mathematica软件包介绍(10秋)(精)

Mathematica软件包简介科学计算软件：Mathematica

对于个人用户而言，知道Mathematica的人可能不太多。但在科学计算领域它却是声名显赫，Mathematica系统是目前世界上应用最广泛的符号计算系统，它是由美国科学家StephenWolfram领导的Wolfram公司开发研制的一个用途广泛的科学计算软件，能够完成符号和数值运算、数学图形绘制甚至动画制作等多种功能。

MATHEMATICA的目标建立一个系统，为各个领域各种水平的技术人员供应一个志向的工作助手．发展历史：1988年6月23日问世（第一版）1991年其次版1996年第三版1999年第四版2003年第五版2007年第六版2008年第七版

Mathematica的特点1语法简练、编程效率高:与其它高级语言(如C、Fortran语言)相比,其语法规则和表示方式更接近数学运算的思维和表达方式.Mathematica的语法规则简洁,语句精练.用Mathematica编程,用较少的语句,就可完成复杂的计算和公式推导等任务.2操作简洁,运用便利:Mathematica叮嘱易学易记。Mathematica.可以调用C、Fortran等的输出,也可以将Mathematica的输出转化为C、Fortran等所需的形式.这使其编程更灵敏便利,增加了Mathematica的功能3和其它语言交互：运行特殊便利：可以和Mathematica进行交互式“对话”。可以进行“批处理”。Mathematica的基本操作启动Mathematica叮嘱的输入和运行例如要计算,输入2^8然后同时按下Shift和Enter键,就执行运算并得到结果

Mathematica的工作环境1.工作环境简介2.输入与输出In［n］∶=标记输入，Out［n］=标记对应的运算结果Notebook1.“对话”方式例:画出曲线y=x^2和直线x+y=2在区间[－4,4]的图形Plot[{x^2,2-x},{x,-4,4}]2.“批处理”方式:输入一个叮嘱,运行之;输入一个叮嘱,运行之...将多个叮嘱组成的程序,一次交给Mathematica处理,完成指定的运算.Mathematica的运算方式帮助信息Mathematica供应了大量的帮助信息,帮助用户驾驭Mathematica的功能.(1)打开帮助菜单获得信息(2)输入叮嘱获得信息例:?Log3.2Mathematica基础学问1.精确数数：Mathematica有两种数:精确数和近似数.如：整数，有理数，符号。例：Mathematica计算时，精确数的计算结果都是精确数。精确数的位数不受限制。例：1/2+1/3，Pi(没有误差的数)得到近似数,有两种方法:2.近似数(有误差的数)近似数的精度不受限制。算式中含有近似数，则计算结果是近似数。1).运用小数点2).运用Mathematica的近似函数:expr／／Nexpr的近似值(精度为6位)N[expr,n]n位精度的expr的近似值.其中expr是算术表达式.例：的近似值。函数形式功能Sqrt[x]x的平方根Exp[x]指数函数Log[x],Log[b,x]对数函数Sin[x],Cos[x],Tan[x]三角函数ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x]反三角函数Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x]双曲函数基本初等函数函数形式功能n!阶乘Abs[x]x的确定值Sign[x]符号函数Round[x]最接近x的整数Flour[x]x的整数部分Mod[n,m]模(n除以m的余数）Random[]产生[0,1]区间上的随机数Max[x,y,…],Min[x,y,…]x,y,…中的最大值，最小值Re[z],Im[z]z的实部，虚部Abs[z],Arg[z]z的模，辐角Conjugate[z]z的共轭函数Bessell[x]贝塞尔函数常用数学函数留意:1)Mathematica供应的内部函数,其名称中的字母大小写是固定的，特殊是开头字母均为大写。(3).数学常数函数和常数均可参与运算。

符号功能PiπEeI－１的平方根Infinity∞Binomial(n,m)n!/m!(n-m)!2)函数的自变量以方括号[]括起来。列表的运算{3,5,1}^2+{x,x^3,5x}{8,2,7}+1并：Union[v1,v2,…]v1,v2,…的交集交：Intersection[v1,v2,…]v1,v2,…的交集补：Complement[v,v1,v2,…]在v中但不在v1,v2,…中的元素分组:Partition[v,n]将列表v的元素按n个一组生成嵌套列表“压平”：Flatten[v]将嵌套列表v的子表绽开逆排：Reverse[v]将列表v的元素逆向排列

函数形式功能Expand[expr]绽开exprExpandAll[expr]绽开expr的分子、分母Factor[expr]对expr进行因式分解Together[expr]对expr进行通分Apart[expr]将expr分解为简洁分式Cancel[expr]消去expr的分子、分母的公因式Collect[expr,x]按x的幂合并同类项Simplify[expr]把expr化为最少项形式FullSimplify[expr]运用更广泛的变换进行化简Mathematica供应了很多进行代数式变换的一些函数,下面列出常用的函数代数式变换

函数形式功能Solve[equ,vars]求方程的一般解Solve[{equ1，equ2,…},vars]求方程组的一般解Reduce[equ,vars]求方程的全部解其中,equ是待求解的方程,vars是未知量.解方程Mathematica可以求解符号方程与方程组.Solve[x^2-3x+1==0,x]解不等式解不等式是Mathematica的扩展功能，需调用Mathematica程序包。调用.Mathematica程序包的一般方式：例：调用解不等式的程序包。<<Algebra`InequalitySolve`InequalitySolve[Inequa,var]InequalitySolve[x^2+x>0,x]<<Aaaa`Bbbb`微积分函数形式功能Limit[f，x→x0]极限Limit[Sin[x]/x,,x→0]Limit[(1+1/n)^n,n->Infinity]Mathematica可进行高等数学中的各种运算。其符号运算实力,令人惊羡。求极限求导数与微分函数形式功能D[f，x]f关于x的导数D[f,x1,x2,…，xn]f关于x1,x2,…，xn的偏导数D[f,{x,n}]f关于x的n阶导数D[f,{x1,,k1},{x2,k2},…，{xn,kn}]f关于x1,x2,…，xn的k1,k2,…kn阶偏导数Dt[f，var]f关于var的全导数Dt[f]f的全微分函数形式功能Integrate[f,x]Integrate[f,{x,a,b}]Integrate[f,{x,a,b},{y,c,d}]Integrate[x^2+Sin[2x],x]Integrate[x^2+Sin[2x],{x,0,Pi}]求积分

函数形式功能

Sum[f,{i,min,max}]计算Sum[f,{i,i1,i2},(j,j1,j2}]计算Product[f,{i,min,max}]计算Product[f,{i,i1,i2},(j,j1,j2}]计算无穷级数与无穷乘积：求和与求积函数的幂级数绽开函数形式功能.Series[expr,{x,x0,n}]expr在x=x0点的n阶幂级数绽开式Series[expr,{x,x0,n},{y,y0,m}]expr在x=x0,y=y0的n,m阶幂级数绽开式例Series[Exp[x]Sin[y],{x,0,3},{y,0,6}]解常微分方程函数形式功能DSolve[equ,y[x],x]解y[x]的微分方程,x为自变量DSolve[{equ1,equ2},{x[t],y[t]},t]解自变量为t的微分方程组DSolve[y’[x]+y[x]==1,y[x],x]DSolve[{x’’[t]-2x’[t]-y’[t]+2y[t]==0,x’[t]+y’[t]-2x[t]==-2Exp[-t]},{x[t],y[t]},t]拉普拉斯变换

函数形式功能

LaplaceTransform[expr,t,s]求expr的拉普拉斯变换LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2…}]求expr的多维拉普拉斯变换InverseLaplaceTransform[expr,s,t]求expr的拉普拉斯逆变换InverseLaplaceTransform[expr,{s1,s2…},{t1,t2,…}]求expr的拉普拉斯逆变换傅里埃变换函数形式功能FourierTransform[expr,

t,

]

求expr的傅里埃变换FourierTransform[expr,{t1,t2,…},{1,2…}]

求expr的多维傅里埃变换InverseFourierTransform[expr,

,

t]

求expr的傅里埃逆变换InverseFourierTransform[expr,

{1,2…},{t1,t2,…}]

求expr的多维傅里埃逆变换

3.3绘图

直角坐标函数绘图函数形式功能

Plot[f,{x,min,max}]画出函数f[x]随x从min到max间的图形Plot[{f1,f2…},{x,min,max}]在一起画出f1,f2…的图形fgsin=Plot[Sin[x],{x,-Pi,Pi}];g[x_,n_]:=Sum[(-1)^k*x^(2k+1)/((2k+1)!),{k,0,n}];fgtylor=Plot[g[x,2],{x,-Pi,Pi}];Show[fgsin,fgtylor]**FourierSeries**f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}];Plot[f[x,9],{x,-2Pi,2Pi}]用Mathematica探讨图象m=0;a=10^(-m);Plot[Sin[1/x],{x,-a,a}]d=Table[{1/n,Sin[n]},{n,1,10000}];p1=ListPlot[d]**Pi==22/7,355/113***d=44;t1=Table[{1/n,Sin[n]},{n,3,10000,d}];t2=Table[{1/n,Sin[n]},{n,6,10000,d}];p2=ListPlot[t1,PlotJoined->True];p3=ListPlot[t2,PlotJoined->True];Show[p1,p2,p3]图形重画Show[{％n,％m}]将第n,第m个图形重画在一起其中:n和m是前面输出的编号out[n],out[m]

参数方程绘图:ParametricPlot[{fx,fy},{t,min,max}]画出参数方程的图形ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy},…},{t,min,max}]在一起画出多个参数方程的图形ParametricPlot[{(Cos[t])^3,(Sin[t])^3},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]

ParametricPlot[{t-Sin[t],1-Cos[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]

极坐标图形<<Graphics`Graphics`PolarPlot[{f,g,…},{t,tmin,tmax}]画出多个极坐标方程的图形PolarPlot[4Cos[3t],{t,0,2Pi}]PolarPlot[{4/(2+Cos[t]),4Cos[t]-2},{t,0,2Pi}]输入形式缺省值说明.PlotStyle→valueAutomatic指定曲线的线型和颜色Automatic曲线为黑色实线RGBColor[r,g,b]指定曲线的颜色GrayLevel[k]指定曲线的灰度Thickness[r]指定曲线的宽度常用的value值：等值线函数形式功能.ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]画出函数f的等值线图ContourPlot[x^2-y^2,{x,-1,1},{y,-3,2}]等值线函数可选项.输入形式缺省值说明.ContourShading→trueTrue是否运用灰度Contours→数字10指定等值线数目PlotRange→{z1,z2}Automatic指定函数值范围ColorFunction→HueAutomatic显示函数值大小的方法三维图形直角坐标函数绘图

函数形式功能Plot3D[f,{x,a,b},{y,c,d}]画出以x,y为变量的函数f表示的曲面例：Plot3D[Sin[xy],{x,0,3},{y,0,3}]Show[%,PlotRange->{-0.5,0.5}]

Plot3D[10Sin[x+Sin[y]],{x,-10,10},{y,-10,10},PlotPoints->40]Plot3D[Sqrt[1-x^2-y^2],{x,-1,1},{y,-1,1}]旋转的马鞍面:Table[Plot3D[(x^2-y^2)/2,{x,-2,2},{y,-2,2},Axes->False,Boxed->False,ViewPoint->{3*Sin[t],3*Cos[t],2}],{t,0,2*Pi,Pi/6}]参数方程绘图

函数形式功能ParametricPLot3D[{fx,fy,fz},{t,min,max}]画出参数方程表示的空间曲线ParametricPLot3D[{fx,fy,fz},{t,t1,t2},{u,u1,u2}]画出参数方程表示的曲面ParametricPLot3D[{{fx,fy,fz},{gx,gy,gz},…},…]把若干图形画在一起例螺线：ParametricPlot3D[{Exp[0.1t]Sin[t],Exp[0.01t]Cos[t],t/3},{t,0,15}]正弦曲面：ParametricPlot3D[{t,u,Sin[tu]},{t,0,3},{u,0,3}]球面：ParametricPlot3D[{Cos[t]Sin[s],Sin[t]Sin[s],Cos[s]},{t,0,2Pi},{s,0,Pi}]环面：ParametricPlot3D[{Cos[t](3+Cos[s]),Sin[t](3+Cos[s]),Sin[s]},{t,0,2Pi},{s,0,2Pi}]例球面环面ParametricPlot3D[{{Cos[t]Sin[s],Sin[t]Sin[s],Cos[s]},{Cos[t](3+Cos[s]),Sin[t](3+Cos[s]),Sin[s]}},{t,0,2Pi},{s,0,Pi}]两个柱面z=Sqrt[1-x^2]x=Cos[t]ParametricPlot3D[{{x,s,z},{x,s,-z},{s,x,z},{s,x,-z}},{t,0,2Pi},{s,-2,2}]g=Plot3D[Exp[-(x^2+y^2)],{x,-2,2},{y,-2,2}]Show[g,Mesh->False]Show[g,Shading->False]Plot3D[Sin[xy],{x,0,3},{y,0,3}]Show[%,ViewPoint->{0,-2,0}]Plot3D[1/((x-1)^2+(y-2)^2),{x,-2,2},{y,-3,3},AxesLabel->{“x”,”y”,”z”}];Show[%,ViewPoint->{1.2,1.2,1.2}]圆锥面的形成圆锥面的形成For[k=1,k<9,k++,t=ParametricPlot3D[{2*Cos[u],2*Sin[u],2},{u,0,2Pi},DisplayFunction->Identity];s=ParametricPlot3D[{2*Cos[u],2*Sin[u],-2},{u,0,2Pi},DisplayFunction->Identity];m=ParametricPlot3D[{r*Cos[u],r*Sin[u],r},{u,0,k*2Pi/8},{r,-2,2},PlotPoints->{60,12},DisplayFunction->Identity];Show[{t,m,s},DisplayFunction->$DisplayFunction]]单叶双曲面形成单叶双曲面形成For[k=1,k<17,k++, t=ParametricPlot3D[{Sqrt[1+z^2]*Cos[u],Sqrt[1+z^2]*Sin[u],z},{u,0,2Pi},{z,2-1/400,2},PlotPoints->{20,12},DisplayFunction->Identity]; m=ParametricPlot3D[{Sqrt[1+z^2]*Cos[u],Sqrt[1+z^2]*Sin[u],z},{u,0,2Pi},{z,-2,-2+k/4},PlotPoints->{30,12},DisplayFunction->Identity]; Show[{t,m},DisplayFunction->$DisplayFunction]]课堂练习:的计算我国古代的祖冲之求得的近似值为3.141592，Mathematica可以计算得更多，给出一些计算

的方法,当一回祖冲之!1/15/2023圆的面积单位圆的面积等于计算第一象限内的单位圆的面积，方法为：把它分成n个窄的曲边梯形，计算S大，S小，其中n可以为1000,10000,...1/15/2023

S小

S大1/15/2023n=1000h=1/nP1=4hSum[Sqrt[1-(mh)^2],{m,0,n-1}]n=1000h=1/nP2=4hSum[Sqrt[1-(mh)^2],{m,1,n}]P12=N[(P1+P2)/2]数值积分n=1000h=1/nP1=4hSum[1/(1+(mh)^2),{m,0,n-1}]n=1000h=1/nP2=4hSum[1/(1+(mh)^2),{m,1,n}]P12=N[(P1+P2)/2]无穷级数法arctanx=x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-.../4=arctan1=1-1/3+1/5-1/7+1/9-…收敛太慢！|x|应当比1小很多，级数收敛才快。/4=arctan1/2+arctan1/31/15/2023n=100P1=4Sum[(-1)^(m-1)/(2m-1),{m,1,n}]n=100P2=4Sum[(-1)^(m-1)/(2m-1)((1/2)^(2m-1)+(1/3)^(2m-1)),{m,1,n}]3.4数值计算数据拟合

函数形式功能Fit[date，funs，vars]用变量为vars,函数类为funs,按最小二乘法拟合一组数据dateInterpolatingPolynomial[{f1,f2,…},x]求点{i,fi},i=1,2…的插值多项式InterpolatingPolynomial[{{x1,f1},{x2,f2},…},x]求点{xi,fi},i=1,2…的插值多项式Interpolation[{{x1,f1},{x2,f2},…}]求点{xi,fi},i=1,2…的多项式插值函数例一维数据的拟合data=Table[Exp[x/5.],{x,7}]Y1=Fit[data,{1,x},x]Y2=Fit[data,{1,x,x^2},x]Y3=Fit[data,{1,x,x^3,x^5},x]P1=ListPlot[data,DisplayFunction->Identity];P2=Plot[Y1,{x,0,8},DisplayFunction->Identity];Show[P1,P2,DisplayFunction->$DisplayFunction]

方程的近似解函数形式功能NSolve[equs,vars]求多项式方程(组)的数值解FindRoot[equ,{x,a}]求方程在a旁边的数值解(切线法)FindRoot[equ,{x,a，xmin,xmax}]超出区间[xmin,xmax]时停止FindRoot[equ,{x,{a,b}]求方程在[a,b]中的数值解(割线法)其中,equ是待求解的方程,vars是未知量.NSolve[{x+y==2,x-3y+z==3,x-y+z==0},{x,y,z}]FindRoot[3Cos[x]==Log[x],{x,10}]FindRoot[3Cos[x]==Log[x],{x,1}]FindRoot[{x==Log[y],y==Log[x]},{x,I},{y,2}]NSolve[Exp[x]==x^2,x]Plot[{Exp[x],x^2},{x,-2,2}]FindRoot[Exp[x]==x^2,{x,-0.5}]FindRoot[Exp[Abs[x]]==2,{x,0}]FindRoot[Exp[Abs[x]]==2,{x,0,0.2}]最小值原理从给定的点动身，向着下降速度最快的方向运动，这样就会通向一个微小值点（病态函数除外）FindMinimum[Sin[x],{x,0}]Plot[Sin[x]+x/5,{x,-10,10}]FindMinimum[Sin[x]+x/5,{x,1}]FindMinimum[3/2x^2+y^2/2-xy-2x,{x,100},{y,100}]FindMinimum[Sin[xy],{x,3},{y,1}]线性规划

函数形式功能ConstrainedMin[f,{inequ},{x,y,…}]求不等式约束下f的最小值ConstrainedMax[f,{inequ},{x,y,…}]求不等式约束下f的最大值其中自动隐含x,y,…为非负。LinearProgramming[c,m,b]求cx在约束条件mx>=b,x>=0下的最小值，其中，c,x为向量，m为矩阵

ConstrainedMax[x+y,{x<1,y<2},{x,y}]ConstrainedMin[x+y,{x<1,y<2},{x,y}]

ConstrainedMax[17x-20y+18z,{x-y+z<10,x<5,x+z>20},{x,y,z}]ConstrainedMax[x,{x<1,x>2},{x}]ConstrainedMin[2x-3y,{x+y<10,x-y>2,x>1},{x,y}]LinearProgramming[{2,-3},{{-1,-1},{1,-1},{1,0}},{-10,2,1}]

两个煤厂A1、A2每月进煤数量分别为60吨和100吨，联合供应3个居民区B1、B2、B3。3个居民区每月对煤的需求量依次为50吨、70吨、40吨。煤厂A1到3个居民区B1、B2、B3的距离分别是10公里、5公里、6公里，煤厂A2到3个居民区B1、B2、B3的距离分别是4公里、8公里、12公里。问如何支配供煤量使得运输费用最小？解用xij表示煤厂Ai供应应居民区Bj的煤（单位吨），用y表示运输费用，则y=10*x11+5*x12+6*x13+4*x21+8*x22+12*x23满足的条件为x11+x12+x13=60x21+x22+x23=100x11+x21=50x12+x22=70x13+x23=40xij>=0,i=1,2,j=1,2,3.

ConstrainedMin[10*x11+5*x12+6*x13+4*x21+8*x22+12*x23,{x11+x12+x13==60,x21+x22+x23==100,x11+x21==50,x12+x22==70,x13+x23==40},{x11,x12,x13,x21,x22,x23}]LinearProgramming[{10,5,6,4,8,12},{{1,1,1,0,0,0},{0,0,0,1,1,1},{1,0,0,1,0,0},{0,1,0,0,1,0},{0,0,1,0,0,1}},{60,100,50,70,40}]

3.5Mathematica编程:限制结构函数形式功能If[cond,then,else]假如cond为true,执行then,否则执行else。If[cond,then,cond为true时,执行then;cond为False时,else,Unknown]执行else；推断不出时,执行Unknown.Which[cond1,value1,依次推断算condi,给出对应第cond2,value2,…]一个cond为true的value值。lhs:=rhs／;cond假如cond为true,定义lhs为rhsSwitch[expr,form1,value1,form2,value2,…,]比较expr与formi,给出第1个form与expr匹配的value值,若全不匹配,给出整个结构。例1.定义一个阶跃函数1)用If语句f［x_］:=If［x>0,1,0］2)用／;condf［x_］:=0／;x<=0;f［x_］:=1／;x>0f(x)=例2.定义符号函数1)用If语句g［x_］:=If［x<0,-1,If［x>0,1,0］］2)用Which语句g[x_]:=Which［x<0,-1,x==0,0,x>0,1］g(x)=条件判别式的组成(1).逻辑运算符符号含义>大于>=大于等于<小于<=小于等于==等于===等于(结果只有True,False)!=不等于&&逻辑与||逻辑或!