二维图形变换和显示

二维图形变换和显示第一页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-2内容二维图形显示流程坐标体系窗口与视区的变换直线裁剪多边形裁减文本裁减二维几何变换第七章第八章第二页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-3对第六章函数图形绘制的思考第三页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-4二维图形显示流程第八章第七章第四、五章第二章第四页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-5坐标体系建模坐标系MC（ModelingCoordinateSystem）局部坐标系。相对于世界坐标系，建模坐标系是依赖于物体本身而建立的。物体在建模坐标系中表示相对简单，易于描述。取值范围为整个实数域。世界坐标系WC（WorldCoordinateSystem）用户坐标系或全局坐标系（一般为右手坐标系）。主要用于图形场景中的所有图形对象的空间定位、观察者（视点）的位置和视线的定义。取值范围为整个实数域。第五页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-6坐标体系第六页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-7坐标体系第七页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-8坐标体系观察坐标系VC（ViewingCoordinateSystem）观察坐标系通常是以视点的位置为原点，通过用户指定的一个向上的观察向量来定义的坐标系（一般为左手坐标系，但在OpenGL中观察坐标系为右手坐标系）。主要用于从观察者的角度对整个世界坐标系内的场景进行观察，以便简化几何物体在视平面（又成为成像面或投影面）上成像的数学演算。视平面（成像面/观察平面）坐标系是一个二维直角坐标系统。主要用于计算物体在成像面上的投影。可进一步在投影面上定义一个称之为窗口的矩形区域来实现部分成像。第八页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-9坐标体系设备坐标系DC（DeviceCoordinateSystem）对于显示器，也称屏幕坐标系。图形的显示是在设备上进行的，在设备上描述图形的坐标系称为设备坐标系。取值范围为整数的有限区域。规范化设备坐标系NDCNormalizedDeviceCoordinateSystemNDC为虚拟坐标系，与具体的设备无关，取值范围[0，1]NDC主要用于联系WC和DC，使两种坐标系建立一一对应的关系。第九页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-10窗口与视区窗口(window)在WC中定义一个矩形区域,该区域内的对象将予以显示。视区(viewport)在DC或ScreenWindow中定义一个矩形区域,所有在窗口内的对象都将显示在该区域中。第十页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-11点的绘制-示例2_2第十一页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-12点的绘制-示例2_2

voidSetupRC(void){glClearColor(1.0,1.0,1.0,0.0);//setwhitebackgroundcolorglColor3f(1.0f,0.0f,0.0f);//setthedrawingcolorglPointSize(4.0);glMatrixMode(GL_PROJECTION);glLoadIdentity();//gluOrtho2D(0.0,640.0,0.0,480.0);gluOrtho2D(0.0,4.0,-1.0,1.0);//在世界坐标中定义窗口

}for(GLdoublex=0.0;x<4.0;x+=0.005){GLdoublefunc=exp(-x)*cos(2*3.14159265*x);glVertex2d(x,func);}glEnd(); glFlush(); 第十二页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-13进一步剖析示例2_2问题：如果用户想从不同的位置、角度和方位观察世界坐标系中物体的各个部分时，应该如何实现？由用户的视点可以确定一个观察坐标系，因为视点位于世界坐标系中，所以观察坐标系也位于世界坐标系中。默认状态，观察坐标系与世界坐标系重合。观察坐标系确定的平面，称为观察平面。所以对于二维情况，默认状态下，观察平面是世界坐标系XOY确定的平面。而观察窗口就建立在观察坐标系的观察平面上。这也就解释了为什么默认状态下，我们说观察窗口建立在世界坐标系中的原因。第十三页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-14进一步剖析示例2_2021-1xy默认状态下，观察坐标系与世界坐标系的关系。uv第十四页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-15进一步剖析示例2_2因为在程序中并没有调用gluLookAt函数，所以视点处于默认状态。gluLookAt函数用于确定视点的位置和方位。为了定义观察坐标系，必须指定：观察参考点（Viewreferencepoint—Eye）观察方向点（Look-atpoint—Look）观察正向（View-upvector

—Up）n=eye-looku=upxnv=nxu定义观察平面第十五页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-16进一步剖析示例2_2一、改变视点Eye的位置，Up和Look不变。021-1xyuv第十六页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-17进一步剖析示例2_2二、只改变Up；Eye和Look为默认值。021-1xyuv第十七页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-18进一步剖析示例2_2三、改变Eye和Up，Look为默认值。021-1xyuv第十八页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-19示例2_2小结在世界坐标系中建立观察坐标系，并且在观察坐标系所在的观察平面上建立观察窗口，经窗口裁减操作后，将窗口内的图形映射到屏幕窗口的视口中，这种映射称为窗口-视口映射，或简称窗视变换。由于物体在世界坐标系中定义的，而裁减窗口在观察坐标系中定义的，在进行窗视变换前，还需要进行世界坐标系到观察坐标系的变换——观察变换。即，物体重新定义在观察坐标系中。这样便于后面要讲的窗视变换。注意：gluLookAt函数完成物体从世界坐标系到观察坐标系的变换。第十九页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-20窗口到视区的变换xw-xwmin xv-xvmin

─────＝─────xwmax-xwminxvmax-xvminyw-ywminyv-yvmin─────＝─────ywmax-ywminyvmax-yvmin

xw-xwminxv=xvmin+─────(xvmax-xvmin)xwmax-xwmin

yw-ywminyv=yvmin+─────(yvmax-yvmin)ywmax-ywmin(Xvmin,Yvmin)(Xvmax,Yvmax)第二十页，共七十七页，2022年，8月28日

xw-xwminx=xvmin+─────(xvmax-xvmin)xwmax-xwmin

x1=50+(20-10)(250-50)/(35-10)=130(20,25)(30,20)10,1035,300W130,52x2=50+(30-10)(250-50)/(35-10)=210210,120050,40250,200Vy1=40+(25-10)(200-40)/(30-10)=52y2=40+(20-10)(200-40)/(30-10)=120第二十一页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-22窗口到视区的变换-示例位于世界坐标的窗口中第二十二页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-23二维裁剪第八章第七章第四、五章第二章第二十三页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-24二维裁剪直线段裁剪直接求交算法Cohen-Sutherland算法中点分割算法Liang-Barskey算法多边形裁剪Sutlerland_Hodgman算法Weiler-Athenton算法文本裁减第二十四页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-25基本概念裁剪确定图形中哪些部分落在窗口之内，哪些落在窗口之外,以便只显示落在窗口内的那部分图形。这个选择过程称为裁剪。图形裁剪算法，直接影响图形系统的效率。窗口第二十五页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-26点的裁剪图形裁剪中最基本的问题。假设窗口的左下角坐标为(xL,yB),右上角坐标为(xR,yT)，对于给定点P(x,y),则P点在窗口内的条件是要满足下列不等式：

xL<=x<=xR

并且yB<=y<=yT(xL,yB)(xR,yT)第二十六页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-27直线段裁剪直线段裁剪算法是复杂图形裁剪的基础。复杂的曲线可以通过折线段来近似，从而裁剪问题也可以化为直线段的裁剪问题。直线与窗口的关系整个线段全在窗口内(完全可见)整个线段全在窗口外(显然不可见)线段部分在窗口外，部分在窗口内提高裁剪效率快速判断情形(1)(2)，对于情形(3)，设法减少求交次数和每次求交时所需的计算量。第二十七页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-28直接求交算法第二十八页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-29Cohen-Sutherland裁剪基本思想第一步：判别线段两端是否都落在窗口内，如果是，则线段完全可见；否则进入第二步。判别线段是否为显然不可见，即线段的两端点均落在窗口某边所在直线的外侧，如果是，则裁剪结束，否则进入第三步。第三步：求线段与窗口边延长线的交点，这个交点将线段分为两段，其中一段显然不可见，丢弃。对余下的另一段重新进行第一步、第二步判断，直至结束。第二十九页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-30Cohen-Sutherland裁剪基本原理首先用窗口四条边所在的直线将整个二维平面分成9个区域，每个区域赋予一个四位的编码CtCbCrCl，它表示该区域与窗口的四个相对坐标位置：上，下，右，左的关系。任何位赋值为1，代表该区域落在相应的位置上，否则该位为0。则裁剪窗口的编码为0000。然后确定待裁剪线段的两个端点的编码，即为它所在区域的编码。000010001001101000010101001001100100oxyxminxmaxyminymaxP1P2P3P4第三十页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-31Cohen-Sutherland裁剪一旦给定所有的线段端点的区域码，就可以快速判断哪条直线完全在剪取窗口内，哪条直线完全在窗口外。所以得到以下规则：如果两端点的编码均为0000，表示该线段在窗口内。如果两端点的编码相与不为0000，表示该线段在窗口外。否则需计算线段与窗口（或延长线）的交点，计算交点编码，以交点作为裁剪线段的新端点，重复（1）（2）（3）。直线裁剪程序演示结果第三十一页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-32Cohen-Sutherland裁剪例如:01010010010000100000001000000000第三十二页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-33Cohen-Sutherland算法描述BOOLdone,draw;

done表示是否完成，draw表示是否可见；

unsignedcharcode1,code2；端点1，端口2的编码While(!done){if(判断code1,code2,若为第一种情况){done=TRUE;draw=TRUE;}elseif(为第二种情况){done=TRUE;draw=FALSE; } else{检查在窗口外的端点;

求线段与窗口的交点，以该交点为新的端点；

}}第三十三页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-34Cohen-Sutherland裁剪如何判定应该与窗口的哪条边求交呢？对于线段AD，D点编码中CL＝1，而A点编码中的CL=0，则知道AD和窗口的左边所在的直线相交。在程序中，求交测试的顺序是固定的。不妨假定求交测试的顺序为窗口的左边、右边、下边、上边。按照这个顺序，线段EJ和窗口四边被求出的交点顺序为F，I，H，G。从而该裁剪算法在最坏的情况下，一条线段在裁剪时需要求交4次。第三十四页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-35Cohen-Sutherland算法描述if(LEFT&code!=0){x=XL; y=y1+(y2-y1)*(XL-x1)/(x2-x1);}elseif(RIGHT&code!=0){x=XR; y=y1+(y2-y1)*(XR-x1)/(x2-x1);}elseif(BOTTOM&code!=0){y=YB; x=x1+(x2-x1)*(YB-y1)/(y2-y1);}elseif(TOP&code!=0){y=YT; x=x1+(x2-x1)*(YT-y1)/(y2-y1);}

如何判定应该与窗口的哪条边求交呢？编码中对应位为1的边。计算线段P1(x1,y1)P2(x2,y2)与窗口边界的交点具体算法见p140第三十五页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-36Cohen-Sutherland算法小结本算法的优点在于简单，易于实现。它可以简单的描述为将直线在窗口外边的部分删去，按左，上，右，下的顺序依次进行，处理之后，剩余部分就是可见的了。在这个算法中求交点是很重要的，它决定了算法的速度。本算法对于其它形状的窗口未必同样有效。特点：用编码方法可快速判断线段的完全可见和显然不可见。第三十六页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-37中点分割算法基本思想：从P0点出发找出离P0最近的可见点，和从P1点出发找出离P1最近的可见点。这两个可见点的连线就是原线段的可见部分。与Cohen-Sutherland算法一样首先对线段端点进行编码，并把线段与窗口的关系分为三种情况，对前两种情况，进行一样的处理；对于第三种情况，用中点分割的方法求出线段与窗口的交点。A、B分别为距P0

、P1最近的可见点，Pm为P0P1中点。P0P1PmAB第三十七页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-38中点分割算法从P0出发找距离P0最近可见点采用中点分割方法先求出P0P1的中点Pm；若P0Pm不是显然不可见的，并且P0P1在窗口中有可见部分，则距P0最近的可见点一定落在P0Pm上，所以用P0Pm代替P0P1；否则取PmP1代替P0P1；再对新的P0P1求中点Pm。重复上述过程，直到PmP1长度小于给定的控制常数为止，此时Pm收敛于交点。从P1出发找距离P1最近可见点采用上面类似方法P0P1PmAB第三十八页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-39多边形裁剪错觉：直线段裁剪的组合？新的问题边界不再封闭，需要用窗口边界的恰当部分来封闭它，如何确定其边界？一个凹多边形可能被裁剪成几个小的多边形，如何确定这些小多边形的边界？第三十九页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-40Sutherland-Hodgman算法逐边裁剪算法—分割处理策略将多边形关于矩形窗口的裁剪分解为多边形关于窗口四边所在直线的裁剪。流水线过程(左上右下)：前边的结果是后边的输入。对左边剪取对上边剪取对右边剪取对下边剪取第四十页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-41Sutherland-Hodgman算法基本思想一次用窗口的一条边裁剪多边形考虑窗口的一条边以及延长线构成的裁剪线，该线把平面分成两个部分:可见一侧；不可见一侧多边形的各条边的两端点S、P（设P为当前处理顶点，S为已经处理的前一个顶点）。它们与裁剪线的位置关系只有四种：第四十一页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-42Sutherland-Hodgman算法情况（1）仅输出顶点P；情况（2）输出0个顶点；情况（3）输出线段SP与裁剪线的交点I；情况（4）输出线段SP与裁剪线的交点I和终点P第四十二页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-43Sutherland-Hodgman算法算法描述：while对于每一条窗口边{if(P1在窗口边的可见一侧)输出P1

fori=1到n{ifPi在窗口边的可见一侧

{if(Pi+1在窗口边的可见一侧)输出Pi+1

else计算交点并输出交点}

elseif(Pi+1在窗口边的可见一侧)计算交点并输出交点，同时输出Pi+1

}}第四十三页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-44Sutherland-Hodgman算法算法分析对凸多边形应用本算法可以得到正确的结果，但是对凹多边形的裁剪将显示出一条多余的直线。这种情况在裁剪后的多边形有两个或者多个分离部分的时候出现。因为只有一个输出顶点表，所以表中最后一个顶点总是连着第一个顶点。解决这个问题有多种方法一是把凹多边形分割成若干个凸多边形，然后分别处理各个凸多边形。二是修改本算法，沿着任何一个裁剪窗口边检查顶点表，正确的连接顶点对。再有就是Weiler-Atherton算法。凹多边形裁剪演示1

凹多边形裁剪演示2第四十四页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-45Weiler-Athenton算法Weiler-Atherton算法是一个通用的多边形裁剪算法。主多边形：被裁剪多边形。裁剪多边形：裁剪窗口。主多边形和裁剪多边形可以为任意多边形（凸、凹、带内环）。主多边形和裁剪多边形

（演示）第四十五页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-46Weiler-Athenton算法其它相关的算法概念多边形的方向：这里约定使多边形区域位于有向边的右侧外环：顺时针；内环：逆时针顶点表主多边形的顶点表：用来定义主多边形裁剪多边形的顶点表：用来定义剪取多边形进点表：包含主多边形进入剪取多边形内部时的交点；出点表：包含主多边形离开剪取多边形内部时的交点；主多边形的内表：主多边形被裁剪后的多边形的顶点表；第四十六页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-47Weiler-Athenton算法算法原理首先从进点开始，沿主多边形的边界方向跟踪，直至找到它与剪取多边形的另一交点(出点)为止；在出点处沿剪取多边形的边界方向跟踪，直至找到其与主多边形的一个交点(进点)后再次沿主多边形的边界跟踪；重复执行上述过程，直至再回到算法的起始交点(进点)为止。实线描绘的是主多边形，虚线描绘的是剪取多边形。紫色箭头为入点，绿色头为出点。第四十七页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-48Weiler-Athenton算法裁剪类型内裁剪：A∩B外裁剪：A-B前面的算法是针对多边形的内裁剪，这也是我们讨论的默认裁减方式对于外裁剪，其过程和内裁剪大致相同，只是在遇到出点时跟踪主多边形边界，而遇进点时逆序跟踪裁剪多边形边界即可。AB第四十八页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-49Weiler-Athenton算法-示例1C2C3C4C1S1S7S6S5S3S2S4I1I2I3I4I5I6I7I8S1I2I3S2I4S3I5S4S5S6S7I6I7I8I1S1I2I3S2I4S3I5S4S5S6S7I6I7I8I1C1C2C3I1I2I3I4I5I6I7I8C4C1C1C2C3I1I2I3I4I5I6I7I8C4C1S1S1主多边形表裁剪多边形表主多边形表内裁剪外裁剪裁剪多边形表第四十九页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-50Weiler-Athenton算法-示例2C2C3C4C1S1S7S6S3S2S4I1I2I3I4S5S8S9S1I2I3S2I4S3S4S5S6S7I1C1C2C3I1I2I3I4C4C1S8S9S1S1I2I3S2I4S3S4S5S6S7I1C1C2C3I1I2I3I4C4C1S8S9S1主多边形表裁剪多边形表主多边形表裁剪多边形表外裁剪内裁剪第五十页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-51文本裁剪abcdabcdabcd字符可按以下不同方法进行裁剪：1、笔画裁剪把窗口以外的字符或笔划予以裁剪矢量字符：按直线的裁剪方法。点阵字符：按点的裁剪方法。2、字符裁剪把窗口以外或与窗口相交的字符予以裁剪。3、字符串裁剪若字符串与窗口相交，则该字符串被整个裁剪。第五十一页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-52二维图形显示流程第八章第七章第四、五章第五十二页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-53图形变换—内容二维（三维）几何变换仿射变换平移变换旋转变换缩放变换对称变换错切变换组合变换投影变换（三维变换到二维）窗口到视区的变换第五十三页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-54二维几何变换仿射变换平移变换旋转变换缩放变换对称变换错切变换组合变换第五十四页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-55概述几何变换是一种线性变换，对各种图形的几何变换，实际上是对点的变换。对原来图形中的一点坐标通过变换生成一个新的点坐标。二维图形的几何变换的表示采用3*3矩阵的形式，称为变换矩阵，点的坐标表示采用齐次坐标形式，故几何变换操作的过程是将变换矩阵T作用于齐次坐标点P生成新的坐标点P´,即P´=PT。yx第五十五页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-56应用（d）（b）（c）（a）motifsnowflake第五十六页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-57简化的OpenGL绘制流程AsimplifiedviewoftheOpenGLpipelinecurrenttransformation第五十七页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-58齐次坐标基本思想用一个有n+1个分量的向量去表示一个有n个分量的向量的方法。P(x,y)齐次坐标P(hx,hy,h)(5,8)的齐次坐标为：(5,8,1)(10,16,2)(15,24,3)...齐次坐标不唯一,规范化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。第五十八页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-59齐次坐标作用将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。（1）便于变换合成；（2）便于硬件实现。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。便于表示无穷远点。在n+1维中，h=0的奇次坐标表示一个n维的无穷远点。二维及三维奇次坐标变换矩阵QxQy1=PxPy1T第五十九页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-60仿射变换仿射变换是计算机图形学中最常用的变换类型，具有如下特性平行线段变换后仍保持平行线段变换后长度和方向可能改变本章所讨论的所有变换均为仿射变换其它类型的变化可用于创建一些特效，此时变换矩阵T可能很复杂(a)(b)第六十页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-61仿射变换仿射变换对应的变换矩阵具有简洁一致的特性QxQy1=t11Px+t12Py+t13t21Px+t22Py+t231Q是P的线性组合QxQy1=t11

t12

t13t21

t22

t23001PxPy1仿射变换的矩阵表示形式第六十一页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-62平移变换（Translation）点的平移变换是指该点在X轴和Y轴方向上分别移动一段距离。设图形上点P(x,y)，将在X轴和Y轴方向分别移动tx和ty，结果生成新的点Q(x,y),如图所示，则有yxP(x,y)Q(x,y)txtyQx=Px+tx，Qy=Py+ty

用齐次坐标和矩阵形式可表示为QxQy1=PxPy110tx01ty001QxQy1=Px+txPy+ty1二维平移变换矩阵T函数T（P）第六十二页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-63旋转变换（Rotation)点的旋转变换是指将点绕坐标原点旋转一角度的坐标变换。设有图形上点P(x,y)，将其绕原点旋转变换θ角度(假设按逆时针旋转为正角)，结果生成的新的点坐标P´(x´,y´)。将点P绕原点做逆时针旋转θ角度的变换看作将坐标系绕原点做顺时针旋转θ角度的等价变换。

x´=xcosθ-ysinθ

y´=xsinθ+ycosθ用齐次坐标和矩阵形式可表示为x´y´1=xy1cosθ

-sinθ

0sinθ

cosθ

0001yθP´(x´,y´)P(x,y)第六十三页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-64缩放变换（Scaling）点的缩放是指将该点沿X轴和Y轴方向按比例缩小或放大的变换。(注：以坐标原点为放缩参照点)设图形上的点P(x,y)，在X轴和Y轴方向分别作sx和sy的缩放，结果生成新的点坐标P´(x´,y´)，如图所示，则x´=sx.x

y´=sy.y用齐次坐标和矩阵形式可表示为x´y´1=xy1sx

0

00

sy

00

0

1二维缩放变换矩阵S第六十四页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-65缩放变换（Scaling）记二维缩放变换矩阵为S

(sx,sy)，则

S2

(sx,sy)=sx

0

00

sx

00

0

1（Sx，Sy）=（-1，2）如果|sx|或|sy|大于1，则表示图形在x轴方向或y轴方向放大；如果|sx|或|sy|小于1，则表示图形在x轴方向或y轴方向缩小；如果|sx|或|sy|等于1，则表示图形在x轴方向或y轴方向不变；如果sx=1，sy=-1，则等价于图形关于x轴作对称变换；如果sx=-1，sy=1，则等价于图形关于y轴作对称变换。第六十五页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-66对称变换（Reflection)点的对称变换是指该点关于某一镜面的反射镜像。在二维空间中，这个镜面即为一条直线，这条直线称为对称轴。设图形上的点P(x,y)，经过对称变换，结果生成新的点坐标P´(x´,y´)，则用齐次坐标和矩阵形式表示，有关于x轴的对称变换关于y轴的对称变换关于任意轴的对称变换—通过复合变换x´y´1=xy11

0

00

-1

00

0

1x´y´1=xy1-1

0

00

1

00

0

1第六十六页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-67错切变换（Shearing）错切变换是用来产生一个目标图形的失真的变换。沿x方向的错切沿y方向的错切沿x方向的错切将点P(x,y)变换到点P´(x´,y´),使

x´=x+y·shx(shx≠0，shx=tanθ)

y´=y 1

shx

00

1

00

0

1x´y´1xy1=θxyABDCA’B’第六十七页，共七十七页，2022年，8月28日二维图形变换和显示第七、八章-68错切变换（Shearing）沿y方向的错切将点P(x,y)变换到点P´(x´,y´),使

x´=x

y´=y+x·shy(shy≠0) x´y´1xy1=

1

0

0shy

1

00

0

1θxy