自动控制理论课件3-2

3.3二阶系统的时域分析3.3.1二阶系统的数学模型二阶系统的结构图：闭环传递函数为：二阶系统的主要参数：R(s)E(s)C(s)-开环传递函数为：

:自然振荡频率（无阻尼振荡频率）:阻尼比闭环特征方程

闭环特征根为

3.3.2二阶系统的单位阶跃响应1.欠阻尼情况（0<ξ<1）

闭环极点为共轭复数：

图中：

衰减系数：

阻尼振荡频率：

系统闭环极点与原点的连线称为等阻尼线，β反映了阻尼比ξ的大小。h(t)包含稳态分量和瞬态分量，其稳态分量为1，瞬态分量呈现振荡衰减特性。输入信号：

h(t)的包络线为：

包络线在绘制h(t)曲线时，应注意到：

（1）延迟时间：

由方程

,作曲线：或

较大范围内

由曲线拟合出:（3）峰值时间：（2）上升时间：

（6）稳态误差：（5）调节时间：

说明典型二阶欠阻尼系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。（4）超调量：

当时，由推出：为方便，往往采用包络线代替实际响应曲线估算调节时间。

超调量的大小只取决于阻尼比（横坐标为无因次时间）阻尼比ξ

越小，系统的超调量越大，系统的响应振荡越剧烈。阻尼比的大小反映了系统响应的平稳性。闭环极点位于等阻尼线上的系统，具有相同的ξ，超调量也是相同的。

调节时间的计算公式为近似表达式(略保守)工程上把ξ=0.707时的二阶系统称为最佳二阶系统，这时121080.20.40.60.84201.00.680.436调节时间与闭环极点实部数值ξωn成反比。当阻尼比一定时，加大自然振荡频率ωn会减小调节时间。为了减小调节时间，通常取ξ=0.4~0.8。2.无阻尼情况（ξ=0）

无阻尼是欠阻尼的特殊情况:单位阶跃响应为等幅震荡曲线。3.过阻尼情况（ξ>1）闭环极点为两个负实数极点：设

则

相当于两个惯性环节串联(与一阶系统不同)稳态误差为0，说明系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。

动态指标:(近似为一阶系统)(与欠阻尼拟合方法相同)过阻尼二阶系统的调节时间特性

考虑:，作曲线：由图中曲线看出：4.临界阻尼情况（ξ=1）闭环极点为重极点：

即

临界阻尼二阶系统单位阶跃响应具有非周期性，没有振荡和超调。该响应曲线不同于典型一阶系统的单位阶跃响应，起始点斜率为零.动态性能指标为：稳态误差为0，说明跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。

例3-5设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的传递函数。

解：

根据响应曲线，可知代入传递函数例3-4系统如图所示。要求单位阶跃响应无超调，调节时间不大于1秒，求开环增益K。

R(s)E(s)C(s)-解：

系统的开环传递函数为：

验证：

根据题意，要使调节时间最小应选择ξ=1，有3.3.3二阶系统的单位脉冲响应

由于单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的导数，对不同阻尼比下的单位阶跃响应表达式求导，可以得到二阶系统的单位脉冲响应。稳态误差为：

3.3.4二阶系统的单位斜坡响应

瞬态分量稳态分量输入信号稳态误差为：

稳态误差为：

稳态误差为：

二阶系统时域分析小结典型二阶系统传递函数阻尼比ξ阶跃响应曲线特性瞬态指标稳态误差欠阻尼按正弦规律衰减振荡00过阻尼按指数规律单调上升00临界阻尼按指数规律单调上升00无阻尼等幅振荡问题：仅靠调整参数不能同时改善瞬态和稳态性能。2.3.5改善二阶系统瞬态性能的措施R(s)E(s)C(s)-欠阻尼系统在单位阶跃信号作用下，系统将产生超调。思路：[0，t1]时间内：e(t)为正，输出c(t)增加，一方面使输出接近希望值，另一方面有可能使系统出现超调，要减小超调，e(t)不能过大。给e(t)加入一个附加的负信号，有利于减小超调；在[t1，t2]时间内：系统出现超调，e(t)为负，有利于减弱c(t)增加的趋势。给e(t)加入一个附加的负信号，有利于减小超调；在[t2，t3]时间内：c(t)已经过最大值，出现下降趋势，e(t)为负，有利于c(t)的下降，同时有可能使c(t)出现反向超调。给e(t)加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调。在[t3，t4]时间内：c(t)出现反向超调，e(t)为正，有利于减小c(t)的反向超调。在此时间段内，给e(t)加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调。

在[0，t1]时间内，e(t)为正，系统输出c(t)增加，这种增加一方面使输出接近希望值，另一方面有可能使系统出现超调，要减小超调，e(t)不能过大，在[0，t1]时间内，给e(t)加入一个附加的负信号，有利于减小超调；在[t1，t2]时间内，系统出现超调，e(t)为负，有利于减弱c(t)增加的趋势，若在[t1，t2]时间内，给e(t)加入一个附加的负信号，有利于减小超调；在[t2，t3]时间内，c(t)已经过最大值，出现下降趋势，e(t)为负，有利于c(t)的下降，同时有可能使c(t)出现反向超调，在此时间段内，给e(t)加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调；在[t3，t4]时间内，c(t)出现反向超调，e(t)为正，有利于减小c(t)的反向超调，在此时间段内，给e(t)加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调。分析系统出现超调的原因：通过以上分析，要减小超调量，可以给e(t)加入一个附加信号，其极性要求为：

[0，t1]：“-”[t1，t2]：“-”[t2，t3]：“+”[t3，t4]：“+”经分析，e(t)的导数

和-c(t)的导数的极性符合要求。因此，减小系统的超调量，改善平稳性的措施可以有以下两种：

输出信号的测速负反馈控制误差信号的比例-微分控制取控制信号为1、比例-微分控制

系统的开环传递函数为：

闭环传递函数为：阻尼比为：

可见，采用比例-微分控制，增加了系统的等效阻尼比，不改变系统的自然振荡频率和开环增益，但增加了一个闭环零点。

R(s)E(s)C(s)-R(s)E(s)C(s)注意：采用比例-微分控制后，系统为有零点的二阶系统，性能指标计算公式为：

式中：

1）峰值时间

2）超调量

3）调节时间

21dndxwjb--2、测速反馈控制

开环传递函数为：

闭环传递函数为：

阻尼比为：

可见，测速反馈控制增大了系统的等效阻尼比，不改变自然振荡频率，但降低了系统的开环增益。

R(s)E(s)C(s)3、两种措施的比较比例-微分控制