数字信号处理-第6章

第六章小波分析的基本原理及其应用6.1引言

6.2连续小波变换6.3离散小波变换6.4小波分析的应用6.1引

言

小波分析是当前数学分析和信号处理领域中迅速发展起来的一套新理论、新方法，至今才仅有十余年的历史。与传统的傅里叶(Fourier)变换、加窗傅里叶变换相比，小波变换是一个时间和尺度上的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度分析（MultiscaleAnalysis），从而解决傅里叶变换不能解决的许多问题。

因此小波变换被誉为“数学显微镜”。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，并且通过物理的直观和信号处理的实际需要经验地建立了反演公式。早在20世纪70年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究都为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年，著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基与多尺度分析。之后，小波分析才蓬勃发展起来，其中，比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲》(TenLecturesonWavelets)对小波的普及起了重要的推动作用。

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。在许多学科领域，如：信号分析、图像处理、量子力学、军事电子对抗与武器的智能化，计算机分类与识别、数据压缩、医学成像与诊断，地震勘探数据处理、边缘检测、音乐与语音人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等方面，都已获得了广泛的应用。其具体的应用实例包括：数学方面的数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等，信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等，图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等，医学成像方面的缩短B超、CT、核磁共振成像的时间以及提高分辨率，

等等。

现如今，信号处理已经成为当代科学技术的重要组成部分。众所周知，信号处理的目的是准确的分析、正确的诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确的重构或恢复。而小波分析的许多应用都可以归结为信号处理的问题。目前，对于平稳的时不变信号，处理的理想工具仍然是傅里叶分析。但是在实际应用中所遇到的信号绝大多数是非平稳的，小波分析为分析这种非平稳信号提供了有效的处理工具。

6.2连续小波变换

6.2.1从短时傅里叶变换到小波变换由第五章时频分析部分的介绍可知，短时傅里叶变换通过引入一个滑动的窗函数w(t)，然后对窗函数内的信号与窗函数的乘积进行傅里叶变换，再让窗函数沿时间轴移动，就可得到信号频谱随时间变化的规律。这样，

信号x(t)对于给定的窗口函数w(t)的短时傅里叶变换:

（6.2.2）

给出了信号x(t)的时间和频率的二维分布。

对于（6.2.2）式定义的短时傅里叶变换，

如果取高斯(Gauss)函数作为窗函数，即

α>0（6.2.3）

则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯(Gabor)变换:（6.2.4）

不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换，由于使用了一个可移动的时间窗函数，使其具有了一定的时间分辨率。但是，它们还存在一些自身的问题，其中最主要的就是时间分辨率与频率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理,我们不可能知道在任何一个时刻存在何种频率分量，最多我们可以了解在某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间，我们可以准确地确定某一个时间点，但是频率则是另外的一个概念，它指的是在一个时间段内，某一个量的变化次数，这从频率的定义中就可以看得到。

图

6.2.1不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里叶变换结果

6.2.2连续小波变换

1.连续小波变换的定义设x(t)是平方可积函数，记作 ，ψ(t)是基小波或“母小波函数”，则

(6.2.5)称之为x(t)的连续小波变换。显然，该变换与两个参数a和τ有关，其中a>0被称为尺度因子，而τ则反映小波函数在变换中的位移。

之所以命名为小波变换,主要是基于以下两方面的原因：其一，小波的“小”是指它的基函数的支撑区域是有限的，“波”是指基函数是振荡的;母小波则是指所有在变换中用到的窗函数都是由它推导而来，或者说母小波是其它窗函数的原型；其二，变换的概念与短时傅里叶变换是一样的，但是并不像在STFT中得到关于信号的频率参数，而是得到尺度参数，

它被定义为频率的倒数。

对这样的定义方式作如下说明：（1）

基小波函数可能为复函数，例如Morlet小波的表达式为

(6.2.6)它是在高斯包络下的负指数函数。（2）尺度因子的作用是将基小波作伸缩变换，在不同的尺度因子下，小波的持续时间随a的加大而增宽。

（3）在ψaτ前面所加的因子 的作用是保证在不同的尺度因子下的小波函数的能量保持一致。即，设E=∫|ψ(t)|2dt作为基本小波的能量，则对基本小波进行移位和伸缩后得到的ψaτ(t)的能量为

(6.2.7)

2.小波变换与短时傅里叶变换的比较将小波变换与短时傅里叶变换作比较，我们将会看到两者的联系。连续小波变换是短时傅里叶变换的一个发展，它的提出解决了分析的精度问题。两者具有类似的操作，都要与一个“窗函数”相乘，并且变换都是在时间域上分段进行的。小波变换与短时傅里叶变换的不同之处在于：（1）对于加窗后的信号并不是进行傅里叶变换，所以信号变换后的表现形式是不同的；（2）窗函数的宽度在对每一个单独的频谱计算时是变化的，这也是小波变换的一个最显著的特征。

需要明确的是：在小波变换中的尺度类似于地图中的比例尺，大的比例对应的是一个对信号的全局的概略描述，而小的比例则相应地对应于细节性的描述。从信号频率的角度来看，低的频率（大尺度）对应信号的整体信息，而高频率分量则对应于在信号内部隐藏的细节信息。在实际的应用当中，高频分量（对应小波分析的小尺度）一般并不是持续于信号的始终,而是在某些时间段内出现，表现为信号上的尖峰；低频分量通常则是有着长的持续时间。这些是多分辨分析方法的物理基础。在具体计算中，为方便起见，小波变换通常从尺度1开始，其后尺度不断增大，因此对于频率的分析也从高频分析向低频分析的方向进行。在短时傅里叶变换中，不同的时刻和不同的频率上都采用相同的分辨率，而小波变换则对不同的频率分量采取不同的分析精度。

图6.2.2给出了小波变换的分辨率特性的图解。由图示可知，在分析低频成分时采用长的时间窗和短的频率窗，而分析高频成分时则采用短的时间窗和长的频率窗。值得注意的是,小波变换中的变换轴和尺度轴并不是对应于STFT中的时间轴和频率轴，

它们只是在变换运算中的计算的样本。

图

6.2.2小波变换的分辨率特性的图解

3.连续小波变换的频率域表达式在定义了连续小波变换后，

对该表达式进行傅里叶变换,可以得到

其中X(Ω)和Ψ(Ω)分别对应于信号x(t)与母小波函数ψ(t)的傅里叶变换。(6.2.8)式可以由傅里叶分析理论简单得到证明：

所以有

推出

从以上的表达式可以看到,从频域上来看，对信号进行小波变换的傅里叶变换相当于信号的频谱与小波函数频谱共轭的乘积，

因此相应地有如下结论：

（1）如果Ψ(Ω)是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分析信号X(Ω)频域上局部性质的能力。例如，对于Morlet小波 的频谱 便具有这样的特点，

如图6.2.3(a)所示它是中心频率在ω0的高斯型函数。

（2）对应于从母小波函数经过伸缩和平移后得到的小波基而言，膨胀系数a取得越大，则小波基的支撑区域越大，而反映在频域上，则相应的小波基的傅里叶变换的宽度就越大。在后续的部分可以证明：在小波变换的结果中，大的尺度对应的是信号中的低频分量，而小的尺度则对应于信号的高频部分。

（3）采用不同的尺度a作处理时，各个Ψ(aΩ)的中心频率和带宽都不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心频率／带宽”为常数。仍以Morlet小波为例：当a=1时，ψ(t)的傅里叶变换的中心频率为ω0，带宽为 。而取a＝2时,ψ(t/2)的傅里叶变换为 ，因此这时的中心频率为ω0/2，而相应的带宽也降到 ，如图6.2.3(b)所示。显然，两种情况下具有相同品质因数，即图

6.2.3尺度伸缩时小波函数的恒Q性

6.2.3连续小波变换的性质根据连续小波变换的定义,可以得到如下的性质：

1.叠加性如果x(t)的连续小波变换是WTx(a,τ)，y(t)的连续小波变换是WTy(a,τ)，则z(t)=k1x(t)+k2y(t)的连续小波变换是k1WTx(a,τ)+k2WTy(a,τ)。2.时移性质如果x(t)的连续小波变换是WTx(a,τ)，则x(t-t0)的连续小波变换是WTx(a,τ-t0)，也就是说，x(t)的时移-t0对应于小波变换的τ移位t0

。

3.尺度变换如果x(t)的连续小波变换是WTx(a,τ)，则有 的连续小波变换是。

4.交叉项的性质由于连续小波变换是线性变换，满足叠加性，因此不存在交叉项，但是由它引申出的能量分布函数|WTx(a,τ)|2却有以下交叉项的表现：设x(t)=x1(t)+x2(t)，则有其中和分别是 和 的辐角。

5.小波变换的内积定理以基小波ψ(t)分别对x1(t)和x2(t)作小波变换。设x1(t)的连续小波变换是

(6.2.10)x2(t)的连续小波变换是

(6.2.11)其中

则有

式中

(6.2.12)该定理称之为小波变换的内积定理，也称为Moyal定理。

(6.2.12)式可以写为更加明确的形式，

左边的内积是对a和τ的双重积分，有

(6.2.13)6.2.4小波变换的反演以及对基小波的要求

1.容许条件

当

时才能够由函数的小波变换WTx(a,τ)反演出原函数x(t)。这时有

(6.2.14)在上面的表达式中

就是对ψ(t)提出的容许性条件。

从上面的容许性条件我们也可以看到：能够用来作为基小波ψ(t)的函数，最起码要满足Ψ(Ω=0)=0。这说明Ψ(Ω)必须具有带通性质，而且ψ(t)必然是具有正负幅度交替的振荡波形，这也是“小波”之名的由来。

证明

因为

所以

2.能量的比例性根据分析,对连续小波变换能够得到类似于傅里叶分析中的巴塞瓦尔定理的结论，即小波变换的幅度平方的积分和信号的能量成正比,(6.2.15)

3.正规性条件对于函数而言，当满足小波变换的容许性条件时，就可以作为基本的小波函数，但是在实际上的要求往往要更高一些，对基小波函数还提出了“正规性条件”。这是为了使Ψ(Ω)在频域上有更好的局部特性。而为了达到此目的，要求|WTx(a,τ)|随着a的减小而迅速减小。这就要求ψ(t)的前n阶原点矩等于0，而且n值越高越好，即要求：p=1～n

(6.2.16)此要求的相应频域表示为：Ψ(Ω)在Ω=0处有高阶零点，且阶次越高越好（一阶零点为容许条件）,(6.2.17)

式中，n愈大愈好。

4.小波变换的重建核（ReproducingKernel）与重建核方程重建核方程是小波变换的另一个重要性质，它说明小波变换的冗余性。即a-τ在半平面上的各个点的小波变换是相关的。在(a0,τ0)处的小波变换WTx(a0,τ0)可以表示成半平面(a∈R+,τ∈R)上其它各处WT值的总贡献：在上面的表达式中，

(6.2.19)可以看出,Kψ是小波函数ψaτ(t)与 的内积，它反映的是两者的相关程度，称为重建核；而(6.2.18)式称为重建核方程。6.2.5几种常用的基本小波基

1.Morlet小波Morlet小波是高斯包络下的单频率复正弦函数，

即

(6.2.20)(6.2.21)图6.2.4是Morlet小波（ω0=6），其中，实线代表实部，虚线代表虚部。这是一个经常会用到的小波，从它的表达式以及傅里叶变换中我们可以看到，该小波的时域和频域的局部特性都比较好。虽然从严格的意义上来讲，它并不是有限支撑的，同时也不满足容许条件，因为Ψ(Ω=0)≠0。不过在实际工作中，只要取ω0≥5，便近似地满足这一条件。另外，由于Ψ(Ω)在Ω=0处的斜率很小，所以它在Ω=0处的一、二阶导数也是近似为0的。图

6.2.4Morlet小波时频域波形2.Marr小波（墨西哥草帽小波）Marr小波是高斯函数的二阶导数（差负号），

它的表达式如下：

(6.2.22)(6.2.23)其波形图见图6.2.5。在Ω=0处，Ψ(Ω)有二阶零点，所以满足容许条件，而且其小波系数随Ω衰减得很快。Marr小波比较接近人眼的空间响应特性。

图

6.2.5Marr小波时频域波形

3.DOG（DifferenceofGaussian）小波DOG小波是两个尺度差

1倍的高斯函数之差，

其表达式为

(6.2.24)(6.2.25)

其波形图见图6.2.6。它也保证Ψ(Ω=0)=0及 ，即在Ω=0处有二阶零点。

图

6.2.6DOG小波时频域波形

4.Harr小波Harr小波函数是一组互相正交归一的函数集，它是支撑域在t∈0,1］范围内的单个矩形波,即

(6.2.26)由于 ,但 ,因此，Ψ(Ω)在Ω=0处只有一阶零点。Harr小波在时间域上是不连续的，因此作为基小波性能并不是很好，但它同时也具有如下的优点：一是计算方便；二是ψ(t)不但与ψ(2jt)(j∈Z)相正交，即∫ψ(t)ψ(2jt)dt=0,而且也与自己的整数位移正交，即∫ψ(t)ψ(t-k)dt=0。因此，在a=2j的多分辨率系统构成一组最简单的正交归一的小波族。

5.样条小波（SplineWavelet）样条函数在曲线拟合中是用来使拟合的曲线不但本身平滑，而且导数也平滑的函数。因此，它必定是低通函数，不是带通函数，不能用作小波。但是，样条函数却能够导出一组具有带通性质的小波函数。下面对样条小波作以简单说明。三次样条函数在任意两个整数k,k+1之间，用一个三次多项式来表示，而且整个曲线一次连续可微。三次样条小波的频率域表达式是(6.2.27)式中

∑8(Ω)是 的6阶导数。三阶样条小波的图形见图6.2.7，它在

Ω=0处有三阶零点。

图

6.2.7三次样条小波时频域波形

6.Daubechies小波法国学者Daubechies对尺度取2的整数次幂，即a=2j,j∈Z+

条件下的小波变换进行了较为深入的研究,提出了一类具有以下特点的小波，该小波故命名为Daubechies小波。（1）在时域上是有限支撑的，即ψ(t)的长度有限。而且其高阶原点矩 N的值越大，ψ(t)的长度就越长。（2）在频域上，Ψ(Ω)在Ω=0处，有N阶零点。（3）ψ(t)和它的整数位移正交归一，即

有关ψ(t)的若干结果列举如下：（1）小波函数ψ(t)可以由所谓的“尺度函数”（Scalingfunction）φ(t)求出来。φ(t)的长度有限，支撑域在t=0～(2N-1)范围内。图6.2.8左边示出不同N值下的φ(t)波形。（2）

ψ(t)是φ(2t)的位移加权和：

(6.2.28)k的范围为2-2N～1。N值不同，权重gk的值也不同，如表6.2.1所列。由于φ(t)是有限支撑的，因而由式(6.2.28)求得的ψ(t)也是有限支撑的。它的长度和φ(t)一样，也是2N-1，如图6.2.8右边所示。图6.2.8N=2,3,4,5,7,10时各阶Daubechies小波ψ(t)和相 应的尺度函数φ(t)(一)图6.2.8N=2,3,4,5,7,10时各阶Daubechies小波ψ(t)和相 应的尺度函数φ(t)(二)

6.3离散小波变换

从连续小波变换的重建核方程的讨论中可以看到：对一维信号x(t)作小波变换的结果为二维的WTx(a,τ)，其信息是有冗余的。因此从数据压缩以及节约计算的角度上看，我们希望只在一些离散的尺度和位移的取值下计算小波变换，而又不至于丢失信息。这样将具有很大的实用意义。小波变换的离散化首先是变换尺度的离散化，目前通用的做法是对尺度按照幂级数作离散化。即令a取 ,此时对应的小波函数为。

再来看对于位移的离散化，当 时，即对应j=0的情况，τ可以以某一个基本的间隔τ0作均匀地采样。而在其它的尺度下，由于 宽度是ψ(t)的倍，因此采样间隔相应地也扩大为原来的 倍（相当于其频率降低为原来的 ）。也就是说，在某一个j值下沿τ轴以 为间隔均匀采样仍然可以保证信息不丢失。这样，在计算中小波函数ψaτ(t)将被改写为(6.3.1)

记为 。

在这些点上计算得到的小波变换记作：

j=0,1,2,…;k∈Z(6.3.2)这种小波变换通常被称为“离散小波变换”,也称为离散a,τ栅格下的小波变换。在实际的工作中，最常见的情况是取a0=2，此时a取值为20,21,…,2j。如果采用对数坐标，并以ln2为坐标单位，则a的离散值将如图

6.3.1纵轴所示。

图

6.3.1a-τ平面的二进离散栅格

在a=2j

时沿τ轴的相应的采样间隔是2jτ0，即j每增加1，采样间隔将扩大1倍。此时a-τ平面内的采样点将如图6.3.1所示。此时，连续小波变换中的基函数ψaτ(t)变为记为ψjk(t),j=0,1,2,…;k∈Z。为了书写简便，往往认为τ0=1（也就是把τ轴用τ0加以归一），这样就有

(6.3.3)相应地，离散小波变换可表示为

(6.3.4)

在对信号采用离散小波分析之前，首先要解决以下两个方面的问题。问题一：信号的离散小波变换能不能完整地表征信号x(t)？也就是说,由离散小波变换的结果能否稳定地重建信号x(t)?

问题二：是不是任意的函数x(t)都可以表示为以小波函数 为基本单元的加权和，如果是，各个权重cjk应当如何去求？

6.3.1框架的概念定义线性变换[Tx]j=〈x(t),φj(t)〉，简单记作〈x,φj〉,j∈Z。如果要求能够用Tx表征x，则该变换应该至少能够满足下列条件：

(1)惟一性：如果x1=x2，则Tx1=Tx2必定成立。

(2)正变换的连续性：如果x1与x2很接近，则Tx1=〈x1,φj〉(j∈Z)，也必然与Tx2=〈x2,φj〉(j∈Z)很接近。表达成数学形式，也就是要求0<B<∞

这是因为，令x=x1-x2，

代入上式便得到

(6.3.5)

当x1与x2很接近时，‖x1-x2‖2将任意小。由上式可以看到此时 也将任意小，即Tx1

和Tx2很接近。

如果进一步要求此变换的反演也是连续的，这时就要满足下述的第三个要求：

(3)反演连续性：当〈x1,φj〉(j∈Z)与〈x2,φj〉(j∈Z)十分接近时，x1,x2也十分接近。即要求：0<A<∞

(6.3.6)把(6.3.5)式和(6.3.6)式合到一起，

得到如下条件:(6.3.7)合理的Tx变换应该满足以上的条件。满足该条件的［φj|j∈Z］便称为构成一个“框架”。

对(6.3.7)式的含义还可以作这样的解释：范数‖x‖≠0的任意函数，其在框架上的投影〈x,φj〉至少有一个不为0；范数‖x‖≠∞的任意函数，其在框架上的各个投影的平方和必定小于无穷。当A=B时,称之为“紧框架”（TightFrame），此时有 。如果此时不但有A=B，同时还有A=1，则有 。由此可以看出，此时各个φj构成一组规范正交基。设有［φj|j∈Z］，满足如下要求：

（1）

（2）

当

时,便有cj=0，也就是要求［φj|j∈Z］

是一组线性独立的基。此时称［φj|j∈Z］为一组Riesz基。

通过比较,可以看到框架与Riesz基的含义是很相近的，只是后者的要求更强一些，Rieze基除了要满足条件（1）外,还要满足线性独立的要求。

6.3.2通过框架对原函数进行重构如前所述，在A=B=1的情况下，φj是一组规范正交基，因此重建公式是(6.3.8)在紧框架的情况下，重建的工作也不难，表达式为

(6.3.9)但是在的A≠B情况下，重建工作相对而言困难一些。为了说明此点，定义算子F如下：

(6.3.10)并记作g,则其逆运算可以表示为

(6.3.11)令F-1φj=φj,则上式又可以写为

(6.3.12)联系小波变换φj=ψjk,则可以表示为

(6.3.13)(6.3.12)式和(6.3.13)式就是重建的形式上的公式表示。该公式的意义在于指出为对原函数进行重建时所需要的基函数是φj,ψjk,而不是φj和ψjk。但是，此式只具有形式上的意义，还不能直接用于计算，因为ψjk=F-1ψjk的具体计算方法还不明确，而且也不能保证ψjk可以由一个基本小波函数通过位移和伸缩得到：

(6.3.14)只有在(6.3.14)式成立的条件下，才会有

(6.3.15)这样的

称为ψjk（或φj）

的“对偶”（dual）。

(1)也构成一个框架，其上、下界恰好与φj的上、下界成倒数关系,即(6.3.16)(2)在A与B比较接近时，作为一阶近似，可以取：

(6.3.17)因此有

(6.3.18)更确切地说，

此时

其中Rx表示对x(t)作一阶逼近的残差。

(6.3.19)(3)如果希望把φj求得更加精确，

则可以用级数展开：

(6.3.20)式中

Id是单位算子,xId=x。

6.3.3小波框架

(1)小波框架的定义：当由基小波ψ(t)经过伸缩与位移而引出的函数族 ，具有满足(6.3.21)式的要求时，便称［ψjk(t)|j∈Z+,k∈Z］构成一个框架：0<A≤B<∞

(6.3.21)(2)ψjk(t)的对偶函数 也构成一个框架。其框架的上、下界为ψjk(t)框架上、下界的倒数：

(6.3.22)(3)对信号进行重建。

对于紧框架,有

(6.3.23)所以有

(6.3.24)对于一般的情况，当A、B比较接近时，作为一阶逼近，可以取：

(6.3.25)所以

(6.3.26)逼近误差的范数为

(6.3.27)从该式可以看出，A和B越接近，则误差越小。

(4)在一般的情况下，框架中的各个ψjk(t)并不正交，甚至还有可能线性相关，

因此经过框架处理后所含的信息是有冗余的。

在紧框架的情况下,(6.3.28)又，在(j0,k0)处的WT为

(6.3.29)将(6.3.28)式代入(6.3.29)式，可以得到

(6.3.30)式中

和连续小波变换相同，(6.3.30)式给出在任意一点(j0,k0)处小波变换的值与栅格上其它各点的小波变换的内在联系，称之为重建核方程，Kψ被称为重建核。该式说明,并不是任意函数F(j,k)都可以作为离散栅格上的小波变换，而是必须满足(6.3.30)式。只有当Kψ(j0,k0;j,k)=δ(j-j0,k-k0)时，信息才是没有冗余的，此时,各个ψjk(t)相互正交。例如支撑宽度为1的Haar小波便具有这一性质。因为就位移来看，ψ(t-k1)与ψ(t-k2)不重叠，所以相互正交，如图6.3.2(a)所示。就尺度而言，ψj1k(t)与ψj2k(t)也正交，如图6.3.2(b)所示。图

6.3.2Haar小波的正交性

从频率域上看，还可以推导出小波框架的下列性质：

(1)满足小波框架条件的ψjk(t)，其基本小波函数ψ(t)必定满足容许性条件。这是因为由小波框架条件可以演化出下式：

(6.3.31)

可见Ψ(Ω)满足容许条件。

(2)小波框架的频率域表示：

式中

0<α≤β<∞

(6.3.32)

6.3.4多分辨率分析与离散序列的小波变换

1.由理想滤波器组引入

当信号的采样频率满足采样定理要求时，归一化频带ω=Ω/fs被限制在-π～+π之间，fs为采样频率。此时可以分别用理想低通与高通滤波器H0与H1将它分解（对正频率而言）为频带在0～π/2的低频部分，和频带在π/2～π的高频部分，分别反映信号的概貌与细节，如图6.3.3所示。处理后两路输出必定正交（因为频带不交叠），而且由于两种输出的带宽均减半，因此相应的采样频率可以减半，而不至于引起信息的丢失（带通信号的采样频率决定于其带宽，而不是取决于其频率上限）。这就是图6.3.3上在滤波后引入“二抽取”环节的理由。所谓的二抽取,就是将输入序列每隔一个输出一次（例如只取偶数），组成长度缩短一半的新序列。图

6.3.3频带的理想划分示意图

1）频率空间的划分如果把原始x(n)占据的总频带（0～π）定义为空间V0，经过第一级分解后，该空间被分解为两个子空间：低频的V1（频带0～π/2）和高频的W1（频带π/2～π）。经过第二级分解后，V1被分解为低频的V2（频带0～π/4）和高频的W2（频带π/4～π/2）……，如图6.3.4(b)所示，这种子空间的分解过程可以记作：其中,各个Wj是反映Vj-1空间信号细节的高频子空间;Vj是反映Vj-1信号概貌的低频子空间。将上式分别代入，可以看到这些子空间之间有以下的性质：

逐级包含：

逐级替换：

式中,符号⊕表示“直和”;符号ab表示b被a包含。

2）各个带通空间Wj的恒Q特性由图6.3.4(b)可以看到,W1空间的中心频率为 ，带宽为 ；而W2空间的中心频率为，较W1减半，而其带宽为，也较W1减半……。

可见,各个Wj的品质因数是相同的。

3）各级滤波器的一致性各级的低通滤波器H0和高通滤波器H1是一样的。这是因为前一级输出被二抽取，而滤波器的设计是根据归一频率来进行的。例如，第一级H0的真实带宽是 （Ts是采样间隔），其归一化频率则是 。第二级H0的真实带宽是 ，但是归一化频率却仍然是 ，这是因为第二级输入的采样间隔是2Ts，而

4）树形分解带来的好处其一，由于在树形分解中采用的滤波器都是一样的，这样可以大大减少对于滤波器进行设计的工作量。其二，树形分解的计算量较小。如果如图6.3.4所示，在第一级的计算量是c0(≈2×［滤波器阶数］×［总样本数］)，则以后的各级由于样本数的减半，相应的计算量也减半。最后,最重要的是树形分解适应“由粗及精”的多分辨率分析过程。图6.3.4频带的逐级划分示意图其三，信号经过分解后可以进行传输，然后在接收端进行重建。重建是分解的逆过程，其基本步骤如图6.3.5所示，每一个支路先作“二插值”（即在输入序列每两个相邻的样本之间补一个0，使数据长度增加1倍），从而恢复二抽取前序列的长度。然后作相应的低通滤波G0(ω)或者带通滤波G1(ω)，其目的在于平滑补零后的波形，也就是去掉补零后产生的镜像谱。在H0和H1是理想滤波器的情况下，令G0=H0，G1=H1即可。从时域上来看，理想滤波就是将各个样本值乘以插值函数（sinc函数），再移位求和，以恢复原信号。在逐级重建的过程中就实现了对信号由粗及精的观察。

图

6.3.5信号重建示意图

2.由函数空间的剖分对多分辨分析的解释

1）函数空间的逐级划分其出发点与上节相似，即把空间作逐级二分解,从而产生一组逐级包含的子空间：j是-∞～+∞范围的整数，j值越小,空间越大。图6.3.6表示了这一剖分的示意图。而且这样的划分是完整的，这是指：

图

6.3.6函数空间的二剖分

(1)当j→-∞时，Vj→L2(R)，包含整个平方可积的实变函数空间。在逐级包含的情况下，上式等效为：

(2)当j→+∞时，即空间最终剖分到空集为止。在逐级包含的情况下，上式等效为： 。上述的剖分显然保证了空间Vj与空间Wj正交，并且各个Wj之间也是正交的，即：

Vj⊥Wj,Wj⊥Wj’,j≠j′。

。

进一步还要求剖分具有如下的两项特性：

(1)位移不变性：函数的时移不改变其所属的空间。即：如果x(t)∈Vj，则x(t-k)∈Vj仍然成立。

(2)二尺度伸缩性：如果x(t)∈Vj，则必然有2）在上述的基础上对各个子空间内的结构作进一步的分析

(1)子空间V0：设V0中有低通的平滑函数φ(t)，它的整数位移集合｛φ(t-k);k∈Z｝是V0中的正交归一基。称φ(t)为尺度函数（ScalingFunction）。正交归一性可以记为

〈φ(t-k),φ(t-k′)〉=δ(k-k′)(6.3.34)或者记作：

〈φ0k(t),φ0k′(t)〉=δ(k-k′)(6.3.35)其中φ0k是

在j=0时的另一种表现形式。

同时,根据正交归一化性，

有

∫φ(t)dt=1(6.3.36)

因此,在V0中的任意函数必定可以被表示为｛φ0k(t)|k∈z｝的线性组合。也就是说，设P0x(t)代表x(t)在V0上的投影，则必有

(6.3.37)

其中，是线性组合的各个权重，其值求法如下：把上式两边对φ0k(t)作内积，

由(6.3.35)式的正交归一性,得

(6.3.38)

(2)子空间V1：如果φ(t)∈V0，则根据二尺度伸缩性， 必定成立。而且如果｛φ0k(t)|k∈Z｝是V0中的正交归一化的基，则｛φ1k(t)|k∈Z｝，必然是V1空间中的正交归一化基。

即：

(6.3.39)因此,V1中的任何函数，如P1x(t)，必然可以被表示为｛φ1k(t)|k∈Z｝的线性组合：(6.3.40)而且其权重为： 。P1x(t)被称作是x(t)在V1中的平滑逼近。它也同时就是x(t)在分辨率j=1下的概貌，x(1)k也被称为是x(t)在分辨率j=1下的离散逼近。(3)子空间W1：如果在子空间W0中能够找到一个带通函数ψ(t)，其整数位移的集合｛ψ(t-k)|k∈Z｝，构成W0中的正交归一基，则同样根据二尺度变换性，必然有 成立，而且 必然构成W1空间的一组正交归一基：(6.3.41)又由于ψ(t)是带通函数，

所以有

(6.3.42)因此，W1中的任意函数必然可以表示为｛ψ1k(t)|k∈z｝的线性组合。可以这样解释，设D1x(t)是x(t)在W1上的投影，则必然有

(6.3.43)而且权重为(6.3.44)因为在对函数空间的划分中有：V0=V1⊕W1，所以有

或者

(6.3.45)(6.3.46)6.3.5尺度函数和小波函数的一些重要性质

1.二尺度差分方程二尺度差分方程是空间逐级剖分赋予φ(t)和ψ(t)的最基本的性质。它是许多其它的性质的基础。它阐明了任意两个相邻空间划分Vj-1→Vj,Wj内基函数φj-1,k(t),φjk(t)和ψjk(t)之间的内在联系。

由于

而Vj包含在Vj-1中，因此φj0(t)必定可以被表示为φj-1,k(t)=2-(j-1)/2φ(2-(j-1)t-k)的线性组合，因为φj-1,k(t)是Vj-1空间的正交归一基，即(6.3.47)整理后,得

(6.3.48)类似的分析可应用在Wj与Vj-1之间，得

(6.3.49)(6.3.48)式和(6.3.49)式就是二尺度差分方程，h0k与h1k分别是线性组合的权重。它们可以通过如下的计算来得到：(6.3.50)利用相同的方法可以得到

(6.3.51)二尺度差分关系存在于任意两个相邻的分辨级j-1和j之间。需要指出的是,在上面的差分方程中的权重h0k、h1k是与j

的具体值没有关系的，不论是对哪两个相邻的空间,它们的值都是相同的。2.其它性质（1）

h0k、h1k的总和：

（2）

频域关系表达式：

,(6.3.53)(6.3.52)（3）

频率域的初值：

(6.3.54)

（4）递推关系。Φ(ω)、Ψ(ω)与H0(ω)、H1(ω)之间还具有如下的关系：令

则有

(6.3.55)

利用(6.3.55)式给出的递推关系，有时可以用来解析地求得Φ(ω)、Ψ(ω),举例如下：设H0′(ω)=cosω，则有

根据倍角公式：sin2ω=2cosωsinω，上式可以化为

当j→∞时,有sin(2-jω)→2-jω，因此可以将上面的表达式简化为

（5）能量的完整性。由空间的划分的完整性，必然有下面的能量完整性公式的成立：因为且j→∞

时有Vj→〈0〉

所以

(6.3.56)

同时还可以引申出:(6.3.57)

6.4小波分析的应用

6.4.1小波变换用于表征信号的突变特征小波变换的一个重要性质就是具有在时间、频率上突出信号局部特征的能力。在对信号进行表示和描述中，通常信号的奇异点，如过零点、极值点等，更能够刻画信号的细节并在对信号进行区分中起着重要的作用。因此，可以利用信号在多尺度上的综合表现来描述信号，特别是它的突变点或瞬态特征。如果能够通过小波变换提取出这些奇异点，则能够更好对信号进行描述。另外,如果能够由小波变换得到的奇异点重建这些原始信号，则抽取的这部分奇异点还可以用于数据的压缩。

对于此类问题,Mallat作了较多的工作，在他和相关的研究者的工作中，小波变换被定义为如下的卷积形式：(6.4.1)其中，

,即把小波变换看作是信号通过冲击响应

为ψa(t)系统后的输出。

要利用小波变换来表征信号的突变特征，关键问题是分析小波变换的奇异点和信号变化剧烈处间的关系，即本节的主要任务。两者的联系建立在以下两个基本概念的基础上：（1）设θ(t)是一个起平滑作用的低通函数，如高斯函数则如图6.4.1(a)所示，信号x(t)被θ(t)平滑后得到y(t)，再求y(t)的导数z(1)(t)。这与直接用dθ/dt对x(t)进行处理是等效的，这一点使用Laplace变换可以很容易地得到证明。图6.4.1两个等效处理(a)一阶导数情况；

(b)二阶导数情况

（2）

对于任意一个低通的平滑函数θ(t)满足

Θ

其各阶导数，如dθ/dt、d2θ/dt2必定是带通函数。根据傅里叶变换的微分定理，它们的频率特性在Ω=0处必然有零点。

因此

都可以用来作为小波变换的基小波，如图

6.4.2所示。

图

6.4.2与图

6.4.1等效的小波变换

把上述的概念结合起来，便得到如下的结论:

（1）如果ψ(1)(t)是某一个低通平滑函数θ(t)的一阶导数，则可以用ψ(1)(t)对x(t)作小波变换。此时小波变换的零点就是dy/dt=0的点，也就是y(t)的极值点的所在［y(t)是x(t)被θ(t)平滑后的结果］；小波变换的极值点是在d2y/dt2=0的地方，也就是y(t)的转折点，在极限的情况（阶跃）下它也就是阶跃点。

（2）如果ψ(2)(t)是平滑函数θ(t)的二阶导数，则可以用ψ(2)(t)对x(t)作小波变换。此时小波变换为零的点是y(t)的转折点d2y/dt2=0，极限的情况下也就是阶跃点。这些结论对基小波的伸缩也是同样适用的。

图6.4.3是以阶跃式边沿和δ函数的尖峰形式突变作为例子，对上述的分析作图式总结。它也是利用小波变换的过零点和极值点来检测信号的局部突变的基础。由图6.4.3可以看到：对于突变点的位置,有时是由小波变换的过零点来反映的，有时则是由其极值点来反映的。一般而言，根据过零点作检测不如根据极值点，因为过零点容易受到噪声的干扰，而且有时过零点反映的不是突变点，而是信号在慢变化区间的转折点。因此，检测边沿适宜采用如ψ(1)(t)型的反对称形式小波，而检测尖峰脉冲则宜采用如ψ(2)(t)型对称型的小波。图6.4.3用ψ(1)(t)和ψ(2)(t)作小波对阶跃输入及脉冲输入的处理结果

同时需要指出的是,为了使这样的检测有效，必须满足适当的条件：首先， 应当是某一个平滑函数的一、二阶导数；其次，尺度a必须适当，以便能够使y(t)的突变点基本上反映待分析信号x(t)的突变点；第三,只有在适当的尺度下，各个突变点引起的小波变换才能避免交叠干扰。因此，在处理时，需要把多个尺度结合起来综合地进行观察。

由图6.4.3还可以得到如下的结论：（1）当θ(t)是对称的平滑函数时（例如高斯函数），ψ(1)(t)的波形是反对称的［ψ(1)(-t)=-ψ(1)(t)］，ψ(2)(t)的波形是对称的［ψ(2)(-t)=+ψ(2)(t)］。（2）WTa(2)x(t)的波形是WTa(1)

x(t)的导数，因为ψ(2)(t)是ψ(1)(t)的导数。（3）由于δ函数是阶跃函数的导数，因而尖峰脉冲的小波变换大致是阶跃式边沿的小波变换的导数。（4）当x(t)接近δ函数时，由于δ函数具有采样特性，此时的WTax(t)的波形大致与ψ(t)的波形相近。6.4.2小波变换在信号与图像压缩中的应用

1.信号的分解设｛Ｖk｝是L2(R)的一个多分辨率分析，Wk是Vk-1中关于Vk的补空间，对于任何一个f(x)∈L2(R)，设fN(x)是f(x)在VN中的投影，则有(6.4.2)其中，fk(x)∈Vk,gk(x)∈Wk。同时｛φ(2-kx-j)｝和｛ψ(2-kx-j)｝分别是空间Vk与Wk的Riesz基,则fk,gk能够写为(6.4.3)(6.4.4)设｛aj｝,｛bj｝是分解序列，则fk,gk展开系数有如下分解算法：

(6.4.5)(6.4.6)信号分解的数据传递示意图如图6.4.4所示。图中的下箭头表示的是下采样,即只保留原有采样数的一半。

同样,设｛pn｝,｛qn｝是两尺度序列，则有重构算法：

重构的数据传递示意图如图6.4.5所示。图中,向上的箭头表示得到的采样的数目是原来的两倍。

图

6.4.4小波分解示意图

图

6.4.5小波重构示意图

图

6.4.6样条小波对信号的分解

从理论上讲，小波分解与重构是对于L2(R)中的函数进行的，即时域上是无限的，这时无论采样点的间隔取多大，所得到的点都是无限多个。但是在实际的应用当中，信号的点数只可能是有限个。这样在计算过程中涉及信号的起始点与终结点的计算就会发生一些误差。由于在计算过程中，使用的滤波器长度一般都是较短的，因而必须寻找合适的方法来消除这些误差。例如，可以用对称的延拓数据点的方法，设数据个数为M+1个，如c0,c1,…,cM，则可以得到延拓后的新的数据序列，｛c*j｝,j=-L,…,M+L，即数据向前和向后各延伸了L个数据，

这时：

j=-1,-2,…,-Lj=0,1,…,M

j=M+1,…,M+L

(6.4.8)这样，当采样点允许时，可以向前和向后多采L个点或者外推计算L个点来进行计算。但是在分解与重构作图时，这些点不出现（只是参加计算）。值得注意的是，增加的点数与小波、小波包分解的层数以及分解序列的长度都有着密切的关系。通常取L＝层数×分解序列的长度就够了。

2.图像分解利用小波变换对图像进行分解，首先需要介绍二元小波分析的概念。二元张量积小波分析的定义与二维傅里叶变换类似。引入L2(R)空间内积的概念：(6.4.9)又设F和G是两个有限维的线性空间。F和G的基底分别是…,f-1,f0,f1,…和…,g-1,g0,g1,…。此时，由figj(i,j=0,±1,±2,…)的元素为基底的空间H被称为空间F与空间G形成的张量积空间，表示为(6.4.10)

设一元尺度函数φ1(x)生成一个多分辨率分析｛Vk1｝，而一元尺度函数φ2(x)生成一个多分辨率分析｛Vk2｝，则｛Vk1

｝与｛Vk2

｝生成的张量积空间为(6.4.11)由于Vk1的基底是｛2-k/2φ1(2-kx-j)｝，而V2k的基底是｛2-k/2φ2(2-kx-l)｝，因此Vk的基底为｛2-kφ1(2-kx-j)φ2(2-kx-l)｝。同时，设Vk1关于V1k-1的补空间是W1k，V2k关于V2k-1的补空间是Wk2，即(6.4.12)这时有

(6.4.13)其中有

(6.4.14)(6.4.15)这样，由于 的基底为｛2-k/2φ1(2-kx-j)｝，而的基底为｛2-k/2ψ2(2-ky-l)｝，因此的基底为｛2-kφ1(2-kx-j)ψ2(2-ky-l)｝,记作:(6.4.16)

因而有的基底为 ，

同样有

(6.4.17)

(6.4.18)

则 的基底为

的基底为

与一元小波变换只有一个尺度函数与一个小波函数不同的是，二元小波变换中有一个尺度函数φ(x,y)和三个小波函数ψ1(x,y)、ψ2(x,y)、ψ3(x,y)。与一元小波变换类似，由(6.4.13)式，对于二元小波变换我们也有直和分解：(6.4.19)这样，对于每一个f(x,y)∈L2(R)，

都会有惟一的分解形式：

(6.4.20)其中，gk(x,y)∈Wk。

根据上述二元小波分解的讨论，任意给定一个f(x,y)∈L2(R)，设fN(x,y)是f在二元多分辨分析VN中的投影。这时，对fk(x,y)∈Vk，gk(x,y)∈Wk，有(6.4.21)而gk(x,y)还可以进一步分解为

(6.4.22)其中,

设｛al,j｝,｛｝(i=1,2,3)是由两个一元分解序列生成的二元分解序列(6.4.23)有

i=1,2,3(6.4.25)(6.4.24)则有分解算法:(6.4.26)对图像的分解如图6.4.7所示，其中L表示低频，H表示高频，下标1,2表示一级或者二级分解。分解的数据传递示意图如图

6.4.8所示。

图

6.4.7图像的小波分解示意图

图

6.4.8小波分解数据流程图

同样,设｛pl,j｝,｛｝(i=1,2,3)是由两个一元二尺度序列得到的二元二尺度序列，即(6.4.27)因此，相应地有图像重构算法:(6.4.28)图

6.4.9是重构的数据传递示意图。

图

6.4.9小波数据重构示意图

图6.4.10是用双正交小波对256×256点256级灰度的Woman图像的分解图，其中，图(a)为原图，图(b)、(c)、(d)为分解1、2、3次后得到的图像。为了看得清楚，我们对图(b)、(c)、(d)作了适当的图像增强。图

6.4.10双正交小波对Woman图像的分解

对一个图像作小波分解后,可以得到一组不同分辨率的子图像，如图6.4.10(b)、(c)、(d)所示，其中不同分辨率的子图像对应的频率是不同的。从各个子图像中可以看到高分辨率（高频分量）子图像上大部分的数值都接近于0。这种现象在频率增高时变得越发明显，这样也就为对这些点的压缩提供了依据。6.4.3小波变换在数字信号调制识别中的应用

小波变换在数字信号调制识别中也得到了广泛的应用。调制识别可以分为两种类型：一种是对不同调制类型的区分，如对SK、PSK、FSK信号的区分;另一种是对同种调制类型信号的进一步分析，例如对BPSK与QPSK的区别。在小波理论出现之前，对同种类型的信号区分时，可以利用信号的幅度方差来分辨M阶ASK信号；用FFT区分FSK信号；而对于M阶的PSK信号的分辨就存在一定的困难，较为常见的是通过记录信号编码中的相位改变来区分，或者采用信号相位的N阶矩对信号的调制类型来分析。但这两种方法都需要对信号相位进行准确的提取，并且需要对一些信号的参数有先验的知识，如信号的载频、码速率等。

由此可见，现有的大多数方法或者是需要大的运算量（对相位提取的计算，并且需要避免信号重叠），或者需要信号的某些参数的先验知识。因此，在实际应用中存在一定的困难。在下面的讨论中可以看到,利用小波理论对调制方式的识别并不需要有信号的先验知识，并且能对数字信号的调制参数进行有效准确的分析。假设接收到的信号为复数结构,即

(6.4.29)其中，s(t)是一调制信号的复数形式，ε(t)是一个复的高斯白噪声。它的平均功率为：E｛|ε(t)|2｝=2σ2ε，ωc是载波频率，而θc是载波的初始相角。对于PSK信号，可以写为如下形式：(6.4.30)

对于FSK信号有如下形式：

(6.4.31)

对于实际情况，频率的偏移也可以是负数。在(6.4.30)式和(6.4.31)式中，S是信号的功率，而uT(t)是一个单位高度的矩形函数，它的支撑范围为［0,T］，T是一个信号码元的长度。当编码发生变化时，使得被调制信号发生跳变。因此，可采用时频分析对其进行检测。与短时傅里叶变换相似，小波分析也可以用来对信号进行时间与频率的二维分析。对于信号的连续小波变换有(6.4.32)这里,a为变换尺度;τ是小波基的移位;ψ(t)是母小波函数。相对于短时傅里叶变换的固定长度的窗口，通过对小波基的伸缩与平移，小波变换提供了对信号的变分辨率分析。当需要分析的频率增加时，小波变换的窗口将变小，由此产生的子小波将包含有丰富的高频分量，因此,对于信号参数的跳变能够准确定位并且进行重构。这一特性使得小波变换很适合对瞬时参数的探测和分析。

为满足对PSK、FSK信号类型的检测，可以构造一个基于小波变换的检测函数f(t,γ(t))，当参数γ(t)发生变化时,它的输出应该产生跳变，以表明这一参数的改变。因此，它应当具有如下的性质：（1）当信号中没有参数的跳变发生时，检测函数应当输出一个常数：其中，