选修2-1.2.4.2抛物线的简单几何性质

2.4.2抛物线的简单几何性质一、复习回顾：.FM.－－抛物线标准方程1、抛物线的定义：标准方程

图形

焦点

准线xyoF..xyFo.yxoF.xoyF2、抛物线的标准方程：3、椭圆和双曲线的性质：结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.二、讲授新课：.yxoF(4)离心率(5)焦半径(6)通径e=1

通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2P方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度

y2=2px(p＞0)y2=-2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=-2py(p＞0)lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！例1.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程.

当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时,设为y2=mx(m≠0)[或x2=my(m≠0)],可避免讨论！三、例题选讲：

解法1F1(1,0),

解法2F1(1,0),

解法3|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8ABFA1B1√解法4

思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？提示：作出图形如图所示，根据图形比较可知，开口大小由p决定，p越大，开口越开阔，p越小则开口越小．3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段的长度是多少？提示：2p,画抛物线时往往参考这条线段，以防止开口画得过大或过小．抛物线的性质及应用

抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路点拨]由椭圆的方程确定抛物线的方程类型，再用待定系数法求解．根据抛物线的性质求方程【题后反思】

待定系数法求抛物线标准方程的步骤(1)定位置：根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的位置或开口方向．(2)设方程：根据确定的焦点位置设出相应的方程，若未能确定则要分情况讨论．(3)列方程：利用准线、焦点等条件列出关于p的方程，确定p的值．(4)写出方程：根据求出的p值，代入设出的方程，确定抛物线方程．

过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝7，求线段AB的长．[思路点拨]利用抛物线的定义，把|AB|＝|AF|＋|BF|转化为A，B两点到准线的距离的和来求解．焦点弦问题【题后反思】解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．3．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为________.1．抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的区别(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；(3)抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准