空间两直线的位置关系

关于空间两直线的位置关系第一页，共四十三页，2022年，8月28日教学目的1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；4.

掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角第二页，共四十三页，2022年，8月28日复习引入：1、同一平面内不重合两条直线有几种位置关系？2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？(1)、相交：有且仅有一个公共点。(2)、平行：在同一平面内没有公共点。互相平行提出问题：空间中的两条直线呢？第三页，共四十三页，2022年，8月28日1.空间中两条直线的位置关系观察：观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗?平行吗?共面吗?观察上方体的棱所在直线,回答类似的问题.思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？第四页，共四十三页，2022年，8月28日异面直线的定义:我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew

lines）。想一想:怎样通过图形来表示异面直线?为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:第五页，共四十三页，2022年，8月28日想一想,做一做：1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？第六页，共四十三页，2022年，8月28日2.下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？想一想,做一做：HGFEDCBA三对AB与CDAB与GHEF与GH3.第七页，共四十三页，2022年，8月28日空间两条直线的位置关系有且只有三种平行相交异面位置关系公共点个数是否共面没有只有一个没有共面不共面共面空间中两条直线的位置关系第八页，共四十三页，2022年，8月28日2.

空间两平行直线提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？平行吗?中,观察：如图2.1.2-5,长方体与那么DD'∥

AA'BB'∥AA'第九页，共四十三页，2022年，8月28日公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。a∥bc∥ba∥c符号表示：设空间中的三条直线分别为a,b,c,若想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?第十页，共四十三页，2022年，8月28日例题示范例1：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：欲证EFGH是一个平行四边形只需证EH∥FG且EH＝FGE，F，G，H分别是各边中点连结BD,只需证：EH∥BD且EH＝BDFG∥BD且FG＝BDABDEFGHC第十一页，共四十三页，2022年，8月28日例题示范例1：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。ABDEFGHC∵EH是△ABD的中位线

∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明：连结BD第十二页，共四十三页，2022年，8月28日变式一：

在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?

EHFGABCD分析：在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。菱形第十三页，共四十三页，2022年，8月28日变式二：

空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且，求证:四边形ABCD为梯形.ABCDEHFG分析：需要证明四边形ABCD有一组对边平行，但不相等。第十四页，共四十三页，2022年，8月28日3.

等角定理提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？第十五页，共四十三页，2022年，8月28日3.

等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。第十六页，共四十三页，2022年，8月28日3.

等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.第十七页，共四十三页，2022年，8月28日4.

异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a'

和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。想一想:a'与b'

所成角的大小与点O的位置有关吗?第十八页，共四十三页，2022年，8月28日4.

异面直线所成的角如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。第十九页，共四十三页，2022年，8月28日5.

异面直线的判定定理异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线与是异面直线第二十页，共四十三页，2022年，8月28日例题示范例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'

和CC'

的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA'

垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线成异面直线的有直线，第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日例题示范例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'

和CC'

的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA'

垂直？解：（2）由可知，

等于异面直线与

的夹角,所以异面直线与的夹角为450。

(3)直线与直线都垂直.第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日【例3】空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．思路分析：要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线．取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解．第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日解：取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日(1)求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交．平移直线的方法有：①直接平移，②中位线平移，③补形平移．(2)求异面直线所成角的步骤：①作：通过作平行线，得到相交直线；②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③求：通过解三角形，求出该角.

求异面直线的方法第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日答案：C

第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日【例4】长方形ABCD－A1B1C1D1中，AB＝8，BC＝6，在线段BD，A1C1上各有一点P，Q，在PQ上有一点M，且PM＝MQ，则M点的轨迹图形的面积为________．创新题型第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日答案：24

第三十页，共四十三页，2022年，8月28日变式迁移4

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线 (

)A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力．在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点的．如下图：答案：D第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日1．刻画平面性质的三个公理是研究空间图形进行逻辑推理的基础，三个公理是立体几何作图的依据，通过作图(特别是截面图)的训练，可加深对公理的掌握与理解．其中确定平面的公理2是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据．规律总结第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日2．注意文字语言、数学图形语言和符号语言的相互转化与应用，能够从集合的角度阐述点、线、面之间的联系，证明共点、共线或共面问题常用归一法，如多线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证其余直线都经过这点．3．异面直线是立体几何的重点和难点之一，对其定义要理解准确，有关异面直线的论证，经常要用反证法；异面直线所成的角，常通过平移，使两异面直线移到同一个平面的位置上来求．第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日4．平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确．如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“同垂直于一条直线的两条直线平行”等在空间就不正确．而有些命题推广到空间还是正确的，如平行线的传递性及关于两角相等的定理等．所以将空间图形问题类比平面图形问题是本章复习的重要方法，如(1)公理4是平面内平行传递性的推广；(2)等角定理是由平面图形推广到空间图形；(3)从直线与直线、直线与平面的位置关系，类比联想平面与平面的位置关系；(4)两个平面互相垂直与两条直线互相垂直概念的类比．第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日练一练,巩固新知：P48页练习1,2题。例3:

如图，是平面外的一点分别是的重心，求证：。证明：连结分别交

于,连结,∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重心,∴M,N分别是BC,CD的中点,∴MN//BD,又∵

∴

GH//MN,由公理4知GH//BD.

第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日练习反馈：1.判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（

）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

.

（）（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.

（）（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

（

）

√×√√××第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日练习反馈：2．选择题

（1）“a，b是异面直线”是指

①

a∩b=Φ,且a不平行于b；②

aÌ平面a，bÌ平面b且a∩b=Φ③

a

Ì平面a，b

平面a

④

不存在平面a，能使a

Ìa且b

Ìa成立上述结论中，正确的是 （

）（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （

）

（A）2对（B）3对 （C）6对 （D）12对CC第三十八页，共四十三页，2022年，8月28日（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（

）

（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线

（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是(

)（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？

答：