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文档简介

第5章特征值的估计与广义逆矩阵

5.1特征值的界的估计

5.2圆盘定理

5.3谱半径的估计

5.4广义逆矩阵与线性方程组的解

5.5广义逆矩阵A+矩阵的特征值的估计与广义逆矩阵是矩阵理论中两个不同的专门课题，两者都有丰富的内容和许多重要的应用.在本章，仅就这两方面的内容作一基本概述.矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中都是重要的，但要精确计算特征值并非总是可能的，即使在某些特殊情况下有可能，可是付出的代价也是很大的．好在许多应用中并不需要精确计算矩阵的特征值，而只需要有一个粗略的估计就够了.例如，在线性系统理论中，通过估计系统矩阵A的特征值是否有负实部，便可判定系统的稳定性；当研究一个迭代法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都落在单位圆内；在差分方法的稳定性理论以及自控理论中都需要估计矩阵的特征值是否在复数平面上的某一确定的区域中.本章要讨论的另一个问题是广义逆矩阵方面的问题.我们知道，若方阵A的行列式不等于零，则存在唯一的方阵B，满足AB=BA=E，并称B为A的逆矩阵，记为A-1.当A不是方阵，或方阵A的行列式等于零时，则上述的逆矩阵就不存在.Moore在1920年将逆矩阵的概念推广到任意矩阵上，他是用正交投影算子来定义逆矩阵的，人们把他定义的广义逆矩阵称为Moore广义逆.1955年，Penrose用方程组AGA=A，GAG=G，(AG)H=AG，(GA)H=GA.来定义A的广义逆.不久以后，Bjerhammer证明了Moore逆与Penrose逆的等价性，所以后来吧它叫做Moore－Penrose逆，并记为A+.此后，对广义逆矩阵的研究又有很大的发展，现已形成了一套系统的理论.这里主要介绍15种广义逆矩阵中较常用的A-及A+两种，其它就不一一介绍了.5.1特征值的界的估计5.2圆盘定理上节介绍了利用矩阵的元素估计矩阵特征值的界，本节介绍利用矩阵的元素更准确地估计其特征值在复平面上的分布区域，即特征值在复平面上的位置做更准确地估计．这就是圆盘定理(又称Gerschgorin定理)所表述的.下面的两个定理都称为圆盘定理.

补充一些概念取行盖尔圆的并集与列盖尔圆的并集的交一般可以得到比较满意的特征值估计．5.3

矩阵的谱半径的估计

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