第七章测量误差分析与数据处理

电子测量授课教师：路辉联系电话：82316487电子邮件：mluhui@163.com第七章测量误差分析与数据处理

7.1测量误差的概念7.2测量误差的分类7.3随机误差的分析7.4系统误差的处理7.5测量数据的处理测量是为确定被测对象的量值而进行的实验过程。被测量的真实大小称为真值。在不同的时、空条件下，被测量的真值往往是不同的；而又是客观存在的确定数值。在测量中，通过实验的方法求被测量的真值时，由于对客观规律的局限性和其它原因，会使测量结果与真值不同，该差别就是测量误差。

测量的价值取决于测量的准确程度。当误差超过一定程度，测量就变得毫无价值，甚至带来很大危害。对测量误差的控制是衡量测试技术水平乃至科技水平的标志。掌握一定的误差理论和数据处理知识，是科技工作者的基本素质之一。研究误差理论的目的，就是要根据误差的规律，合理的设计和组织实验，减小测量误差，确切地评价测量结果中误差的大小，以便得到科学的结论。第七章测量误差分析与数据处理本章主要内容：测量误差:系统误差；恒定系差；累进性及周期性系差；难于消除；粗大误差：明显偏离了真值的测量数据，用莱特准则（3σ)等予以剔除。随机误差：在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号以不可预测的方式变化着的误差称为随机误差。在多次测量中服从统计规律，具有单峰性、有界性、对称性、抵偿性等四大特性。据数理统计的有关原理和实践证明，很多测量结果的测量误差服从正态分布，也有服从均匀分布或其他分布。第七章测量误差分析与数据处理第七章测量误差分析与数据处理随机误差处理方法第七章测量误差分析与数据处理第七章测量误差分析与数据处理第七章测量误差分析与数据处理7.1测量误差的概念测量误差：测量结果与被测量真值的差别。按误差表示方法通常可分为绝对误差和相对误差两项。一、绝对误差（又称绝对真误差）被测量的真值被测量的给出值绝对误差1.精密的仪器------替代真值2.算术平均值----替代真值3.理论给出或计量学作出规定---真值（理想值）测量值注意：△x有大小、符号和量纲；直观，但不反映测量的准确程度。

实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪器或计量器具测量所得之值）来代替真值，即(1)基本定义

（2）修正值定义:与绝对误差大小相等,符号相反的量为修正值C,即测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，它可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式；对自动测量仪器，可将修正值编程贮于仪器中，测量时仪器自动进行修正。被测量的实际值绝对误差的表示往往不能确切地反映测量的准确程度。例：测量两个频率7.1测量误差的概念二、相对误差（相对真误差）是绝对误差与真值的比值7.1测量误差的概念示值相对误差在误差较小时作近似计算含有误差分贝误差相对误差的对数表示。真值测量值分贝误差电压或电流的传输函数为20lg---；是功率传输函数时为10lg---相对误差主要有三种形式：相对误差、引用误差、分贝误差。例：用图中(a)、(b)两种电路测电阻的电压和电流,若电压表的内阻为电流表的内阻为,求测量值受电表影响产生的绝对误差和相对误差,并分析所得结果。解：设被测电阻真值为对图(a)给出值绝对误差相对误差7.1测量误差的概念对图(b)给出值绝对误差相对误差(1).对(a)图时误差

小时,低阻测量，用图(a)对(b)图时误差,大时,高阻测量，用图(b)(2).对(a)图测量不受RI影响，表达式中不含有RI项对(b)图测量不受RV影响，---------

----RV---.相对误差=分数法=百分法=千分法=7.1测量误差的概念引用误差(满度相对误差)为了计算和划分电表准确程度等级的方便而定义绝对误差仪表的量程（满刻度值）电工仪表根据引用误差大小分为七级：表示引用误差不超过的百分比。例：某表等级为S、满读值是Xm，被测量的真值是Xo则绝对误差相对误差绝对误差正比于满度值，Xo越接近Xm越准确。满度测量7.1测量误差的概念用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量程值（上限值－下限值）之比来表示的相对误差例2：欲测一10伏左右电压，两表其一150伏、1.5级，其二15伏、2.5级，该选哪表？解：用表一用表二应选表二。故选择测量仪表要兼顾级别和满度值。7.1测量误差的概念7.2测量误差的分类古典误差理论：系统误差、随机误差和粗大误差三大类。定义：相同条件下多次测量同一量，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时按一定规律变化的误差，叫系统误差。系统误差简称“系差”，用ε来表示。一、系统误差产生原因：测量仪器设备在设计和制作上有缺陷，测量时环境条件与仪器要求不一致，测量方法不完善，测量设备的安装、放置和使用不当，测量人员的不良习惯及生理上的限制。特点：

恒差系：就是当测量条件一经确定，系统误差就是一个客观上恒定的值，多次测量取平均值并不能改变其大小。

变系差：就是在测量条件改变时，一般来说系统误差是变化的，其规律有累进性的，也有周期性的，还有复杂规律变化的。1）累进性系差：在测量过程中误差数值逐渐变化的系统误差（如温漂、时漂）2）周期性系差：在测量过程中误差数值周期性变化的系统误差。恒温箱随环境温度变化而周期性变化。3）按复杂规律变化的系差：尽管误差变化规律复杂，重复测量仍有重复性。可用解析式、表格、曲线表达。处理方法：

采用一定的技术措施来削弱或消除。（由特点决定的）7.2测量误差的分类7.2测量误差的分类表中代表的随机误差与随时间按复杂规律变化的系统误差有着本质的区别。无规律。只有通过大量观测，才能确定其统计规律。二、随机误差定义——在实际相同的条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式[有时大(小)，有时为负(正)]变化着的误差称为随机误差。（没规律、不能预先确定）eg.对某一频率等精度测量10次，得下表：测量序号i测量结果Xi(MHZ)测量序号i 测量结果Xi(MHZ)1

5.000032

6 5.000029 2 5.000029

7 5.000030 3 5.000030

8 5.000033 4 5.000019

9 4.999927

5 4.999931

10 5.000028 产生原因：主要是那些对测量影响微小而又互不相关的多种因素共同造成的，也就是随机因素的影响。就一次测量而言，随差没有规律、不可预定、不能控制，也不能用实验的方法加以消除。但当测量次数足够多时，随差总体服从统计规律，多数情况下接近正态分布，部分属均匀分布或其它分布。7.2测量误差的分类

有界性：（绝对值不会超过一定界限）对称性：（正负值出现的几率相等）具有抵偿性:（当测量次数N趋于无穷时，算术平均值为零）特点:

在多次等精度测量中，随即误差体现了如下特性：处理方法：多次测量取平均值来削弱，即数据处理，而非测量技术。三、粗大误差定义：在一定测量条件下，测量示值明显偏离被测实际值所形成的误差。粗大误差又叫疏失误差。产生原因：有测量条件突然变化的客观原因，如测量过程中供电电源的瞬时跳变；也有测量人员疏忽的原因，如测错、读错、记错等。(就其性质而言，粗大误差可能是过分大的系差，也可能是过分大的随差，因其误差值太大分类时被单独划分为一类误差。）7.2测量误差的分类测量方法不当（方法误差）例：测量图中恒流式差动放大电路中T1管的集电极电位，在集电极与地之间用一台内阻为10M的数字电压表来测量，示值为5V，而用电压灵敏度为20K/V的万用表直流电压6V档来测量，示值只有3V(仪表的准确度影响不计）这可以用图中等效电路来说明。处理方法：粗大误差对应的测量值称为坏值，在测量结果中应予以剔除。此时电表的内阻Rv=20K/V×6V=120KRv与等效电阻Ro的分压就是电表的示值由此可以算出其相对误差可见由于万用表内阻较低，在测量高内阻回路的电压时将会造成很大的方法误差。这时应当选用高内阻仪表等方法测量。随机因素影响，如环境强躁声等测量人员的粗心7.2测量误差的分类下图是三种误差的相互关系示意图Xk:含有粗大误差的测量示值，应剔除。：系统误差，其定义为=M(x)-A：随机误差，其定义为=Xi-M(x)A:实际值（真值）M(x):数学期望，其定义为：因此,测量绝对误差为Xi:第i次测量示值。7.2测量误差的分类四、误差对测量结果的影响及测量结果评价当=0时,则此条件见下图7.2测量误差的分类系统误差的特点：规律性：尽管非常复杂；仍有规律可循。系统误差规律更难于掌握消除方法：系统误差没有比较有效的方法（利用计算机技术加修正值加以修正）；随机误差只可用统计方法正确度、精密度和准确度来评价。正确度：指测量值与被测量真值的接近程度，也就是系统误差大小的程度。

当系统消除了粗大误差和随机误差的影响后，可以用系统误差=M(x)-A表示测量的正确性。精密度：用来表示测量结果中随机误差的大小程度。——精度指测量值重复一致的程度。相同条件下多次测量同一量，每次测量的值越接近，则测量的精密度就越高。因此，精密度表示测量结果中随机误差的分散程度。准确度：是测量结果中系统误差和随机误差的总和，表示测量结果与真值的一致程度。亦称精确度。(a)弹着点很分散-----(b)弹着点很集中但偏向一方-----(c)弹着点集中靶心-----7.2测量误差的分类7.3随机误差的分析前提：认为系统误差不存在一、随机误差的统计特性定理：根据概率理论的中心极限定理可知，如果被研究的随机变量是由大量互相独立、分布规律是任意的随机变量共同作用的结果。而其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用，则一般可以认为这个随机变量服从正态分布，即高斯(Gauss)分布。测量中随机误差的分布及在随机误差影响下，测量数据的分布大多接近于服从正态分布。这时测量随机误差及测量数据分布的概率密度分别为—随机误差X

—测量值 —测量值分布均方差

Mx—X的数学期望正态分布曲线的特性误差方程与X的分布形状相同，坐标差M(x),分散程度一样，标准偏差也完全相等。可讨论一个。概率密度7.3随机误差的分析随机误差分布成轴对称单峰曲线；标准偏差小，峰点高，几率大，X集中，精密度高；------------大，----低，----小，--分散，------低；7.3随机误差的分析结论：由图可见，按正态分布的随机误差具有如下特性：绝对值相等的正、负误差出现的概率相同——对称性绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大——单峰性在一定测量条件下，绝对值很大的误差出现的概率近于零，亦即可以认为误差的绝对值实际上不超过一定界限。

——有界性从对称性可以推出，当n时，正负误差相互抵消，则各误差的代数和随着测量次数n的无限增加而趋于零。——抵偿性上述四个特点，有时也称为随机误差的四个公理。（前面讲过三个）须注意的是：对随机误差作概率统计处理时，=0

随机误差不可能做逐个消除地技术性处理。7.3随机误差的分析7.3随机误差的分析二、数学期望和算术平均值

1、数学期望：M(x)如果等精度测量某一被测量n次，所得测量值,该被测量的算术平均值为当测量次数n时，平均值

的极限就是测量值的数学期望

7.3随机误差的分析算术平均值的意义：

在进行等精度测量时，对真值为A的物理量进行次独立的测量，测量值为 其随机误差分别为，虽然其中任意一次测量值对它的数学期望都有一定的偏离，而且偏离的大小和方向没有规律。但是从统计的观点看，这一系列测量中的随机误差分布以及在随机误差影响下测量数据的分布是完全确定的。即一定。则各次测量应有相同的数学期望和标准偏差。既单次测量=m个测量值次测量值平均值的数学期望根据概率论中关于“个随机变量之和的数学期望等于各个随机变量的数学期望之和”举例：和之期望期望之和7.3随机误差的分析2、有限次测量时测量值数学期望的估计若用作为未知参数的估计值，判断这种估计值是否恰当。最常用的有两个原则，即估计的一致性和无偏性。当样本容量无限增大，若估计值依概率收敛于，则称为的一致估计值。若估计值的数学期望等于，则称为的无偏估计值，这种估计叫无偏估计。符合估计的一致性给定值作为的估计值是符合这两个原则的7.3随机误差的分析所以：算术平均值可作为最后的测量结果，并称为最佳估计值。又3、剩余误差各次测量值与算术平均值之差称为剩余误差两个性质：剩余误差的代数和等于零。（可检验是否正确）剩余误差的平方和为最小。即7.3随机误差的分析三、标准偏差的计算——随机误差离散程度的表示方法

1、测量数据组中某单次测量的标准偏差标准偏差的定义：对某一量进行多次等精度测量，测量值为：，当n时，测量值与数学期望之差的平方取统计平均后再开平方所得值x)即为标准偏差。称为方差。从统计学的观点看；只要系统、条件、被测量不变，那么该系列测量具有相同的数学期望和标准偏差。的符号可以是“+”或是“-”，取其平方使其负值变为正值，使得较大的作用更明显。7.3随机误差的分析2、算术平均值的标准偏差在有限次等精度测量条件下，如果测量分为m组，每组测量n次，共得m个算术平均值、…。但它们并不相同，也是随机变量。因而也有一定的分散性，其分散性用算术平均值的标准偏差来评价。因是等精度测量，所以具有相同的数学期望和标准偏差：测量值平均值的方差当n为有限次数时，则用标准偏差估值代替标准偏差。所以算术平均值的标准偏差估值为上式说明：次测量值平均值的方差比总体或单次测量的方差小n倍，或者说比标准偏差小倍。物理意义：若被测量的总体中，各测量值由于随机误差的影响，分布在M（x）附近，分散的程度可以用x)来描述。由于在平均过程中随机误差相互抵消，所以x

的分布相对集中了，既比x)变小了。（P39例5）3、用有限次测量数据估计测量值的方差---标准偏差的估值—贝塞尔公式N-1—自由度证明见P36-37贝塞尔公式是用有限次测量值估计方差的公式；广范应用于科研当中，较好的计算器都有按键，用符号S表示。通过按键输入几个数据，即可算出X及的值。7.3随机误差的分析用剩余误差表示算术平均值的标准偏差的估值为：在n次等精度测量中算术平均值的标准偏差估值比单次测量的标准偏差估值小倍。当n愈大时，则愈小，测量的精密度愈高。估计值愈接近实际值取多大，一方面取决于测量精密度的要求，一方面还要保证测量条件不变（温度、电源电压等）值随n增大而下降。但当n>10以后，值减小变得缓慢，又因测量次数n愈大，则测量时间愈长，这样就愈难以保证等精度的测量条件，故一般n为8-12较为适宜。7.3随机误差的分析四、极限误差的确定与粗大误差的判别1、置信概率与置信区间通过以前的方法求得数学期望和标准偏差以后，就可以讨论置信问题。

为与通常意义上的概率相区别而称为置信概率。当知道了某被测量的分布曲线后，就希望知道测量数据处于m(x)附近的某区间内的可能性（概率）有多大；或知道多次测量的标准偏差，而根据被测值估计其数学期望在什么范围（区间）内。测量值x处于区间m(x)±cσ(x)的概率与m(x)处于区间x±Cσ(x)的概率是相等的。置信概率与置信区间总是联系在一起的。明确一方才能讨论另一方。减小c(x)可剔除异常数据7.3随机误差的分析7.3随机误差的分析从数学上讲[M(x)-C(x)]<x<[M(x)+C(x)]与[X-C(x)]<M(x)<[x+C(x)]是完全等价的正态分布的测量值在对称区间的置信概率7.3随机误差的分析于是：置信概率：描述测量值的误差处于某一范围内的可靠程度，用Pc表示。置信区间：置信概率的相应误差范围的值。求概率Pc既是求正态分布曲线在对称区间的积分，即概率密度曲线在对称区间[-c,c]内的面积。选择不同的系数，就有不同的区间宽度，对应不同的面积，既不同的概率。从附录1正态分布在对称区间的积分表A(P118)，可由不同的系数，查到对应的概率；根据不同的概率，就可以查到相应的系数C,确定相应的区间。7.3随机误差的分析Eg:已知某被测量的测量值服从正态分布,测量中系统误差可以忽略。分别求出置信区间为真值附近的三个区间Xo(x),Xo2(x),Xo3(x)时的置信概率。解：Xo=M(x),C=1,2,3经查表，得置信概率为P[|X-Xo|<(x)]=P[|Z|<1]=68.3%P[|X-Xo|<2(x)]=P[|Z|<2]=95.5%P[|X-Xo|<3(x)]=P[|Z|<3]=99.73%

超出此范围的概率=1-Pc：表示测量可靠性，称置信水平。7.3随机误差的分析C=1C=2

C=3

说明:当系数为1时，置信水平约为1/3，既约有2/3的测量数据可能在区间内，1/3的数据落在区间外。查阅误差函数表，可求出在给定区间内出现的概率，如图阴影区域。其曲线数据如下：C=1P{-<<+}=P{||<}=0.682689C=2P{-2<<+2}=P{||<2}=0.954500C=3P{-3<<+3}=P{||<3}=0.997300C=4P{-4<<+4}=P{||<4}=0.999937由此可知，一组等精度测量数据中，大约有68.3%的误差值不超过，绝对值小于2的误差约占95.5%，绝对值小于3的误差约占99.7%。如能求出一组等精度测量数据的标准偏差值，就可给出任一次测量数据大致不会超出的误差范围。这个误差范围称为:C——置信因数，取决于分布律和置信概率误差极限Eg2.已知某电压的测量中不存在系统误差。测量值属于正态分布，电压的真值Vo=10V,测量值的标准偏差(v)=0.2V,求测量值出现在9.7V-10.3V之间的置信概率。解：由于测量中不存在系统误差，真值Vo等于数学期望M(v),由题可知置信区间在Vo附近的范围。C(v)=10.3-10=10-9.7=0.3V则系数

查附录I表A可得置信概率：P[9.7V<V<10.3V]=P(|Z|<1.5)=86.6%P44例87.3随机误差的分析2、单次测量值的极限误差确定当已知n时的值，单次测量Xi的置信区间也就是极限误差，用=C表示。当又知误差是按正态分布的，则一般规定C=3，即极限误差为x=3。其置信概率为Pc=99.73%.

如用单次测量值Xi表示测量结果时，可写为

A=3

上式含义是被测量的实际值在3的数值范围内。在正态分布情况下，可根据多次测量值求出X=M(X)，及（x），从而确定置信问题。3、有限次测量情况下的置信问题（由正态分布到t分布）7.3随机误差的分析7.3随机误差的分析设随机变量：同前述一样设自变量

而在有限次测量的情况下，并不知道总体标准偏差，只能根据贝赛尔公式求标准偏差的估值或平均值的标准偏差的估值。

X服从正态分布时，它的均值X也服从正态分布,由于上式中的不服从正态分布，而服从于t分布，故自变量ta（也是一个类似于c的系数）亦服从t分布。既(student)学生氏分布。相对于正态分布增加了自由度的影响，既测量次数不同则有不同的置信概率。7.3随机误差的分析t分布的概率密度为式中K>20,t分布和正态分布曲线接近,n时,t分布与正态分布完全相同。K<20,有限次测量，t分布更符合实际。采用t分布可使置信区间估计值更精确。可认为t分布中包括了正态分布，正态分布是t分布中的一个特例。由t分布概率密度，可用积分方法求其概率：P47例97.3随机误差的分析4、有限次测量的单次测量值极限误差的确定当测量次数n<20时，其极限误差可表示为被测量实际值可以表示为当测量次数n>20时，其t分布接近正态分布，故可运用正态分布求得其t取值t=3,即按正态分布的Pc=99.73%取t值。被测量实际值可以表示为5、粗大误差的判别准则:根据随机误差的第三条公理“有界性”介绍两种常用的判别准则：7.3随机误差的分析莱特准则（3准则）定义：假设对某量进行n次等精度测量得,其剩余误差 当其中则认为测量值是坏值，应给予剔除。上述判断法称为莱特准则，也称3准则。

格茹布斯(Grubbs)准则:根据数理统计方法推出，含义明确、较科学。在n次等精度测量中，如果某个测量值Xk的剩余Vk值为则认为Xk是坏值，应给予剔除。系数G除包含n外，还给出置信概率，使用更加方便。参见附录三(P123)7.3随机误差的分析五、随机误差的均匀分布-----正态分布之外的一种最主要分布均匀分布的特点：在其分布范围内，测量值或测量误差出现的概率密度相等。产生的主要原因：仪器最小分辨力限制引起的误差;

数字显示仪器的个字；四舍五入处理；对误差分布并不了解，只知大致范围时。分辨力——测量仪器可能检测出被测信号最小变化(准确值)的能力。灵敏门值——测量仪器不能检测出的被测信号最大变化范围值。7.3随机误差的分析(一)均匀分布的概率密度概率密度x)为x)=kaxb

=0x<a;x>b

由于均匀分布的范围是由a到b，因此概率为：(axb)a-b之间的概率密度：(二)数学期望与标准误差对于测量值x连续取值，其数学期望定义式为：（定义式）7.3随机误差的分析对于测量值x连续取值，其标准误差定义式为：Eg:用满量程为250mA，分辨力的灵敏门值为2mA，问测量电流的示值为200mA时，其实际值的范围及标准误差为多少？解:由于分辨力造成的随机误差，其出现的概率密度是属于均匀分布的。因此对于示值为x=200mA,其实际值是在其随机误差的标准误差为7.4系统误差的处理大多具有不易掌握的规律，没有通用处理方法可用。一般是先检验误差是否存在，判断产生原因及误差范围。一、系统误差的检验当测量次数为n时，其算术平均值为：当测量次数n足够多时，由于随机误差的抵偿性1、恒定系差的检验

送检，给出校正后的修正值。可用同类型仪器进行测量。自校准。7.4系统误差的处理2、变值系差的检验(1)剩余误差观察法使某一条件（如温度）有规律的变化，记录测量值。作成表格或曲线。(2)马列科夫判据该判据用来发现累进性系差。其方法是将n次等精度测量的剩余误差按先后次序排列为V1,V2,...,Vi,...,Vn,把它们按先后等分为两部分并求其差值。7.4系统误差的处理

(3)阿贝—赫梅特判据该判据用以判别周期性系差是否存在。若则说明该测量数据列中存在周期性系差。当n为偶数时求当n为奇数时求若M0，则认为该测量数据列不存在累进性；若M值明显地不为零，而且|M|>||则说明存在累进性系差。注意：变系差使测量值偏离正态分布，因而有变系差的测量数据原则上应舍弃不用，重新测量。代替法交换法7.4系统误差的处理二、系统误差的消弱法1、消除产生系差的根源。(仪器、环境、人身和方法）2、修正测量值。（利用仪器的修正值）3、利用典型的测量技术零示法使被测量对仪表的作用与已知标准量的作用相平衡，使仪表示零。无电流，不需读数，无负载效应，只取决于标准电池、电阻和G的灵敏度。系统误差可忽略不计的准则是：系统误差或残余系统误差代数和的绝对值不超过测量结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。7.5测量数据的处理一、有效数字的概念若截取得到的近似数其截取或舍入误差的绝对值不超过近似数末位的半个单位，则该近似数从左边第一个非零数字到最末一位数为止的全部数字，称之为有效数字。例如：

3.142 四位有效数字，极限误差≤0.00058.700 四位有效数字，极限误差≤0.00058.7×103二位有效数字，极限误差≤0.05×1030.0807三位有效数字，极限误差≤0.00005中间和末尾的0都是有效数字，而开头的零不是有效数字。绝对值比较大（或比较小）而有效数字又比较少的测量数据，应采用科学计数法，即a×10n，a的位数由有效数字的位数所决定。(1)第n+1位小于5则第n位不变(2)第n+1位大于5则第n位为1(3)第n+1位等于5时

(A)在第n+2位有不为“0”的数则第n位加1.(B)在第n+2位为“0”或无数字时，当第n位为偶数则第n位不变；当第n位为奇数则第n位加1。为了增加尾数为偶数的机会。二、有效数字的处理1、数字的舍入规则例：将下列数据舍入到小数第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12注意：舍入应一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正确结果为0.69，错误做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。7.5测量数据的处理7.5测量数据的处理例：用一最小刻度为的米尺来量一长度如图，对X的读数有各种写法如：哪一种合理？的写法是最合理的，的写法是不合理的。例：有效数字的运算规则：1）加、减法运算加法、减法运算：以小数点后位数最小的为准（各项无小数点则以有效位数最少者为准），其余各数可多取一位；2）乘、除法运算两个量相乘（相除）的积（商），其有效数字位数与各因子中有效数字位数最少的相同。3）乘方、开方运算其结果可比原数多保留一位有效数字。4）对数运算对数的有效数字的位数应与其真数相同。在所有计算式中，常数π,e的数值的有效数字位数，认为是无限制，需要几位就取几位。表示精度时，一般取一位有效数字，最多取两位有效数字。7.5测量数据的处理7.5测量数据的处理三、等精度测量结果的数据处理步骤:(1)将测量结果列成表格(2)求出算术平均值

(3)检查计算有无错误，先计算每一个Xi的相应的剩余误差。如果计算无错误，理论上应满足or如上式不等于0，就说明计算有错误。但是这个结论只有当为可除尽的小数时才是严格成立的。一般情况下，由于四舍五入引