初中数学专题训练-三角形-轴对称与轴对称图形

精品设计精品设计典型例题一例01．下列图形中，不是轴对称图形的是（）（A）有两个角相等的三角形（B）有一个内角是45°的直角三角形（C）有一个内角是30°，另一个内角为120°的三角形（D）有一个角是30°的直角三角形分析：在（A）中，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）.而（B）和（C）中的两个三角形同样也是等腰三角形，所以也是轴对称图形.那么（D）中三角形的三个内角各不相等，不是等腰三角形，所以（D）不是轴对称图形.解答：选（D）说明：在三角形中，只有等腰三角形才是轴对称图形，而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形.典型例题二例02.已知：直线MN,同侧两点A、B（如图）求作：点P,使P在MN上，并且AP+BP最小.作法1.作点A关于直线MN的对称点A.2.连结AA'交MN于P点P就是所求作的点.说明这类问题经常遇到，可以和生活中的问题结合衍生出许多应用问题，但本质都是这道题.典型例题三例03•在图（a）中，分别作出点P关于OA、OB的对称点Pi，P2，连结PP交OA于于"，交OB于"，若PP2作法：略.解答：如图（b）所示，P,P关于OA对称，1•••PM=PM1同理可得PN=PN.2APMN的周长二PM+PN+MN=PM+MN+PN=PP=5cm1212APMN的周长为5cm.说明准确作图是关键.典型例题四例04.已知：（如图）四边形ABCD和过点D的直线MN,求作：四边形A'B'CD，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于MN对称.作法1•作BE丄MN，垂足为E；延长BE到B'，使B'E=BE，得到点B的对称点.同法作点A和点C的对称点A'C'.因为D在对称轴MN上，所以点D的对称点D'重合.连结A'B'、B'C'、C'D'.四边形A'B'CD即为所求.说明关键是掌握概念和基本作图.典型例题五例05.有一条小河（如图所示），两岸有A、B两地，要设计道路并在河上垂直于河岸

架一座桥，用来连接A、B间路线怎样走，桥应架在何处，才能使A到B的距离最短.分析：桥梁无论架在何处均垂直于河岸，因此桥梁的长度是定值，决定路程长度的关键是选取建桥点的位置，相对应地在河岸A地同测取一点B，使B与河岸距离等于B'与河岸到桥头的距离之和，于是，这个总是转化为“直线同侧有两点A、B，欲在直线上求一点，使这一点与A、点，使这一点与A、B距离之和最短.已知：求作：线段CD，使CD与［、12均互相垂直，并且AC+CD+BD最小.作法：⑴作丄L，与12分别交点E'、E，并且BE=BE（2）在EE上取一点B使B〃E'=BE（或者找到B点关于〈的对称点B）⑶连结AB"，与1交于C点，作CD丄「与12交于D点,CD即为所求作的线段.典型例题六例06.如图所示，P是ZBAC平分线AD上一点，P与A不重合，AC>AB.求证：PC-PB<AC-分析：用对称法.可利用轴对称图形的知识找出点B关于直线AD的对称点B'，因AD为ABAC的平分线，故B'在AC上，连结B'P，从而构造AAB'P与AABP两个轴对称图形，再利用三角形两边之差小于第三边来证明.证明：作点B关于直线AD的对称点B'，连结B'P.*/AD是ABAC的平分线，・•.点B'在AC上（ABAC是以角平分线AD所在直线为对称轴的轴对称图形）,又TAP在对称轴AD上,.•・AB二ABBP二BP',在APBC中，PC-PB'<B'C，

BCACABACAB，BPBP9・・・PCBPACAB.说明：BAC和ABP就是利用角平分线AD构造出的轴对称图形，这种方法对于证明有关线段的不等关系非常方便、有效.典型例题七例07.如图，E、F是ABC的边AB、AC上的点，在BC上求一点M,使EMF的周长最小.分析因为E、F是定点，所以EF是定值.要使AEMF的周长最小，只要MEMF最小.解答（1）作点F关于直线BC的对称点F•（2）连结EF交BC于M,点M就是所求.说明这类问题在日常生活中经常可以遇到.典型例题八例08.如图，过C作BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，作DE//AB交AC于E.求证：AECE.分析由已知条件容易得到23,从而AEDE.要证明AECE,只须证明DECE，联想到AD是角平分线又是垂线，若延长CD交AB的延长线于P，则C、P关于直线AD对称，于是问题可以解决.解答延长CD交AB的延长线于P.在ADP和ADC中，21二Z2<AD二ADZADC=ZADP.•・AADP=AADC（角边角）故ZP=ZACD.又•・•DE//AP,・•・Z4=ZP,则Z4=ZACD,DE=CE.DE//AB，Z1=Z3，又•・•Z1=Z2,Z2=Z3，DE=AE（等边对等角），AE=CE.说明全等三角形是证明角或线段相等的一种方法，但不是惟一方法，不要一证线段相等就找全等三角形.等腰三角形的判定定理及其推论，中垂线的性质，都是证线段相等的重要途径.典型例题九例09.如图，AD是AABC中ZBAC的平分线，且AB>AC.求证：BC>DC.分析由于AD是ZBAC的平分线，所以可以以AD为轴构造轴对称图形，即把AADC沿AD翻折180。，这样DE=DC，就可以在ABED中解决问题.证明在AB上截取AE,使AE=AC，连结DE.•AD是ZBAC的平分线，Z1=Z2，在AAED和AACD中，'AE=AC（作图）<Z1=Z2（已证）AD=AD（公共边）AAED=AACD（边角边），DE=DC，・•・Z3=Z4（全等三角形对应边对应角相等），•・•ZBED>Z3,Z4>ZB(内角和定理的推论)，ZBED>ZB,BD>ED(大角对大边)):,BD>DC.说明本题中的AAED的AACD就是利用角平分线构造出来的轴对称图形.本题还有其他构造轴对称图形的方法，比如把AADB沿AD翻折180。，也可证明结论.选择题1．选择题(1)在下列命题中：两个全等三角形是轴对称图形两个关于直线l对称的图形是全等形等边三角形是轴对称图形线段有三条对称轴正确命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4下列图形是一定轴对称图形的是()(A)任意三角形(B)有一个角等于60°的三角形(C)等腰三角形(D)直角三角形P为AABC内一点，且PA=PB=PC，则p点是()(A)三条中线的交点(B)三条高的交点(C)三个角的平分线的交点(D)三边垂直平分线的交点已知：D为AABC的边BC的中点，且AD丄BC，下面各结论不正确的是()(A)AABC=AACD(B)ZB=ZC(C)AD是ZBAC的平分线(D)AABC是等边三角形正五角星的对称轴有()(A)1条(B)2条(C)5条(D)10条等边三角形的对称轴共有()(A)1条(B)3条(C)6条(D)无数条下列四个图形①等腰三角形②等边三角形③等腰直角三角形④直角三角形中,定是轴对称图形的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个下列图形中，不一定是轴对称图形的是()(A)线段(B)角(C)三角形(D)等腰直角三角形参考答案：1．选择题(1)B(2)C(3)D(4)D(5)C(6)B(7)C(8)C填空题

1．填空题TOC\o"1-5"\h\z（1）等边三角形的对称轴有条.（2）如果沿着一条直线折叠，两个点能互相重合，那么这两个点叫做.（3）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形.（4）如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做.参考答案1．填空题（1）3（2）对称点（3）轴对称（4）轴对称图形解答题1.如图，已知线段AB及直线MN,求作线段AB关于MN的对称图形.2.2.如图，已知AABC及直线EF,求作AABC关于EF的对称图形.3.3.如图，已知折线ABC及直线PQ,求作折线ABC关于直线PQ的对称图形.4.如图，已知AABC，分别以OM,ON为对称轴作三角形与它对称.在AAEC中，ZB二2ZC,AH丄BC,垂足为H,点B关于AH的对称点是B'.求证：B'C=AB.如图，已知：在直线MN的同侧有两点A和B.求作：MN上一点，使ZACM=ZBCN.如图，EFGH是一个矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A，B两点位置上，试问：怎样撞击黑球A,求能使A先碰撞台边EF反弹后两击中白球B？H.G•B参考答案