线性代数64教学大纲

PAGE1PAGE8《线性代数64学时》教学大纲数学与信息科学学院代数几何教研室一、教学目的和要求《经济数学基础》是原国家教委在高等学校财经类专业中设置的核心课程之一，《线性代数》是该课程的重要组成部分。线性代数的地位在不断提高，无论是在数学内部，还是在数学的各种应用中，线性代数都在扮演愈来愈重要的角色。对于财经类的本科生，线性代数是学习许多后续课程的必备基础，也是将来接受终生教育的必备基础，现代电子计算机上所用的各种数值计算方法，基本上都要以线性代数的计算方法作为基础，仅此一点就足以说明线性代数的重要性。本课程不仅要使学生掌握行列式的计算，线性方程组的求解，矩阵的各种运算，矩阵的特征值和特征向量的求法等重要技能，而且要通过线性代数的基本概念和基本理论的学习，通过灵活多变的线性代数证明题的训练，培育学生的理性思维品格和思辩能力，开发学生的潜在能动性和创造力，从而提高学生的数学素质。二、教学中应注意的问题根据本课程的特点，教学中应注意以下几个问题：1.本课程概念和命题（包括定理、推论、性质等）比较多，要帮助学生识别那些是主要的、基本的，那些是次要的、从属的。2.在学生掌握基本计算的基础上，要适当训练他们做一些证明题。线性代数证明题灵活多变、精彩纷呈，是对智力的一种挑战。学生通过证明题的训练，才能对线性代数的理论和方法有所领会，才能对这门课程产生兴趣。如果仅仅做一些程式化的计算题，学生就学不到线性代数的精髓，也会对这门课程感到索然无味。要在讲授具体知识的过程中，渗透线性代数这门学科的思想方法，如降阶的思想，消去法的思想，标准形的方法等。这样才能使学生不仅学到具体的线性代数知识，掌握具体的线性代数技能，而且不断提高数学的素质。三、教学内容行列式教学内容:

§1.1二阶与三阶行列式§1.2排列排列；排列的奇偶性；对换对排列奇偶性的影响。§1.3n阶行列式分析二阶、三阶行列式构成；给出n阶行列式的定义。§1.4行列式的性质行列式的性质，行列式的计算。§1.5行列式按一行（列）展开子式和代数余子式；行列式依行（依列）展开定理；降阶的意义及在行列式计算方面的作用；Vandermonde行列式的计算。§1.6克莱姆法则§1.7数域数域的定义。教学基本要求：了解行列式的定义、熟练掌握行列式的性质，掌握二、三、四阶行列式的计算法，会计算n阶行列式，理解并会应用克莱姆法则。

教学重点：行列式的概念、计算及克莱姆法则的结论。

教学难点：行列式的性质的证明。

作业：通过作业，使学生熟练掌握利用行列式的性质计算行列式的值，利用克莱姆法则求解非齐次线性方程组。第二章线性方程组教学内容：§2.1消元法消元法解线性方程组；矩阵的概念；矩阵的初等变换；线性方程组有唯一解、无穷多组解和无解的讨论。§2.2n维向量空间n维向量的定义；向量的加法和数乘运算；n维向量空间定义。§2.3向量间的线性关系线性组合；向量组的线性相关性及其判定。§2.4向量组的秩向量组的极大线性无关组；等价向量组；向量组的秩。§2.5矩阵的秩矩阵的行秩与列秩；矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩；向量组的秩和极大无关组的求法。§2.6线性方法组解的判定线性方程组有解判定定理；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。§2.7线性方法组解的结构齐次线性方程组解的结构；非齐次线性方程组解的结构。§2.8线性方程组在经济问题中的应用教学基本要求：理解n维向量的概念，理解向量组线性相关、线性无关的概念，了解并会运用有关向量组线性相关、线性无关的有关结论。了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，熟练掌握向量组的极大线性无关组及秩的求法。了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵的秩的关系。理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念。理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。

教学重点：n维向量及向量组的线性相关性的概念和有关结论。向量组的极大无关组和秩的概念及其求法。向量组的秩与矩阵的秩的关系。向量组等价的概念线性方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐

次线性方程组有解的充分必要条件。齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，非齐次线性方程组解的结构及通解。用行初等变换求线性方程组通解的方法。

教学难点：向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关结论的证明。向量组的极大线性无关组的求法。齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件

的证明。齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念。用行初等变换求线性方程组通解的方法。

作业：通过作业，使学生熟练掌握向量组的线性相关、线性无关的概念及判断，熟练掌握向量组的极大线性无关组和秩的求法使学生熟练掌握齐次线性方程组有非零解的判断及基础解系的求解方法，并能熟练掌握非齐次线性方程组有解的判断及其求解方法。矩阵教学内容：§3.1矩阵的概念矩阵相等的定义。§3.2矩阵的运算矩阵的加法，数乘及矩阵的乘法，矩阵的算律，矩阵的转置及相关性质。§3.2初等矩阵消法、倍法、换法矩阵；初等矩阵和初等变换的关系。§3.3可逆矩阵可逆矩阵的定义；可逆矩阵的性质；可逆矩阵的判别法；可逆矩阵乘法；矩阵的行列式；有关矩阵秩的定理。§3.4矩阵的分块分块的方法；分块阵的运算；准对角形；分块矩阵的初等变换。§3.5初等矩阵消法、倍法、换法矩阵；初等矩阵和初等变换的关系。§3.6几种常用的特殊矩阵对角矩阵；准对角矩阵；三角矩阵；对称矩阵与反对称矩阵。§3.7投入产出分析介绍教学基本要求：了解矩阵的概念，理解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。理解分块矩阵，掌握高阶矩阵分块的方法。掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质，掌握初等变换求逆矩阵的方法。

教学重点：矩阵的概念及其各种运算和运算规律。逆矩阵的概念、矩阵可逆的判断及逆矩阵的求法。

教学难点：矩阵可逆的充分必要条件的证明，初等矩阵及其性质，分块矩阵及其运算。

作业：通过作业，使学生熟练掌握矩阵的各种运算，理解伴随矩阵、初等矩阵和初等变换的概念，熟练掌握利用初等变换求矩阵的逆矩阵，熟练掌握矩阵可逆的判断及逆矩阵的求法。向量空间教学内容：§4.1向量空间向量空间的定义，例子；向量空间的性质；子空间。§4.2向量的内积内积的定义和性质；长度；正交组；正交化。§4.3正交矩阵正交矩阵的定义及性质。教学基本要求：了解n维向量空间、子空间、基、维数等概念。了解向量的内积、正交矩阵的概念和性质，施密特正交化过程。教学重点：子空间、基的概念，正交矩阵的性质。教学难点：向量空间的概念，施密特正交化过程。作业：通过作业，使学生熟练掌握向量空间、子空间、基，熟练掌握正交矩阵，施密特正交化过程。矩阵的特征值和特征向量教学内容：§5.1矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量的定义；特征方程；特征值与特征向量的求法及有关性质；矩阵的迹。§5.2相似矩阵和矩阵对角化的条件相似矩阵的定义；矩阵对角化的充要条件。§5.3实对称矩阵的对角化实对称矩阵特征值和特征向量的性质；化实对称矩阵为对角形。教学基本要求：理解特征值、特征向量的概念及性质，掌握特征值、特征向量的计算。了解相似矩阵的概念与性质，理解矩阵可对角化的条件，了解实对称矩阵的特征值、特征向量性质，掌握实对称矩阵对角化方法。教学重点：矩阵特征值、特征向量的概念，性质，计算。理解矩阵可对角化的条件，了解实对称矩阵的特征值、特征向量性质，掌握实对称矩阵正交化方法。教学难点：矩阵特征值、特征向量的概念。理解矩阵可对角化的条件，实对称矩阵正交化方法。作业：通过作业，使学生熟练掌握特征值、特征值向量的计算，相似矩阵的概念，熟练掌握实对称矩阵对角化。二次型教学内容：§6.1二次型及其矩阵表示二次型的定义；二次型的矩阵；矩阵合同的概念。§6.2二次型的标准形配方法，矩阵对称变换，正交替换化二次形为标准形。§6.3正定二次型二次型的标准形，规范形，惯性定理；正定二次型的定义，判别方法。教学基本要求：理解二次型的定义；二次型的矩阵；矩阵合同的概念。掌握配方法，矩阵对称变换，正交替换化二次形为标准形。理解二次型的标准形，规范形，惯性定理；熟练掌握正定二次型的定义，判别方法。教学重点：二次型的定义；二次型的矩阵；配方法化二次形为标准形；正定二次型判别方法。教学难点：配方法化二次形为标准形；正定二次型判别方法。作业：通过作业，使学生熟练掌握二次型的定义；二次型的矩阵；矩阵合同的概念。配方法化二次形为标准形。熟练掌握二次型的标准形，规范形，惯性定理；熟练掌握正定二次型的定义，判别方法。教学课时分配表各节名称课时分配（学时）讲课习题课合计第一章行列式10212第二章线性方程组12214第三章矩阵12214第四章向量空间426第五章矩阵的特征值与特征向量8210第六章二次型628合计521264参考书目北京大学数学力学