高考文科数学函数专题讲解及高考真题

函数【】函数的看法（1）函数的看法①设

A、B

是两个非空的数集，假如依据某种对应法规

f

，关于会集

A中任何一个数

x，在会集

B中都有独一确立的数

f(x)和它对应，那么这样的对应（包含会集

A，

B以及

A到

B

的对应法规

f

）叫做会集

A到

B的一个函数，记作

f:A

B．②函数的三因素:定义域、值域和对应法规．③只有定义域同样，且对应法规也同样的两个函数才是同一函数．（2）区间的看法及表示法①设

a,b

是两个实数，且a

b，满足

a

xb的实数

x的会集叫做闭区间，记做

[a,b]

；满足

a

x

b的实数

x的会集叫做开区间，记做

(a,b)

；满足

a

xb，或

a

xb的实数

x的会集叫做半开半闭区间，分别记做

[a,b)

，

(a,b]

；满足

x

a,x

a,x

b,x

b

的实数

x

的会集分别记做[a,

),(a,

),(

,b],(

,b)

．注意：关于会集

{x|a

xb}

与区间

(a,b)

，前者

a可以大于或等于

b，此后者一定b．3）求函数的定义域时，一般依据以下原则：f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一的确数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的会集．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤ytanx中，xk(kZ)．2⑥零（负）指数幂的底数不可以为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧关于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知

f(x)

的定义域为

[a,b]

，其复合函数

f[g(x)]

的定义域应由不等式

a

g(x)

b解出．⑨关于含字母参数的函数，求其定义域，依据问题详细状况需对字母参数进行分类谈论．⑩由实质问题确立的函数，其定义域除使函数有意义外，还要切合问题的实质意义．4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是同样的．事实上，假如在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．所以求函数的最值与值域，其实质是同样的，不过发问的角度不一样．求函数值域与最值的常用方法：①察见解：关于比较简单的函数，我们可以经过观察直接获取值域或最值．②配方法：将函数分析式化成含有自变量的平方式与常数的和，而后依据变量的取值范围确立函数的值域或最值．③鉴识式法：若函数

y

f(x)可以化成一个系数含有

y

的关于

x的二次方程a(y)x2

b(y)x

c(y)

0，则在

a(y)

0时，因为

x,y

为实数，故一定有b2(y)

4a(y)c(y)

0，从而确立函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确立函数的值域或最值．⑤换元法：经过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转变成三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确立函数的值域或最值．⑦数形联合法：利用函数图象或几何方法确立函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【】函数的表示法5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有分析法、列表法、图象法三种．分析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映照的看法①设A、B是两个会集，假如依据某种对应法规f，关于会集A中任何一个元素，在会集B中都有独一的元素和它对应，那么这样的对应（包含会集A，B以及A到B的对应法规f）叫做会集A到B的映照，记作f:AB．②给定一个会集A到会集B的映照，且aA,bB．假如元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖〗函数的基天性质【】单调性与最大（小）值1）函数的单调性①定义及判断方法函数的定义图象判断方法性质函数的单调性

假如关于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<．．x2时，都有f(x1)<f(x2)，．．．．．．．．．．．那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．假如关于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<．．x2时，都有f(x1)>f(x2)，．．．．．．．．．．．那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．

1）利用定义2）利用已知函数的单调性3）利用函数图象（在某个区间图象上涨为增）4）利用复合函数1）利用定义2）利用已知函数的单调性3）利用函数图象（在某个区间图象降落为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③关于复合函数yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为减，ug(x)为减，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为增，ug(x)为减，则yf[g(x)]为减；若yf(u)为减，ug(x)为增，则yf[g(x)]为减．（2）打“√”函数f(x)xa(a0)的图象与性质xf(x)分别在(,a]、[a,)上为增函数，分别在[a,0)、(0,a]上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数yf(x)的定义域为I，假如存在实数M满足：（1）关于任意

yox的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M．那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作fmax(x)M．②一般地，设函数yf(x)的定义域为I，假如存在实数m满足：（1）关于任意的xI，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)m．【】奇偶性4）函数的奇偶性①定义及判断方法函数的定义图象判断方法性质假如关于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函．．．．．．．．．．．数f(x)叫做奇函数．．．．函数的奇偶性假如关于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数．．．．．．．．．．f(x)叫做偶函数．．．．②若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．

1）利用定义（要先判判定义域能否关于原点对称）2）利用图象（图象关于原点对称）1）利用定义（要先判判定义域能否关于原点对称）2）利用图象（图象关于y轴对称）③奇函数在y轴双侧相对称的区间增减性同样，偶函数在y轴双侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）还是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖增补知识〗函数的图象1）作图利用描点法作图：①确立函数的定义域；②化解函数分析式；③谈论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要正确记忆一次函数、二次函数、反比率函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换yf(x)②伸缩变换yf(x)yf(x)③对称变换

h0,左移h个单位yf(xh)yf(x)k0,上移k个单位yf(x)kh0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位01,伸yf(x)1,缩0A1,缩yAf(x)A1,伸yf(x)yf(x)f(x)yf(x)

x轴f(x)yf()y轴yf()yxx原点f(x)yf(x)直线yxyf1(x)y去掉y轴左侧图象yf(|x|)保留y轴右侧图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y|f(x)|将x轴下方图象翻折上去2）识图关于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋向、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注企图象与函数分析式中参数的关系．3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数目关系问题供给了“形”的直观性，它是研究解题门路，获取问题结果的重要工具．要重视数形联合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖〗指数函数【】指数与指数幂的运算（1）根式的看法①假如xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．③根式的性质：(na)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|a(a0)．a(a0)（2）分数指数幂的看法mnam(a①正数的正分数指数幂的意义是：an0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于0．mmn(1)m(a②正数的负分数指数幂的意义是：an(1)n0,m,nN,且n1)．0的负分数指数幂没aa有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)③(ab)rrbr(a0,b0,r)aR【】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称

指数函数定义

函数

y

ax(a

0且a

1)叫做指数函数图象

a1

0a1定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当x0时，y1．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数ax1(x0)ax1(x0)函数值的ax1(x0)ax1(x0)变化状况axax1(x0)1(x0)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．〖〗对数函数【】对数与对数运算（1）对数的定义①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，此中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式loga10，logaa1，logaabb．（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（此中e2.71828）．（4）对数的运算性质假如a0,a1,M0,N0，那么①加法：logaMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogaMN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)④alogaNN⑤logbMnnlogaM(b0,n)logaNlogbN且b1)abR⑥换底公式：(b0,logba（5）对数函数函数名称定义图象定义域值域过定点奇偶性单调性

【】对数函数及其性质对数函数函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数a10a1(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数logax0(x1)logax0(x1)函数值的logax0(x1)logax0(x1)变化状况logax0(0x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．(6)反函数的看法设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．假如对于y在C中的任何一个值，经过式子x(y)，x在A中都有独一确立的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．（7）反函数的求法①确立反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(x)中反解出xf1(y)；③将xf1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．②函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．③若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．④一般地，函数yf(x)要有反函数则它一定为单调函数．〖〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，此中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：全部的幂函数在(0,)都有定义，而且图象都经过点(1,1)．③单调性：假如0，则幂函数的图象过原点，而且在[0,)上为增函数．假如0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无穷凑近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q（此中p,q互pqq质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则yxp是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yxp是偶q函数，若p为偶数q为奇数时，则yxp是非奇非偶函数．⑤图象特色：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直线yx上方，当10x1yx上方，若x1，其图象在直线时，若，其图象在直线x下方．〖增补知识〗二次函数（1）二次函数分析式的三种形式①一般式：

f(x)

ax2

bx

c(a

0)②极点式：

f(x)

a(x

h)2

k(a

0)③两根式：f(x)

a(x

x1

)(x

x2)(a

0)

（2）求二次函数分析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的极点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用极点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，采纳两根式求f(x)更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb,极点坐标是2ab4acb2(,)．2a4a②当a0时，抛物线张口向上，函数在(,b]上递减，在[b,)上递加，当xb时，2a2a2afmin(x)4acb2；当a0时，抛物线张口向下，函数在(,b]上递加，在[b,)上递减，4a2a2a当xb4acb2时，fmax(x)4a．2a③二次函数f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1

x2|

|a|

．（4）一元二次方程

ax2

bx

c

0(a

0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完好，且解决的方法着重于二次方程根的鉴识式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下边联合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x)ax2bxc，从以b下四个方面来分析此类问题：①张口方向：a②对称轴地点：x③鉴识式：④端点函数2a值符号．（5）二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x01(pq)．（Ⅰ）当a0时（张口向上）2①若bp，则mf(p)②若pbq，则mf(b)③若bq，则mf(q)2a2a2a2affff(q)(p)(q)(p)OxOxOxff(p)(q)bf(q)bf(p)①若x0，则M②x0，则M2a2aff(p)(q)OxOxff(p)(q)(Ⅱ)当a0时(张口向下)①若bp，则Mf(p)②若pbq，则Mf(b)③若bq，则Mf(q)2a2a2a2aff(p)(p)OxOxff(q)(q)bx0，则mf(q)b，则m①若2a②x02aff(q)(p)OxOff(q)(p)

f(q)Oxf(p)．f(p)x第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的看法：关于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：f(x)的图象与x轴有交点方程f(x)0有实数根函数y函数yf(x)有零点．3、函数零点的求法：求函数yf(x)的零点：○（代数法）求方程f(x)0的实数根；1○（几何法）关于不可以用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用2函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数yax2bxc(a0)．１）△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．09-13高考真题.函数y12x(xR,且x1)的反函数是12x2A.y12x(xR,且x1)B.12x2C.y1x(xR,且x1)D.2(1x)

12x(xR,且x1y2x)121x(xR,且x1)2(1x)【答案】D.（本小题满分12分）2围建一个面积为360m的矩形场所，要求矩形场所的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，以以下图，已知旧墙的维修花费为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修筑此矩形场所围墙的总花费为y（单位：元)。（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确立x,使修筑此矩形场所围墙的总花费最小，并求出最小总花费。本小题主要观察函数和不等式等基础知识，观察用均匀不等式求最值和运用数学知识解决实质问题的能力。（满分12分）解：（Ⅰ）如图，设矩形的另一边长为am，则y2-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=360,x3602360(x0)所以y=225x+x(Ⅱ)Qx0,225x36022225360210800xy225x360236010440.当且仅当225x=3602时，等号成立.xx即当x=24m时，修筑围墙的总花费最小，最小总花费是10440元..已知函数f(x)log3x,x01))B2x,x0，则f(f(9B.1D-144函数y1的定义域为log0.5(4x3)A.(3,1)B(3,∞)C（1，+∞）D.(3,1)∪（1，+∞）444.（本小题满分12分）已经函数f(x)cos2xsin2x,g(x)1sin2x1.224(Ⅰ)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过如何变化得出（Ⅱ）求函数h(x)f(x)g(x)的最小值，并求使用h(x)获得最小值的x的会集。．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)=xxB．1xxC．1xxD．1xx)A．