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文档简介

第三章复变函数的积分§3-2Cauchy基本定理§3-3Cauchy积分公式§3-1复变函数的积分

1.有向曲线

2.积分的概念

3.复积分与实积分的联系

4.积分性质

5.积分的基本计算公式计算法

§3-1复变函数的积分§3-1复变函数的积分1.有向曲线有向曲线C的方向规定C－CA(终点)B(起点)－CA(起点)B(终点)C2.积分的概念定义3.1.1

设复变函数

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在光滑或逐段光滑的有向简单曲线L=AB上有定义，沿从A到B的方向在L上依次取分点：

DB(4)

若3.复积分与实积分的联系定理3.1.1证明4.积分的性质5.积分的基本计算公式定理3.1.2证明例1(1)C1是从原点到的有向直线段；(2)C2是从原点到1再到的有向折线段；解

(1)曲线C1的参数表示：Oxy0C1(2)

设曲线C2=C21+C22,其中

曲线C21的参数表示：

曲线C22的参数表示：Oxy10C21C22

由积分曲线的可分性和基本计算公式：例2

证明Oxyz0Ca证明曲线C的参数表示：起点终点

1.Cauchy积分基本定理

2.复合闭路定理

3.原函数、不定积分、路径无关§3-2Cauchy积分基本定理1.

Cauchy积分基本定理Cauchy积分基本定理(1825年)定理3.2.1设f在单连通区域D内解析,则对D内任一条有向闭曲线C,引理3.2.2设f在有向闭曲线C上及其内部解析,则Cauchy积分基本定理的推广定理3.2.3设f在有向闭曲线C上连续，在C的内部解析,则2.复合闭路定理区域的正向边界设区域D的边界是由一条或几条曲线围成,区域D的正向边界曲线Γ的方向规定如下：当观察者沿边界正向前行时区域D在其近处的部分总是在他的右侧。复合闭路定义3.2.1设曲线Γ由m+1条逆时针方向的闭曲线C,C1,C2,…,Cm组成,其中C1,

C2,…,Cm互不相交,互不包含,且都含于C的内部,称Γ=C+C1¯

+C2¯+…+Cm¯是由曲线C,

C1,C2,…,Cm组成的复合闭路。CC1¯C2¯Cm¯G复合闭路定理定理·3.2.4设以复合闭路Γ=C+C1+C2¯+…+Cm¯为正向边界的多连通区域为D。若函数f在Γ上连续,在D内解析,则证明将每个曲线Ck用有向直线段AkBk和

Bk

Ak与曲线C连接起来,则记CC1¯C2¯Cm¯A2B2AmBmA1B1以复合闭路Γ′为正向边界的区域G是单连通的。

f在Γ′上连续,在G内解析,根据Cauchy基本积分定理得：G例3

证明其中曲线C是逆时针方向且包围点z0

的简单闭曲线。

证明：因为曲线C是逆时针方向且包围点z0的简单闭曲线,故可作以z0为中心,充分小的ε>0为半径的逆时针圆周Cε含于C的内部，Oxyz0Cε-Cε例4

计算积分解

函数的全部奇点为:z1=-1,z2=1,均在C的内部。Oxy2-1-1由复合闭路定理知：由C

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