第3讲：非线性时间序列模型

第3讲：非线性时间序列模型3.1一般非线性时间序列模型介绍3.2

条件异方差模型3.1一般非线性时间序列模型介绍在非线性时间序列分析中，选择合适的非线性模型是首要工作。一般的非线性模型有如下形式：其中，

为满足某些解析条件的非线性函数，为白噪声序列。一些特殊的非线性时间序列模型（1）双线性模型其中，为非负整数，为白噪声序列。注：当所有都为零时，上式表示的就是ARMA(p,q)模型。因此双线性模型就是在ARMA模型基础上添加了表现非线性特征的乘积交叉项。考虑如下简单的双线性模型上述模型可以看作是自回归系数为的AR(1)模型，只是此时的自回归系数比较特殊，是个随机变量。（2）可加非线性自回归模型其中，为常数，为个一元非参数型的未知函数，为白噪声序列。（3）函数系数自回归模型其中，为常数，为个一元非参数型的未知函数，为白噪声序列。3.2

条件异方差模型在自回归移动平均模型中，我们主要讨论平稳时间序列的建模问题，由于针对平稳序列，实际上假定任一时点的随机误差项的期望值是相同的，一般为0，同时假定任一随机误差项平方的期望值就是随机误差的方差，即同方差。但是在金融市场上，金融资产报酬序列具有这样的特性，大的报酬紧连着大的报酬，小的报酬紧连着小的报酬，称为波动集群性(Mandelbrot,1963、Fama,1965)。波动集群性表明报酬波动是时变的，表明是异方差。异方差虽然不会影响回归系数的最小二乘估计的无偏性，但是将影响到回归系数估计的标准差和置信区间。图1收益绝对值序列(1995-2000年日元兑美元汇率)这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈（异方差）；（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。图2给出高峰厚尾分布示意图。图2高峰厚尾分布示意图显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（

Engle(恩格尔)，1982）。ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合(即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方差模型。ARCH模型

为了说得更具体，让我们回到k-变量回归模型：(1)如果

ut

的均值为零，对yt

取基于(t-1)时刻的信息Ωt-1的期望，即E(yt|Ωt-1)，有如下的关系：

(2)由于yt

的均值近似等于式（1）的估计值，所以式（1）也称为均值方程。

假设在时刻

(t1)

所有信息已知的条件下，扰动项ut的条件分布是：

(3)也就是，ut

遵循以0为均值，(0+1u2t-1)为方差的正态分布。

由于(3)中ut

的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：通常用极大似然估计得到参数0,1,2,,k,0,1的有效估计。容易加以推广，ARCH

(q)过程可以写为：

(4)这时方差方程中的(q+1)个参数0,1,2,,q也要和回归模型中的参数0,1,2,,k一样，利用极大似然估计法进行估计。

在ARCH(q)

过程中，为使ut2方差平稳，所以进一步要求相应的特征方程（5）的根全部位于单位圆外。如果i（i=1,2,…,q）都非负，式（5）等价于1+2+…+q1。ARCH模型主要的优点ARCH模型突破了传统时间序列模型中同方差的假设并更好地与金融实际相结合：（1）ARCH模型条件方差表达成过去干扰项的回归函数形式，这种形式恰好能反映金融市场波动集聚性特点，即较大幅度的波动后紧接着较大幅度的波动，较小幅度的波动后紧接着较小幅度的波动；（2）ARCH能描述金融市场上资产收益率变量的厚尾性；（3）序列存在ARCH效应时，直接用最小二乘法估计参数会产生偏差，使用ARCH模型可以在一定程度上避免此偏差，提高参数的估计精度，提高预测精度。ARCH模型主要的缺陷：（1）在实际应用中为得到更好的拟合效果常常需要很大的阶数q，此增大的计算量；（2）条件方差假设为线性函数，而现实中线性情况只是特例。GARCH模型若在干扰项本期条件方差的决定模型中引入条件方差本身的滞后值，如，便得到最简单的GARCH（1,1）模型，即：

模型中给出的条件方差方程是下面三项的函数：（1）常数项：（2）用均值方程的残差平方的一阶滞后量来度量从前期得到的波动性的信息：（ARCH项）。（3）上一期的预测方差：（GARCH项）。

进一步扩展，GARCH(p,q)模型是指：

即模型中有条件方差的p阶滞后和误差平方项的q阶滞后。相对于ARCH模型，GARCH模型的优点在于：可以用低阶的GARCH模型来代表高阶的ARCH模型，从而使得模型的识别和估计都变得比较容易。GARCH模型仅仅包含三个参数就可以表达ARCH存在的无穷多个参数的方程。除了上述GARCH模型之外，ARCH模型主要还有一些一些推广形式：（1）ARCH-M模型：描述资产预期收益与预期风险的关联；（2）TARCH和EGARCH模型：都可以用来描述信息非对称性。

ARCH类模型分析检验的一般步骤ARCH族模型分析一般包括如下五个主要步骤：

第一步，考察时间序列的统计特征。检验序列值的均值、方差、峰度（描述分布形态的陡缓程度，尾部的厚度）、偏度（相对于均值不对称程度）及Jarque-Bera（正态分布检验）等指标，从而分析其正态性。如果序列显示出高峰厚尾的分布特征（如序列呈偏态、峰度系数大于3）、Jarque-Bera统计量显示其具有非正态性，则可初步表明，序列可能存在ARCH现象。

第二步，序列平稳性检验只有时间序列是平稳的，即其随机特征不随时间变化，那么我们才可以利用经典线形回归方法来对其进行接下来的研究。在此部分采用ADF来对平稳性进行检验。如果ADF统计量小于相应的临界值，则序列是平稳的。如果ADF统计量大于相应的临界值，则表明序列非平稳。第三步，确定均值方程，正式检验残差序列是否确实存在自回归条件异方差。在对序列进行ADF检验，验证其为平稳序列后，用其前期值的自回归模型表示均值方程，即：其滞后阶数p可用自相关函数、偏自相关函数来确定，各参数可以用最小二乘法（OLS）求得。可以通过ARCH-LM检验考察是否存在ARCH现象。该方法是对残差平方按如下方程进行回归：进而得到回归可决系数R2。可以证明TR2服从，其中T为观察值的个数。故若TR2大于一定显著性水平下的临界值，则拒绝零假设H0：