计算水力学第一章

计算水力学

第一章基本方程李光炽计算水力学1.守恒定律1.1微分方程的意义连续方程的矢量式:对于不可压缩流体，上式简化为 divU=0物理意义可表述为：流体密度的增加等于位体积内流入的净质量。

李光炽计算水力学设表示水流和输运现象中某种物理量在单位质量中的含量。当为i方向的速度分量Ui时，其物理意义为单位质量流体所含的i方向的动量。当=1时，表示单位质量流体所含的质量

李光炽计算水力学设J表示对因变量发生影响的通量。J在x方向的分量即通量，表示进入面积为dydz表面的通量，而离开对立面的通量可表示为

，因而x方向的净通量为

李光炽计算水力学单位体积的净通量

(1)

微分方程中的因变量可看作单位质量流体所含的物理量，(2)

微分方程中的各项均表示某种物理机制，对单位体积中因变量的含量发生影响，(3)

整个微分方程，是上述各项的总和，表示各种影响之间的平衡或守恒。

李光炽计算水力学1.2守恒定律

一、输运物质守恒和热量守恒设水流的速度场为U，水流挟带着泥沙悬移质或某种污染物质，其质量浓度(即单位体积中输运物质质量与混合物质量之比)为C，则C的守恒可表示为李光炽计算水力学物质守恒第一项可理解为单位体积内所含输运物质随时间的变化率。2-1是该物质的对流通量，即由流速场引起，随水流运动的通量。2-2表示扩散通量，通常由C的梯度所引起．对流通量和扩散通量的散度，即单位体积的净通量，构成微分方程的第二顷。方程右端的是输运物质在单位体积中的产生率，称为源项。

李光炽计算水力学物质守恒费克(Fick)扩散定律表示扩散通量JC李光炽计算水力学为扩散系数

张量形式为

李光炽计算水力学描述水流中热量守恒

二、动量守恒(Navier—Stokes方程)

李光炽计算水力学写出水流动量守恒的微分方程，即著名的纳维埃-斯托克斯方程

式中P为压力，v为运动粘性系数，B为单位体积的体积力

三、紊流的时均(Reynolds)方程

对纳维埃—斯托克斯方程作时均演算,并采用鲍辛捏斯克(Boussinesq)关于紊动粘性系数的假设，便可得出时均流的动量方程：

李光炽计算水力学式中为紊动粘性系数，字母上方的横线表示时均值

2.通用微分方程

如果用表示通用变量，则有各方程的通用形式：李光炽计算水力学称为水流和输运现象的通用微分方程。通用微分方程包含变化率项、对流项、扩散项和源项。令因变量代表不同的物理量，并对扩散系数和源项S作相应的调整连续方程、浓度输运方程

李光炽计算水力学得出连续方程

得出浓度输运方程

温度输运方程、动量方程

李光炽计算水力学得出温度输运方程

得出动量方程

通用微分方程的张量形式为

李光炽计算水力学爱因斯坦求和约定（Einsteinsummationconvention）

3圣维南方程

一、连续方程质量守恒定律：通过控制面进到控制体的质量＝控制体内质量增量

李光炽计算水力学李光炽计算水力学1122tt+△tρQ△X质量守恒原理示意图由质量守恒定律可得：

李光炽计算水力学化简后得：

简化过程中用到了ρ为常数的假设。式中：Ａ为过水断面面积，Ｑ为断面流量二、动量方程动量方程的推导主要依据是动量守恒定律。由于动量是一矢量，推导是建立水流流动方向的动量方程。通过控制面流进到控制体内的动量＋作用于控制体外力的冲量＝控制体积内动量的增量李光炽计算水力学李光炽计算水力学1122tt+△t

△XαρQu动量守恒原理示意图经过Δｔ时间后,控制体的动量发生了变化,其增量为:

李光炽计算水力学在Δｔ时间内通过控制面流入到控制体的动量为：

作用于断面１－２之间的控制体上的力有：重力、摩阻力及水压力

重力在水流方向上的分量为：

ρｇＡ·ΔｘＳ０李光炽计算水力学在非恒定流情况下摩阻损失与恒定流情况下差别不大，仍可用曼宁公式、谢才公式或流量模数公式，由此可得出作用于控制体上的摩阻力为

压力：压力对断面１－２之间水体的作用，分为两部分：断面压力差和侧壁上的压力

李光炽计算水力学PFaFa控制体上压力分布图

李光炽计算水力学hξB断面压力积分示意图断面上的压力为

李光炽计算水力学断面１与断面２的压力差为：

李光炽计算水力学1122侧壁压力分力计算示意图作用于断面1-2之间的侧壁压力在水流方向上的分量等于断面１与断面２的差值部分面的压力，其大小为

李光炽计算水力学作用于控制体上的总压力在水流方向上的分量为

可得作用于控制体上的总外力为

李光炽计算水力学由动量守恒定律可得：

化简可得动量方程

李光炽计算水力学可写成等价形式

明渠非恒定流的基本方程－圣维南方程组

李光炽计算水力学4定解条件和定解问题

非恒定问题必须给出初始条件和边界条件。初始条件与边界条件是确定微分方程解的必不可少的条件,合称为定解条件。定解条件少给了,就无法定解，即所谓欠定;多给了可能产生矛盾,即所谓过定;只有给出适当个数的定解条件才能求解,即所谓适定。

适定性：解的存在性、唯一性和稳定性李光炽计算水力学对流方程

李光炽计算水力学称为特征线

即ｕ的值沿特征线保持不变

李光炽计算水力学xtCDabAB特征线示意图将特征线视为有向线段,其方向与ｔ增加时的方向一致。定解域边界(包括初始时刻)上的某点是否要给出定解条件,可从该点处作特征线,若其方向指向定解域内,则需给出定解条件,否则不必给。

在计算域的边界(请注意，这里没有必要区别什么是初值条件边界，什么是边值条件边界)处，边界条件的个数就等于穿越边界而进入定解域的特征线的条数。

李光炽计算水力学圣维南方程组

沿顺特征线

李光炽计算水力学沿逆特征线

缓流和急流由于是缓流，因而水流的佛汝德数，故域内一点处的两条特征线分别指向上、下