第七章求极值及解线性规划问题命令与例题

第七章

求极值及解线性规划问题命令与例题

7.1求函数的局部极值

Mathematica求函数局部极小值的一般形式为:

FindMinimum[目标函数,{自变量名1，初始值1},{自变量名2，初始值2},…]具体的拟合命令有:命令形式1：FindMinimum[f[x],{x,x0}]功能：以x0为初值,求一元函数f(x)在x0附近的局部极小值。命令形式2：FindMinimum[f[x],{x,{x0,x1}}]功能：以x0和x1为初值，求一元函数f(x)在它们附近的局部极小值。命令形式3：FindMinimum[f[x],{x,x0,xmin,xmax}]功能：以x0为初值,求一元函数f(x)在x0附近的局部极小值,如果中途计算超出自变量范围[xmin,xmax],则终止计算。命令形式4：FindMinimum[f[x,y,...],{x,x0},{y,y0},…]功能：以点(x0,y0,…)为初值,求多元函数f(x,y,…)在(x0,y0,…)附近的局部极小值

例1:

求函数y=3x4-5x2+x-1,在[-2,2]的极大值、极小值和最大值、最小值。解:先画出函数图形，再确定求极值的初值和命令。Mathematica

命令为:In[1]:=Plot[3x^4-5x^2+x-1,{x,-2,2}从图中看到函数在-1和1附近有两个极小值点，在0附近有一个极大值点，用Mathematica

命令求之：In[2]:=FindMinimum[3x^4-5x^2+x-1,{x,1}]Out[2]={-2.19701,{x->0.858028}}In[3]:=FindMinimum[3x^4-5x^2+x-1,{x,-1}]Out[3]={-4.01997,{x->-0.959273}}In[4]:=FindMinimum[-

(3x^4-5x^2+x-1),{x,0}]Out[4]={0.949693,{x->0.101245}}In[5]:=3x^4-5x^2+x-1/.x->-2In[6]:=3x^4-5x^2+x-1/.x->2故所求函数在[-2,2]的x=2处取得最大值29,

在x=-0.959273处取得最小值为-4.01997

例2:

求函数z=e2x(x+y^2+2y)，在区间[-1,1][-2,1]内的极值。解:

本题限制了求极值的范围，为确定初值，借助等高线图Mathematica命令为In[7]:=ContourPlot[Exp[2x]*(x+y^2+2y),{x,-1,1},{y,-2,1},Contours->20,ContourShading->False,PlotPoints->30]从图中可知函数在（0.45,-1.2）可能有极值，取x0=0.45，y0=-1.1,再用求极值命令In[8]:=FindMinimum[Exp[2x]*(x+y^2+2y),{x,0.45},{y,-1.1}]Out[8]={-1.35914,{x->0.5,y->-1.}}求得函数在x=0.5,，y=-1取得极小值-1.35914。例3:

求函数f(x,y,z)=x4+siny-cosz,在点（0，5，4）附近的极小值。解:In[9]:=FindMinimum[x^4+Sin[y]Cos[z],{x,0},{y,5},{z,4}]Out[9]={-2.,{x->0.,y->4.71239,z->6.28319}}故函数在（0,4.71239,6.28319）取得极小值-2。7.2解线性规划问题线性规划是运筹学的一个重要分支，应用很广。线性规划问题可以描述为求一组非负变量，这些非负变量在满足一定线性约束的条件下，使一个线性目标函数取得极小（大）值的问题，线性规划的标准形式为：目标函数：minS=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+….+a1nxn=b1a21x1+a22x2+….+a2nxn=b2约束条件：……….am1x1+am2x2+….+a

mnxn=bmx1,x2,…,xn

0这里x1,x2,…,xn

是变量，ci,aij

,bi都是已知常数，且bi

0，约束条件常用符号:s.t.表示。

线性规划的一般形式为：目标函数：minS=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+….+a1nxn

b1a21x1+a22x2+….+a2nxn

b2约束条件：……….am1x1+am2x2+….+a

mnxn

bm

式中符号“”可以是关系符号：>,<,=,,

中的任意一个。Mathematica解一般线性规划问题的命令形式有:具体的拟合命令有:命令形式1：ConstrainedMin[f,{inequalities},{x1,x2,…}]功能：求在给定约束条件inequalities下，线性目标函数f极小值和对应的极小点。命令形式2：ConstrainedMax[f,{inequalities},{x1,x2,…}]功能：求在给定约束条件inequalities下，线性目标函数f极大值和对应的极大点。注意：

命令1结果形式为：{极小值,{自变量1->极小值点1，自变量2->极小值点2，…}}。命令2结果形式为：{极大值,{自变量1->极大值点1，自变量2->极大值点2，…}}。上面命令中的f为线性规划中的目标函数,它必须是变量x1,x2,…的线性函数。上面命令中的inequalities为线性规划中的约束不等式组,每个关系式必须用逗号分隔。上面命令中的x1,x2,…线性规划中的自变量名称,它们必须取非负值且可以用其它符号名。例4:

求线性规划问题

MaxS=17x1-20x2+18x3x1-x2+x3<10s.t.x1+x3<5x1<5解:Mathematica

命令为:In[10]:=ConstrainedMax[17x1-20x2+18x3,{x1-x2+x3<10,x1<5,x1+x3>20},{x1,x2,x3}]Out[10]={160,{x1->0,x2->10,x3->20}}计算结果可得所求目标函数极大值为160，对应的极大值点为（0，10，20）。例5:

求线性规划问题

Minm=13x-y+5zx+y>=7,

s.t.y+z<10,x>2,y>0,z>0解:Mathematica

命令为:In[11]:=ConstrainedMin[13x-y+5z,{x+y>=7,y+z<10,x>2,y>0,z>0},{x,y,z}]Out[11]={16,{x->2,y->10,z->0}}计算结果可得所求目标函数极小值为16，对应的极小值点为（0，10，0）。例6:

现有三种食品A1,A2,A3,各含有两种营养成分B1,B2,每单位食物Ai含有Bj成分的数量及每种食物的单价如下表所示:问应如何选购食物,才能既满足对营养成分B1,B2的需要,又使费用最少？解:设购买食品A1,A2,A3的数量分别为x1,x2,x3,花费的费用为S,则本问题可以用以下的数学模型来描述：

MinS=4x1+2x2+3x32x1+4x3

5

s.t.2x1+3x2+x3

4x1,x2,x3

0种类成分A1A2A3营养成分需要量

B12045

B12314单价423用Mathematica

命令为:In[12]:=ConstrainedMax[4x1+2x2+3x3,{2x1+4x3>=5,2x1+3x2+x3>=4,x1>=0,x2>=0,x3>=0},{x1,x2,x3}]Out[12]={67/12,{x1->0,x2->11/12,x3->5/4}}计算结果显示购买11/12数量的食品A2,5/4数量的食品A3可以满足本问题的要求,此时的花费的费用为67/12。--------------------------------------------------------------------------------------------------------例7:

求线性规划问题

Minf=-x-3y-3z,

3x+y+2z+v=5

s.t.x+z+2v+w=2x+2z+u+2v=6x,y,z,u,v,w>0解:Mathematica

命令为:In[13]:=ConstrainedMin[-x-3y-3z,{3x+y+2z+v==5,x+z+2v+w==2,x+2z+u+2v==6},{x,y,z,u,v,w}]Out[13]={-15,{x->0,y->5,z->0,u->6,