工程流体力学泵与风机流体静力学

例题在下图中，气缸内壁的直径D＝12cm、活塞的直径d＝11.96cm，活塞的长度L＝14cm，活塞往复运动的速度为1m/s，润滑油液的μ＝0.1Pa.s，试问作用在活塞上的黏滞力为多少？解：因黏性作用，粘附在气缸内壁的润滑油层速度为零，粘附在活塞外沿的润滑油层与活塞速度相同，即ν＝1m/s。因此，润滑油层的速度由零增至1m/s，油层间因相对运动产生切应力，故用计算。该切应力乘以活塞面积，就是作用于活塞上的黏滞力T。将间隙n放大，绘出该间隙中的速度分布图。由于活塞与气缸的间隙n很小，速度分布图近似认为是直线分布。流体静压强流体平衡，则作用在流体上的应力只有法向应力，而没有切向应力。流体作用面上负的法向应力就是静压强。作用在单位面积上的力，单位常用Pa或牛顿/米2在静止流体中一作用面积为∆A，其上压力为∆P，则当面积缩为一点时，平均压强∆P/∆A的极限值就是该点静压强，用符号p小写表示。绝对静止和相对静止流体静压强的特性特性一流体静压强的作用方向沿作用面的内法线方向。特性二流体静压强的大小与作用面在空间的方位无关，只是坐标的函数。特性1的证明

流体中任意点所受的力均可分为切向应力和法向应力。当流体处于静止，，

故切应力，所以，只存在法向应力。因为静止，故只存在压力。若流体受拉力作用，要发生运动若作用力不垂直，则可以分解成法向和切向应力，不能满足平衡状态的要求。F特性2的证明同一点上各方向的静压强均相等。Ap1p2p3证明：静压强大小与作用面方向无关证明思路：（1）取研究对象（微元体）（2）受力分析（3）导出关系式（4）得出结论xzyACBDdxdydzpxpzpypn表面力质量力受力分析xzyACBDdxdydzpxpzpypnx方向的力平衡方程由于令流体元缩为一点，即同理：xzyACBDdxdydzpxpzpypn

只要流体内部无切应力存在，无论流体是处于静止还是流动状态，流体内任意点的压强大小都与其作用面的方位无关，只是空间点位置的函数。

该结论无论是对绝对静止、相对静止的流体，还是对于流动的理想流体

(流体质点间可能有相对运动）都成立。

对于粘性流体，如果流体质点间存在相对运动，则流体中就会产生切应力，此时流体中一点的法向应力（相应于静止流体中的压强）在不同方向的大小可能不相同。讨论【了解】（1）静止流体表面力只有压应力-压强。（2）流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，进一步求解作用在平面上、曲面上和物体上静水总压力。【掌握】（1）静止是相对的，针对坐标没有相对运动，分为觉对静止和相对静止。（2）掌握流体静压强的两个基本特性。【重点】静压强的两个基本特性。【难点】静压强第二个基本特性的推导。第二章

流体静力学第二节欧拉平衡微分方程流体平衡微分方程在静止流体中取一微元六面体，各面平行于坐标平面。xyzoadx微元体边长：dxdydz中心点坐标：a(x,y,z)中心点压强：p单位质量力：X

Y

Z中心点压强按泰勒级数展开可得各面中心压强。流体平衡微分方程1、表面力xyzoadx设点a（x、y、z）压强为p，当坐标有微小变化时，p可用泰勒级数表示。以x轴为例，忽略二阶以上的各项，沿x方向六面体两边界面中心点处的压强分别为：流体平衡微分方程1、表面力xyzoadx2、质量力设作用于六面体的单位质量力在x、y、z轴方向的分量分别为x、y、z六面体的质量为则沿x轴方向的质量力为流体平衡微分方程3、导出关系：微元体在静压强和质量力的作用下平衡。微元体上的力在x方向的平衡方程：xyzoadx化简：同理：欧拉平衡微分方程流体平衡微分方程物理意义：静止流体内质量力与静压强相平衡。适用范围：理想流体黏性流体可压缩流体不可压缩流体静止相对静止欧拉平衡微分方程流体平衡微分方程的积分目的：在给定质量力（X,Y,Z）的作用下，得到绝对静止或相对静止流体中压强的分布规律。流体平衡微分方程的综合式流体平衡微分方程的积分对于不可压缩均质流体来说，其密度ρ为常数。左边是一个坐标函数p的全微分右边也必须是某一个坐标函数U（x,y,z）的全微分,即因说明：所取的空间中的任何点上都存在着质量力，因此这个空间可叫做质量力场或势力场。因函数U对各坐标的偏导数分别等于力场的力在对应坐标轴上的分量，则这函数称U为力函数或势函数。而力X,Y,Z称为有势力。质量力是有势的力。如重力和惯性力。结论：不可压缩均质流体要维持平衡，只有在有势的质量力作用下才有可能。积分积分常数c由边界条件来确定。设已知边界点上的势函数为U0和压强为p0，则c＝p0-ρU0.得：

——不可压缩均质流体平衡微分方程积分后的普遍关系式。它表明任一点上的压强等于外压强p0与有势的质量力所产生的压强之和。帕斯卡定律式中p0是单独的一项，ρ（U-U0）是由流体的密度和质量力的势函数所决定的，与p0无关。因此，p0若有所增减，则平衡的流体中各点的压强也随之有同样大小的数值变化，即在平衡的不可压缩均质流体中，由于部分边界面上的外力作用而产生的压强将均匀地传递到该流体的各点上。——帕斯卡定律

该定律在水压机、水力起重机等水力机械中有广泛的应用。充满液体的连通器内，一点的压强变化可瞬间传递到整个连通器内

当作用力很大时，液体内部可近似为等压空间。等压面取一微元矢量欧拉平衡微分方程与欧拉平衡微分方程点乘等压面取一微元矢量与欧拉平衡微分方程点乘说明：质量力一定时，静压强的增量取决于坐标增量。dp压强差公式等压面1、等压面：流体中压强相等的点组成的面。2、等压面特性（1）等压面就是等势面等压面，p＝常数dp＝ρdU＝0.因为dU＝0势函数U是为常数。（2）等压面垂直于质量力的合力等压面方程推理：式中dx、dy、dz可设想为流体质点在等压面上的任一微小位移在相应坐标轴上的投影。因此，当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所作的微功为零。因质量力和位移ds都不为零，所以，必然是等压面和质量力正交。数学证明：作用：已知质量力的方向确定等压面的形状（3）等压面不能相交（4）两种互不相溶的流体平衡时分界面为等压面。分界面上任一点处两种流体质量力及质量势力均相等。由于ρ1≠ρ2，则dp＝0，分界面为等压面。（5）（同一种、相互连通、绝对静止流体）水平面为等压面。流体平衡的条件由欧拉平衡微分方程，对坐标交错求导，可得根据场论，此式表明质量力场是有势场，存在势函数π(x,y,z)，且由压强差公式（不可压缩）流体平衡的条件结论：质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件；对于不可压缩流体，等压面与等势面重合。流体静力学基本方程1、推导（1）坐标：将直角坐标原点选在自由面上，z轴垂直向上，液面上的压力为P0.（2）作用力：作用在单位质量流体上的质量力在各坐标轴方向的分量：由流体平衡微分方程式可以得到：对于不可压缩流体，ρ为常数，积分上式，可得静力学基本方程（形式之一）形式之二：自由表面上z＝0，p＝p0，一般用点在液面以下深度h代替－z更为方便。代入上式得：静力学基本方程形式之一：（1）静止液体中任一点压力p等于液面压力p0与从该点到液体自由表面液柱所产生的压强ρgh之和。推广：已知某点压力求任一点的压力值。上式中∆h为两点间深度差。2、说明：（2）在静止流体中，压力随深度按线性规律变化。压强分布图：用几何图形表示受压力面上压强随液深而变化的图，称为压强分布图。大小：静力学基本方程方向：垂直并且指向作用面大小：静力学基本方程方向：垂直并且指向作用面流体静力学基本方程公式推导取微元高度：dZ向上的力：PA向下的力：（P+dP）A重力：mg=ρgAdZ三力之和为零：PA-(P+dP)A-ρgAdZ=0即dP+ρgdZ=0ρgz+P=常数—流体静力学基本方程流体静力学基本方程1.应用条件：连续、静止、均一的不可压缩性流体；2.若P1=P0，P2=P；则P=P0+ρgh，当P0一定时，h增加，P增加，即：静止流体中任一点的压力与流体密度ρ和所处高度h有关，与容器形状无关；3.P0变化时，会以同样大小传递到液体内部——帕斯卡原理；应用：水压机、液压传动装置4.静止、连续、同一流体、同一水平面上，各点的压力相等，即：等压面为一水平面——连通器原理。流体静力学基本方程若积分限取距离基准水平面高度为Z1和Z2的两个平面，且作用于这两个平面上的压强分别为P1和P2，则得：（P2-P1）/ρg=Z1-Z2即：P2=P1+ρg(Z1-Z2)=P1+ρg∆ZP2=P0+ρgh应用：斜管式压力计P1P2斜管h1h2L主要用于测量微小的压力、负压和压差。为了减少读数的相对误差，拉长液柱，将测量管倾斜放置。

流体静力学基本方程质量力仅为重力设不可压缩，积分对图中1、2点由压强差公式流体静力学基本方程适用条件：同一容器、同种不可压缩重力流体。流体静力学基本方程物理意义不可压缩的重力流体处于平衡状态时，其中任意点上的单位重量流体的总势能为常数。单位重量流体的重力势能单位重量流体的压强势能单位重量流体的总势能流体静力学基本方程几何意义不可压缩的重力流体处于平衡状态时，静水头线或计示静水头线为平行于基准面的水平线。位置水头压强水头静水头线计示静水头线总水头流体静力学基本方程物理意义位置水头Z表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称比未能。具有长度单位，基准面不同，值也不同。位置水头压力水头总水头压力水头表示单位重量流体从某压力为大气压算起所具有的压力势能，简称比压能。具有长度单位，不受基准面影响。流体静力学基本方程物理意义比压能是一种潜在的势能。如果流体中某点的压力为p，在该处接一测压管后，在压力作用下，液面会上升高度，也就是把压力势能变为位置势能。测压管水头就代表了总势能。在静止流体中，单位重量流体的总势能是恒定的。重力场中静止液体内的静压强对淹深为h的a点和压强为p0的自由液面列静力学基本方程表明不可压缩的重力流体处于平衡状态时：pz

H

o

z

h

g

p0a静压强随深度线性分布；静压强包括自由表面压强和液重产生的压强；自由表面的压强以相同大小传到液体内部任意点。帕斯卡原理压强的单位垂直作用于单位面积上的力：国际单位制：N/m2（Pa）bar工程单位制：kgf/cm2液柱高：mH2OmmHg大气压：工程大气压标准大气压1atm=1.013×105Pa=10.33mH2O=760mmHg1at=9.81×104Pa=10mH2O=735.6mmHg=1kgf/cm21巴＝105Pa压强的计量绝对压强以完全真空为基准计量的压强。计示压强以大气压为基准计量的压强，也称为相对压强或表压强。真空绝对压强低于大气压时，负的计示压强。在兰州操作的苯乙烯真空蒸馏塔顶的真空表读数为80×103Pa，在天津操作时，若要求塔内维持相同的绝对压强，真空表的读数应为多少？已知Pa.兰州=85.3×103Pa；Pa.天津=101.33×103Pa解：兰州：绝压=大气压-真空度=85.3×103-80×103=5300Pa天津：真空度=大气压-绝压=101.33×103-5.3×103

=9.603×104Pa例题

某离心泵进、出口压力分别为120mmHg（真空度）和1.2kgf/cm2（表压），试求进、出口处的绝对压力分别为多少Pa？当地大气压为750mmHg。解：进口处（P1）：绝压=大气压-真空度P1=750

-120

=630mmHg=630/760×1.013×105=8.4×104（Pa）

进口处（P2）：绝压=大气压+表压P1=(750/760)×1.013×105+1.2×9.81×105=2.18×105（Pa）例题

已知：油相对密度为0.68,水层高0.09m，油层高0.5m

求：油水界面和油箱底部相对压强。解：油水界面压强用表压强表示油箱底部表压强例题

压强的测量测压计分类金属测压计(间接测量，可测量较高压强)：波登管测压计：利用椭圆截面的金属弯管受压变形原理制作。膜片式测压计：利用膜片受压变形原理制作。压强的测量测压计分类液柱测压计(直接测量，测量量程较小)：测压管：玻璃管，直接连接到测量压强的容器上。真空绝对压强计示压强绝对压强压强的测量测压计分类液柱测压计(直接测量，测量量程较小)：U形管测压计：U形玻璃管，内有工作液体（水或水银）。被测流体密度ρ1，工作液体密度ρ2。真空绝对压强等压强计示压强绝对压强等压强压强的测量测压计分类液柱测压计(直接测量，测量量程较小)：U形管测压计：还可测量压强差。压强差等压强压强差压强的测量测压计分类液柱测压计(直接测量，测量量程较小)：倾斜式微压计：较大的容器和带刻度的倾斜玻璃管，内有工作液体（蒸馏水或酒精）。测量精度较高，常用来测量微小压强或压强差。例2-3活塞直径d=35mm，重15N，油密度ρ1=920kg/m3，水银密度ρ2=13600kg/m3，h=0.7m，求Δh。解：活塞重量造成的其底面压强为1-1为等压面，压强关系为

解得例2-4已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm，ρ1=1000kg/m3，ρ2=800kg/m3，ρ3=13598kg/m3，求A、B两点的压强差。解：1-1、2-2、3-3均为等压面，各点压强为

逐一代入，得例2-5储油箱内油的相对密度为0.90，油箱顶部封存有部分压缩空气，U型管测压计指示液为水银，相对密度为13.6。求压缩空气压强。已知：油相对密度0.90，水银13.6求：压缩空气压强。解：1、研究：相对静止时流体的压强分布规律和等压面方程。2、依据：相对静止时流体的压强分布规律和等压面方程。3、坐标：坐标系选在装有流体的容器上，则流体对选定的坐标是处于平衡状态的。这称为相对静止或相对平衡。①满足条件：相对静止②受力分析：X＝？，Y=?，Z＝？液体的相对平衡（几种质量力作用下流体的平衡）4、说明：流体尽管在运动，而且流体质点具有加速度，但因为流体相邻层之间没有相对运动，不存在切应力，流体看作像固体一样整块运动。5、方法：采用达朗伯原理。在运动的流体质点上加上惯性力便可把流体随容器运动的动力学问题按静力学来研究。的动力学问题的静力学问题加上惯性力等加速水平直线运动液体的相对平衡盛有液体的容器沿水平面以加速度a作等加速直线前进，它必然带动其中流体也等加速前进，即流体实际上处于等加速运动之中。等角速旋转液体的相对平衡A、坐标：坐标原点在容器未运动时的自由液面中心o处，坐标x轴的方向和加速度方向相同，z轴向上，坐标系随流体一起运动。B、受力分析根据达朗伯原理，流体对运动坐标系相对平衡时，作用在液体质点上的质量力：（1）重力（2）离心惯性力（虚加）X＝－a，Y=0，Z＝－g等加速水平直线运动液体的相对平衡等加速水平直线运动时，液面倾斜。故压强分布gp0a由压强差公式积分边界条件说明：（1）压强p不仅随z（重力存在）而变化，而且还随x（惯性力）的变化而变化。

（压强变化与质量力有关）（2）等压面是平面，但不一定是水平面。（等加速直线运动情况下，等压面有没有可能是水平面？）等加速水平直线运动液体的相对平衡等加速水平直线运动时，液面倾斜。等压面倾角等压面方程gp0a由压强差公式积分液面方程代入等加速水平直线运动液体的相对平衡等加速水平直线运动时，液面倾斜。等加速相对静止流体压强公式与绝对静止流体中静压强公式完全相同。流体内任一点的静压强等于液面上的压强p0加上液体的重度与该点沉没深度的乘积。如图汽车上有一长方形水箱，高H＝1.2m，长L＝4m，水箱顶盖中心有一供水用的通大气压小孔，试计算当汽车以加速度为3m/s2向前行驶时，水箱底面上前后两点A、B的静压力。并定性画出两端面上的压强分布图。分析：水箱处于顶盖封闭状态，当加速运动时，液面不发生变化，但由于质量力而引起的液体内部压力分布规律不变，即等压面仍为一倾斜平面。解：等压面与X轴方向之间夹角θ水箱底面前后A、B两点的静压力等角速旋转液体的相对平衡盛有液体的开口圆桶，设圆桶以定速绕其中心铅垂轴旋转，则由于黏性的作用，与容器壁接触的液体层，首选被带动而旋转，并向中心发展，使所有的液体质点都绕该轴旋转。待稳定后，各质点都具有相同的角速度，液面形成一个漏斗形的旋转面。等角速旋转液体的相对平衡A、坐标：坐标系取在运动着的容器上，原点取在旋转轴与自由表面交点上，z轴垂直向上。B、受力分析根据达朗伯原理，作用在液体质点上的质量力：（1）重力（2）离心惯性力（虚加）等角速旋转液体的相对平衡等角速旋转时，液面呈旋转抛物面。故压强分布由压强差公式积分边界条件gp0r2等角速旋转液体的相对平衡等角速旋转时，液面呈旋转抛物面。等压面方程由压强差公式积分液面方程代入gp0r2等角速旋转液体的相对平衡等角速旋转时，液面呈旋转抛物面。特例1——顶盖中心开口的旋转容器充满液体时不能形成旋转抛物面，但压强仍为顶盖面边缘处压强最大，且转速越大压强越大。这就是离心式铸造机等离心式机械的工作原理。等角速旋转液体的相对平衡等角速旋转时，液面呈旋转抛物面。特例2——顶盖边缘开口的旋转容器充满液体旋转时，中心处产生真空。压强为顶盖面中心处真空最大，且转速越大真空越大。这就是离心式水泵的工作原理。作用面上的总压力我们已研究了流体静压强的分布规律及其计算方法。但在实际工程中，常需要求解作用在容器或建筑物面上的流体总压力。解决问题力的大小力的方向作用点预备知识静力学基本方程面积矩惯性矩移轴定理力矩平衡原理平行力系合成微积分作用面平面：水平、垂直、倾斜曲面：二向（柱面）、三向（球面）液体作用在平面上的总压力总压力平面形心处压强面积A平面到处作用连续分布的压强静压强总是垂直指向受力表面压强大小p=ρgh

与方向无关(不计大气压的影响）已知：木制提升闸门，宽b=1.5m，水深H=1.5m，闸板与槽间的摩擦系数为0.7，求提升闸板需力多大？例题

液体作用在平面上的总压力总压力F作用点（压力中心）位置总压力F

对X轴的力矩等于分布压强p对X轴力矩的总和面积对X轴的惯性矩一般有压力中心位于形心的下方液体作用在平面上的总压力同理，压力中心到y轴的距离面积A对x，y轴的惯性积一般规则面积（如矩形、圆）的可查表。截面几何图形面积A型心yc惯性距Icx

bh

1/2h1/12bh31/2bh

2/3h

1/36bh3

1/2h(a+b)截面几何图形面积A型心yc惯性距Icx注意：（1）确定作用力大小，采用可以不关注坐标；

如采用关注坐标。（2）确定作用点位置，关注坐标。如果液面上表压强p0不为0时，可将p0换算成与作用面接触液体的液柱高度加到原来的液面上，以一个表压为0的假想液面来计算形心yc和作用点位置。

液体作用在平面上的总压力容器底面的总压力设容器底面面积为A，所盛液体密度为ρ，液深为h，则仅由液体产生的作用在容器底面上的总压力为图示容器底面面积相同，液体密度相同，液深相同，故容器底面上的总压力也相同，与所盛液体重量无关。这类问题称为

——静水奇象水下平板，求：总压力和压力中心解：压力中心位于距离底部的(L/3)处。例题

例：为保证阀门不开启，S的条件？左边总压力(单宽)左边总压力(单宽)对绞链的总力矩必须满足：压力中心距底边H/3处压力中心距底边h/3处运算后得到例题例题下图表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为h1=2m，h2=4m，试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。液体作用在平面上的总压力斜平板上的总压力取微元面积dA，淹深为h，到ox轴的距离为y。总压力为在平板上积分故总压力大小为ycA，A对ox轴面积矩总压力大小等于平板形心处压强与面积的乘积。液体作用在平面上的总压力斜平板上的总压力由合力矩定理，总压力对ox轴的力矩等于各微元总压力对ox轴力矩之和Ix，A对ox轴惯性矩平行移轴压力中心液体作用在曲面上的总压力在分析求解静止液体作用在曲面上的总压力时，可依下列步骤进行：（1）

将总压力F分解为水平分力Fpx和垂直分力Fpz；（2）

计算水平分力Fpx；（3）

确定压力体Vp的体积和计算对应的垂直分力Fpz；（4）

计算总压力F；（5）确定总压力方向

。

求解过程液体作用在曲面上的总压力曲面（柱面）上的总压力取微元面积dA，淹深为h。总压力为分解水平分力水平分力相当于作用在平板Ax上的总压力。液体作用在曲面上的总压力AzAdAhhcabcdpadFodAxzdFdFpzdFpxdAxdAzAx作用在dA上的总压力为:总压力的水平分力

总压力的X方向分量液体作用在曲面上的总压力压力的垂直分力

作用在dA上的垂直分力为：

则压力的垂直分力为

为曲面ab上的液柱体积abcd，又称为压力体。压力体是个体积，它是个纯数学概念，与这个体积内是否充满液体无关。

即总压力的垂直分力等于压力体内液体的重量。

总压力大小总压力方向角液体作用在曲面上的总压力压力体例子压力体与其内部是否有液体无关压力体积