第9章相似性原理和量纲分析

15一月2023

流体力学

设备和热动能源与机械工程系水力学第9章相似理论与量纲分析15一月2023

流体力学

设备和热动实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。

而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力与物力，有时则完全是不可能的(例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水的试验)。所以，通常利用缩小的模型进行实验。当然，如果原型尺寸很小，也可利用放大的模型进行实验。而进行模型实验，首先必须解决两类问题。

(1)如何正确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定，介质的选取。

(2)如何整理模型实验所得的结果，例如，实验数据的整理，以及如何将实验的结果推广到与实验相似的流动现象上。

本节的内容也适用于叶轮机械的模型研究、热力设备的模型研究以及工程传热学等有关学科。15一月2023

流体力学

设备和热动力学相似的内涵；各相似准则的定义与物理意义；相似模型律的应用*π定理及其应用

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【教学重点】15一月2023

水力学

给排水工程（a）原型(b)模型

图1满足几何相似、运动相似和动力相似的流动15一月2023

流体力学

设备和热动（1）几何相似（流动空间几何相似）λl——长度比尺力学相似：两个流动现象中相应点处的各物理量彼此之间互相平行，并且互成一定的比例。第一节力学相似性原理15一月2023

流体力学

设备和热动几何相似是力学相似的前提15一月2023

流体力学

设备和热动（2）运动相似（两流动的对应流线几何相似或流速大小成同一比例，方向相同）λv——速度比尺时间比尺加速度比尺运动相似是实验的目的15一月2023

流体力学

设备和热动（3）动力相似（同名力作用，且对应的同名力互成同一比例）λF——力的比尺动力相似是运动相似的保证15一月2023

流体力学

设备和热动在模型实验中，只要使其中起主导作用的外力满足相似条件，就能够保证两流动现象有基本相同的运动状态。这种只考虑某一种外力的动力相似条件称为相似准则。

怎样来达到流动的动力相似以保证运动相似呢？

设想在两相似水流中，取两个相应质点n和m，研究两质点所受粘性力、压力、重力及惯性力。假设流体不可压缩，则不需要考虑弹性力相似的问题。根据动力相似条件，应有第二节相似准则与模型律一、相似准则15一月2023

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设备和热动

由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的关系式分别写为和惯性力相联系的下列等式；；（1）雷诺准则——粘性力是主要的力改成15一月2023

流体力学

设备和热动无量纲数粘性力相似准则，也称为雷诺相似准则。

雷诺数表征惯性力与黏性力之比.15一月2023

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设备和热动（2）弗诺德准则——重力是主要的力改成15一月2023

流体力学

设备和热动无量纲数（3）欧拉准则——压力是主要的力改成重力相似准则，也称为弗诺德相似准则。

弗诺德数表征惯性力与重力的相对比值。15一月2023

流体力学

设备和热动无量纲数压力相似准则，或称为欧拉相似准则4、马赫相似准则

在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出式中a为当地音速。这个速度的比值就是马赫数M。欧拉数表征压力（差）和惯性力之比马赫数表征惯性力与弹性力之比15一月2023

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设备和热动

雷诺数和弗诺德数中都包含定性长度和定性速度。因此，若使雷诺数和弗诺德数都相等，就要求原型和模型在长度和速度比尺之间要保持一定关系。

由雷诺数模型律，有或或写成比尺关系的形式，即

二、模型律15一月2023

流体力学

设备和热动

在多数情况下，模型和原型采用同种类且温度相同的流体，此时，故有

或另一方面，根据弗诺德数相等，可导出15一月2023

流体力学

设备和热动

显然，对于同种、同温的流体，若要同时满足雷诺模型律和弗诺德模型律，则容易导出

这意味着模型尺寸与原型相同。因此模型实验就失去意义了。

即使是对于不同种的流体，若通过调整运动粘度比尺，使上述两模型律同时满足，则有

这要求在模型流动中，采用特定粘度的流体，实际上这是很不容易实现的。因此，在模型律的应用时，通常的做法是要求对流动现象起决定或主导作用的那一个模型律相似就可以了。15一月2023

流体力学

设备和热动常见流动的模型律(1)管流(2)

(3)管中水流或气流,粘性力(主导作用),应满足雷诺准则。(4)(5)具有自由面的液体急变流动,重力(主导),应满足Fr模型律（孔口，管嘴的自由出流）管中的水击、空泡现象和空泡阻力——欧拉准则15一月2023

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设备和热动【例1】煤油管路上的文丘里流量计，入口直径为300mm，喉部直径为150mm，在1:3的模型中用水来进行试验。已知煤油的比重为0.82，水和煤油的运动粘性系数分别为0.010cm2／s和0.045cm2／s，求：

(1)已知原型煤油流量，为达到动力相似，模型中水的流量应为多少?(2)若在模型中测得入口和喉部断面的测管水头差，推算原型中的测管水头差应为多少?

解：此流动的主要作用力为压力和阻力，决定性相似准则为Re数，非决定性相似准则为Eu数。⑴由阻力相似的比尺关系15一月2023

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设备和热动由于，故L/s

m⑵由压力相似的比尺关系15一月2023

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设备和热动1.基本量纲：(独立量纲)

长度(L)时间(T)质量(M)

2.导出量纲：第三节量纲分析法3.一致性原则：一、量纲一致性15一月2023

流体力学

设备和热动某一物理过程，涉及n个变量，其中有m个基本变量，则此n个变量间的关系F(x1，x2，…，xn）=0，可用（n-m）个无量纲的π项关系式来表示，即

ƒ（π1，π2，…，πn-m）=0

以上这个结论就是著名的π定理，也称布金汉定理。二、π定理量纲分析法就是通过对现象中物理量的量纲以及量纲之间相互联系的分析来研究现象相似性的方法。它是以方程式的因次和谐性为基础的。15一月2023

流体力学

设备和热动【例2】证明有压管流中的压强损失⊿p可表示为：

根据实验，知道压强损失⊿p与管长，管径d，管壁粗糙度K，流体运动粘性系数，密度ρ和流速有关，于是有

解：1)找出影响某物理现象的n个独立物理变量。2)从n个变量中选择m个基本变量。基本变量的条件为其量纲中包括n个变量中所有的基本量纲。m一般等于这些变量所涉及的基本量纲的个数。基本变量应选取最简单，最有代表性和容易测量的物理量，如物体的长度，流体的密度和粘度，相对速度等。二、使用π定理的具体步骤15一月2023

流体力学

设备和热动

在这7个量中，基本量纲数为3，因而可选择三个基本变量，不妨取管径d[d]=L

平均流速[]=LT-1

密度ρ[ρ]=ML-3

3)排列个π项，如该物理现象中的，其基本变量为x1，x2，x3，作为重复变量，则各个π项的组成为：（i=1,2,...,

）用未知指数写出无量纲参数πi(i=1-4）。15一月2023

流体力学

设备和热动对每一个写出量纲和谐方程组4)根据各个π项必须为无量纲量的条件，决定待定指数αi、βi、γi列出具体的π项。将各量的量纲代入，写出量纲公式15一月2023

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设备和热动

分别解得：

故有15一月2023

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