑函数化简意义：由于无关项要么不在逻辑函数中出现，要么会出现但其值取０或１对电路的逻辑功能无影响,因此对具有无关项的逻辑函数进行化简时，无关项既可取０，也可取１。取什么值，要以尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简为原则。解：(1)画函数的卡诺图ABCD0001111000011110(3)求最简与-

或式(2)画卡诺圈

1

1

1

1[例]求函数的最简与非式

1

1

×

××

×××(4)求最简与非式先填1

0╳2.

CDAB000111100001111011111××××××画圈原则：1）圈中不能全是无关项；

2）无关项可以不圈。练习：西安交通大学2000考研题CDAB0000010111111010xxxxxx1111111小结

逻辑函数的化简方法有两种；代数化筒法和卡诸图化简法。代数化简法需要一定技巧，并对公式和定律非常熟悉。卡诺图化简法直观、筒便，对四变量以下的逻辑函数可较快地得到最简表达式，要重点掌握。具有无关项函数的化简在实际使用时经常遇到，应充分利用具特点将函数化的更简单。作业：P1203.2.1（b）；3.2.2（b)(c)(d)(e)(h);3.2.33.3组合逻辑电路的分析学习要求熟练掌握组合逻辑电路的分析方法

组合逻辑电路－电路任一时刻的输出状态只决定于该时刻各输入状态的组合，而与电路的原状态无关。

每一个输出变量是全部或部分输入变量的函数：L1=f1（A1、A2、…、Ai）L2=f2（A1、A2、…、Ai）

……Lj=fj（A1、A2、…、Ai）

组合电路就是由门电路组合而成，电路中没有记忆单元，没有反馈通路。一、目的：对一个已知的逻辑电路，找出其输出与输入之间的逻辑关系，用逻辑函数描述它的工作，评定它的逻辑功能。

3.3组合逻辑电路的分析二、步骤组合逻辑电路表达式化简真值表简述逻辑功能例1：分析下图所示组合逻辑电路的功能(1)由逻辑图逐级写出表达式(2)化简与变换表达式（3）由表达式列出真值表ABCY00000101001110010111011100010111

（4）分析逻辑功能：

当输入A、B、C中有2个或3个为1时，输出Y为1，否则输出Y为0。所以这个电路实际上是一种3人表决用的组合电路：只要有2票或3票同意，表决就通过。例2：分析下图所示组合逻辑电路的功能解：（1）由逻辑图逐级写出表达式（2）化简与变换（3）由表达式列出真值表

（4）分析逻辑功能：当A、B、C三个变量不一致时，输出为“1”，所以这个电路称为“不一致电路”。ABCY00000101001110010111011101111110练习：分析下图的逻辑功能(上海交大99年考研题)：

ABS&&&&1CZ1Z2Z3解：（3）逻辑功能：半加器，其中S为相加的本位和，C为向高位的进位

ABCS00011011

00010110（2）列真值表：（1）写出输出表达式，并化简3.4组合逻辑电路的设计学习要求

熟练掌握组合逻辑电路的设计方法

一、目的:根据功能要求，设计出符合要求的最佳电路。

3.4组合逻辑电路的设计二、设计原则用功能模块（MSI）设计的原则：用门电路（SSI）设计的原则：（1）门最少，而且各门的输入端数目也最少。（1）功能模块个数最少，品种也最少。（2）功能模块之间连线少。（2）门的种类尽可能一样。

(2)列出相应的真值表；

(4)按照设计要求进一步变换表达式；(3)由真值表写出逻辑表达式或卡诺图并化简；（1）根据设计要求,确定输入、输出变量,并对它们进行逻辑赋值(即确定0和1代表的含义。)三、一般步骤(5)画出逻辑电路图。例1：设计一个三人表决电路，结果按“少数服从多数”的原则决定。要求分别用与或门和与非门实现。依题意：三人的意见应为电路的输入，设为变量A、B、C，表决结果应为电路的输出，设为L。解：（1）确定输入输出变量ABCL00000101001110010111011100010111（2）列真值表对于变量A、B、C，设同意为逻辑“1”；不同意为逻辑“0”。对于L，设事情通过为逻辑“1”；没通过为逻辑“0”。（3）用卡诺图化简ABC000011111011110000（4）画出逻辑图

（5）将表达式转换成与非—与非表达式：

画出逻辑图:

例2：人类有四种基本血型A、B、AB、O型，输血者和受血者的血型必须符合图示原则，试用与非门设计一个检验输血者和受血者血型是否匹配的电路。OOAABBABAB受血者输血者

解（1）确定输入输出变量依题意：输血者的血型和受血者的血型都是输入变量，二者之间的关系是否符合上述原则为输出函数L。用两个变量的四种组合表示４种血型：00表示O型，01表示A型，10表示B型，11表示AB型。共需４个输入变量，AB表示输血者血型，CD表示受血者血型。对于L，血型匹配设为逻辑1，不匹配设为逻辑0输入输出ABCDL（2）列真值表000010001001011001110101101111101011011111111......0（3）画卡诺图，化简函数0001111000011110

ABCD111111111（5）画逻辑图&1&&&1&LABCD

（4）将最简与－或表达式变换为与非－与非式。【练习】设计一个监视交通信号灯工作状态的逻辑电路。每一组信号灯由红、黄、绿三盏灯组成，如图所示。正常工作情况下，任何时刻必有一盏灯点亮，而且只允许一盏灯亮。而当出现其他状态时，电路发生故障，这时要求发出故障信号，以提醒维护人员前去修理。［解］（1）确定输入输出变量，进行逻辑赋值

取红、黄、绿三盏灯的状态为输入变量，分别用R、A、G

表示；取故障信号为输出变量，以Y表示。规定：灯亮时（R、A、G）为1不亮时（R、A、G）为0正常工作状态（Y）为0发生故障时（Y）为1

（2）根据题意列出逻辑真值表RAGY0

0

00

0

10

1

00

1

11

0

01

0

11

1

01

1

110010111（3）卡诺图化简1010011100

01

11

1001RAG（4）根据化简结果画出逻辑电路图&o&o&o&o1o1o1o&oRAGY例3：有一水箱由大、小两台水泵Ms和ML供水。如图所示。水箱中设置了3个水位检测元件A、B、C。水面低于检测元件时，检测元件给出高电平；水面高于检测元件时，检测元件给出低电平。现要求当水位超过C点时水泵停止工作；水位低于C点而高于B点时Ms单独工作；水位低于B点面高于A点时ML单独工作；水位低于A点时Ms和ML同时工作。试用门电路设计一个控制两台水泵的逻辑电路，要求电路尽量简单。解:(1)确定输入输出变量，列真值表检测元件A、B、C为输入变量，水泵Ms和ML为输出变量。ABCMsML0000000110010XX01101100XX101XX110XX11111A：水位高于A点为0，反之为1；B：水位高于B点为0，反之为1C：水位高于C点为0，反之为1。MS：工作为1，反之为0；ML：工作为1，反之为0(2)卡诺图化简逻辑函数

BCA0001111001Ms11XXXX

BCA0001111001ML11XXXX(3)画电路图1&1OMSABCML例4：设计可逆的4位码变换器。当C=1时，将8421码转化为格雷码，当C=0时，将格雷码转化为8421码。

解：当C=1时，输入x3x2x1x0

作为8421码，输出g3g2g1g0为格雷码；当C=0时，输入x3x2x1x0作为格雷码，输出b3b2b1b0为8421码(1)列真值表输入输出Yi=gi+bi

X3X2X1X0g3g2g1g0b3b2b1b0000000010010001101000101011001111000100110101011110011011110111100000001001100100110011101010100110011011111111010101011100110000000000100110010011101100100010111111110110011011000100110111010(2)画卡诺图，化简表达式X3X2X1X00001111000011110g311111111C=1X3X2X1X00001111000011110g2C=111111111(2)画卡诺图，化简表达式X3X2X1X00001111000011110g1C=1X3X2X1X00001111000011110g0C=11111111111111111(2)画卡诺图，化简表达式X3X2X1X00001111000011110b311111111C=0X3X2X1X00001111000011110b2C=011111111(2)画卡诺图，化简表达式X3X2X1X00001111000011110b1C=0X3X2X1X00001111000011110b0C=01111111111111111（3）逻辑表达式

（4）画逻辑图：（1）、异或门代替与门、或门—简洁（2）、某些输出作为另些输入的条件。（3）、与或换成与非。作业：P1223.4.5；3.4.6；3.4.73.5组合逻辑电路中的竞争冒险3.5.1产生竞争冒险的原因3.5.2竞争冒险的判别方法3.5.3消除竞争冒险的方法3.5组合逻辑电路中的竞争冒险学习要求了解组合电路中的竞争与冒险现象、产生原因及消除方法。

3.5.1产生竞争冒险的原因前面分析和设计组合逻辑电路时，都没有考虑门电路的传输延迟时间tpd

对电路的影响，实际上，由于延迟时间的存在，当一个输入信号经过多条路径传送后又重新会合到某个门上，由于不同路径上门的级数不同或门电路延迟时间的差异，导致到达会合点的时间有先有后，从而可能会使逻辑电路产生错误输出，这一现象称竞争冒险。

3.5.1产生竞争冒险的原因结果，在tpd时间内，电路输出端产生了正向窄脉冲-1冒险Y=AAY0tpdAYA设理想tpd

≠0

时,Y=？tpdAAtpd&1Y干扰信号(毛刺)竞争：同一信号经过不同的路径到达某一点时有时差的现象。冒险：由于竞争而在电路输出端产生尖峰脉冲的现象。

3.5.1产生竞争冒险的原因结果，在tpd时间内，电路输出端产生了负向窄脉冲-0冒险Y=A+AY1tpdAYA设理想tpd

≠0

时,Y=？tpdAAtpd1Y干扰信号产生竞争冒险的原因：主要是门电路的延迟时间产生的。AAtpd&1YAAtpd1Y尖峰脉冲会使敏感的电路（如触发器）误动作，因此，设计组合电路时要采取措施加以避免。一、代数法只要逻辑函数在一定的条件下能化成Y=AA

或Y=A+A

的形式，则可判定其电路有竞