2021～2022高中数学第二章数列1数列的概念与简单表示法2作业【含答案】新人教版必修5

数列的概念与简单表示法一、选择题1．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数；②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是()A．①② B．①②③C．②③ D．①②③④A[解析]数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0……的通项可以是an＝sineq\f(nπ,2)，也可以是an＝coseq\f(n＋3π,2)等等．2．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是()A．an＝eq\f(n,2)[1＋(－1)n] B．an＝eq\f(n＋1,2)[1＋(－1)n＋1]C．an＝eq\f(n,2)[1＋(－1)n＋1] D．an＝eq\f(n＋1,2)[1＋(－1)n]B[解析]经验证可知选项B符合要求．3．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项()A．18 B．21C．25 D．30D[解析]依次令n(n＋1)＝18、21、25和30检验．有正整数解的便是，知选D．[点评]由n(n＋1)＝a可知a应能分解为相邻两整数之积．显然A、B、C不满足，∴选D．4．已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(n－1,n＋1)，那么这个数列是()A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．摆动数列A[解析]an＝eq\f(n－1,n＋1)＝1－eq\f(2,n＋1)，随着n的增大而增大．5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为()A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n)C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)B[解析]当n＝1时，a1＝1排除C、D；当n＝2时，a2＝－3排除A，故选B．6．数列1,3,7,15，…的通项公式an＝()A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1C[解析]∵a1＝1，排除A，B；又a2＝3，排除D，故选C．二、填空题7．已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,nn＋2)(n∈N*)，则eq\f(1,120)是这个数列的第________项．10[解析]令an＝eq\f(1,120)，即eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,120)，解得n＝10或n＝－12(舍去)．8．数列－1，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，…的一个通项公式为________．an＝(－1)neq\f(n·n＋2,2n＋1)[解析]奇数项为负，偶数项为正，调整其各项为－eq\f(1×3,3)，eq\f(2×4,5)，－eq\f(3×5,7)，eq\f(4×6,9)，∴an＝(－1)neq\f(n·n＋2,2n＋1).三、解答题9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？[解析](1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16(n＝－9舍)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，∴从第7项起各项都是正数．10．已知函数f(x)＝eq\f(1,xx＋1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)，试判断{an}是递增数列还是递减数列？[解析]∵an＝eq\f(1,nn＋1)，则an＋1＝eq\f(1,n＋1n＋2).对任意n∈N＋，(n＋1)(n＋2)>n(n＋1)，∴eq\f(1,n＋1n＋2)<eq\f(1,nn＋1)，于是an＋1－an＝eq\f(1,n＋1n＋2)－eq\f(1,nn＋1)<0.∴{an}是递减数列．一、选择题1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3()A．不是数列{an}中的项B．只是数列{an}的第2项C．只是数列{an}的第6项D．是数列{an}的第2项或第6项D[解析]令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可以是该数列的第2项，也可以是该数列的第6项．2．已知数列{an}中，a1＝1，eq\f(an,an＋1)＝2，则此数列是()A．递增数列 B．递减数列C．摆动数列 D．常数列B[解析]由eq\f(an,an＋1)＝2可知该数列的前一项是后一项的2倍，而a1＝1>0，所以数列{an}的项依次减小为其前一项的一半，故为递减数列．3．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是()A[解析]据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A．4．已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(n,n2＋156)(n∈N＋)，则数列的最大项是()A．第12项 B．第13项C．第12项或第13项 D．不存在C[解析]an＝eq\f(1,n＋\f(156,n），n＋eq\f(156,n)≥2eq\r(156)，但由于n∈N＋取不到等号，而a12＝a13，∴第12项和第13项都是最大项．二、填空题5．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．n2－n＋1[解析]序号n决定了每图的分支数，而每分支有(n－1)个点，中心再加一点，故有n·(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．6．已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________．λ>－3[解析]由{an}为递增数列，得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，即λ>－2n－1在n≥1时恒成立，令f(n)＝－2n－1，f(n)max＝－3.只需λ>f(n)max＝－3即可．三、解答题7．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．[解析](1)令n2－5n＋4<0，得1<n<4，∵n∈N*，∴n＝2或3.故数列中有两项是负数．即a2、a3为负数．(2)an＝n2－5n＋4＝(n－eq\f(5,2))2－eq\f(9,4).∵n∈N*，∴当n＝2或3时，an最小，最小值为－2.8．已知数列1,2，eq\f(7,3)，eq\f(5,2)，eq\f(13,5)，….(1)写出这个数列的一个通项公式an；(2)判断数列{an}的增减性．[解析](1)数列1,2，eq\f(7,3)，eq\f(5,2)，eq\f(13,5)，….可变为eq\f(1,1)，eq\f(4,2)，eq\f(7,3)，eq\f(10,4)，eq\f(13,5)，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n对应，而分子比序号n的3倍少2，∴an＝eq\f(3n